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Theorem bclbnd 25772
Description: A bound on the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bclbnd (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bclbnd
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 4 → (4↑𝑥) = (4↑4))
2 id 22 . . . 4 (𝑥 = 4 → 𝑥 = 4)
31, 2oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = 4 → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑4) / 4))
4 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 4 → (2 · 𝑥) = (2 · 4))
54, 2oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = 4 → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · 4)C4))
63, 5breq12d 5075 . 2 (𝑥 = 4 → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑4) / 4) < ((2 · 4)C4)))
7 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (4↑𝑥) = (4↑𝑛))
8 id 22 . . . 4 (𝑥 = 𝑛𝑥 = 𝑛)
97, 8oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = 𝑛 → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑𝑛) / 𝑛))
10 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑛))
1110, 8oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = 𝑛 → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · 𝑛)C𝑛))
129, 11breq12d 5075 . 2 (𝑥 = 𝑛 → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛)))
13 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (4↑𝑥) = (4↑(𝑛 + 1)))
14 id 22 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → 𝑥 = (𝑛 + 1))
1513, 14oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)))
16 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑛 + 1)))
1716, 14oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)))
1815, 17breq12d 5075 . 2 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
19 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (4↑𝑥) = (4↑𝑁))
20 id 22 . . . 4 (𝑥 = 𝑁𝑥 = 𝑁)
2119, 20oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑𝑁) / 𝑁))
22 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑁))
2322, 20oveq12d 7169 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
2421, 23breq12d 5075 . 2 (𝑥 = 𝑁 → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁)))
25 6nn0 11910 . . . 4 6 ∈ ℕ0
26 7nn0 11911 . . . 4 7 ∈ ℕ0
27 4nn0 11908 . . . 4 4 ∈ ℕ0
28 0nn0 11904 . . . 4 0 ∈ ℕ0
29 4lt10 12226 . . . 4 4 < 10
30 6lt7 11815 . . . 4 6 < 7
3125, 26, 27, 28, 29, 30decltc 12119 . . 3 64 < 70
32 2cn 11704 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
33 2nn0 11906 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
34 3nn0 11907 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
35 expmul 13467 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(2 · 3)) = ((2↑2)↑3))
3632, 33, 34, 35mp3an 1454 . . . . 5 (2↑(2 · 3)) = ((2↑2)↑3)
37 sq2 13553 . . . . . . 7 (2↑2) = 4
3837eqcomi 2834 . . . . . 6 4 = (2↑2)
39 4m1e3 11758 . . . . . 6 (4 − 1) = 3
4038, 39oveq12i 7163 . . . . 5 (4↑(4 − 1)) = ((2↑2)↑3)
4136, 40eqtr4i 2851 . . . 4 (2↑(2 · 3)) = (4↑(4 − 1))
42 3cn 11710 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
43 3t2e6 11795 . . . . . . 7 (3 · 2) = 6
4442, 32, 43mulcomli 10642 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
4544oveq2i 7162 . . . . 5 (2↑(2 · 3)) = (2↑6)
46 2exp6 16414 . . . . 5 (2↑6) = 64
4745, 46eqtri 2848 . . . 4 (2↑(2 · 3)) = 64
48 4cn 11714 . . . . 5 4 ∈ ℂ
49 4ne0 11737 . . . . 5 4 ≠ 0
50 4z 12008 . . . . 5 4 ∈ ℤ
51 expm1 13472 . . . . 5 ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (4↑(4 − 1)) = ((4↑4) / 4))
5248, 49, 50, 51mp3an 1454 . . . 4 (4↑(4 − 1)) = ((4↑4) / 4)
5341, 47, 523eqtr3ri 2857 . . 3 ((4↑4) / 4) = 64
54 df-4 11694 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
5554oveq2i 7162 . . . . . 6 (2 · 4) = (2 · (3 + 1))
5655, 54oveq12i 7163 . . . . 5 ((2 · 4)C4) = ((2 · (3 + 1))C(3 + 1))
57 bcp1ctr 25771 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → ((2 · (3 + 1))C(3 + 1)) = (((2 · 3)C3) · (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1)))))
5834, 57ax-mp 5 . . . . 5 ((2 · (3 + 1))C(3 + 1)) = (((2 · 3)C3) · (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1))))
59 df-3 11693 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
6059oveq2i 7162 . . . . . . . 8 (2 · 3) = (2 · (2 + 1))
6160, 59oveq12i 7163 . . . . . . 7 ((2 · 3)C3) = ((2 · (2 + 1))C(2 + 1))
62 bcp1ctr 25771 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 + 1))C(2 + 1)) = (((2 · 2)C2) · (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1)))))
6333, 62ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((2 · (2 + 1))C(2 + 1)) = (((2 · 2)C2) · (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1))))
64 df-2 11692 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6564oveq2i 7162 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = (2 · (1 + 1))
6665, 64oveq12i 7163 . . . . . . . . . 10 ((2 · 2)C2) = ((2 · (1 + 1))C(1 + 1))
67 1nn0 11905 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
68 bcp1ctr 25771 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℕ0 → ((2 · (1 + 1))C(1 + 1)) = (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 + 1))C(1 + 1)) = (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1))))
70 1e0p1 12132 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
7170oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 1) = (2 · (0 + 1))
7271, 70oveq12i 7163 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 1)C1) = ((2 · (0 + 1))C(0 + 1))
73 bcp1ctr 25771 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℕ0 → ((2 · (0 + 1))C(0 + 1)) = (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)))))
7428, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · (0 + 1))C(0 + 1)) = (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1))))
7533, 28nn0mulcli 11927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 0) ∈ ℕ0
76 bcn0 13663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 0) ∈ ℕ0 → ((2 · 0)C0) = 1)
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 0)C0) = 1
78 2t0e0 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 0) = 0
7978oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
8079, 70eqtr4i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 0) + 1) = 1
8170eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 1) = 1
8280, 81oveq12i 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)) = (1 / 1)
83 1div1e1 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 1) = 1
8482, 83eqtri 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)) = 1
8584oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1))) = (2 · 1)
86 2t1e2 11792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = 2
8785, 86eqtri 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1))) = 2
8877, 87oveq12i 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)))) = (1 · 2)
8932mulid2i 10638 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 2) = 2
9088, 89eqtri 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)))) = 2
9172, 74, 903eqtri 2852 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 1)C1) = 2
9286oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
9392, 59eqtr4i 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 1) + 1) = 3
9464eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
9593, 94oveq12i 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)) = (3 / 2)
9695oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1))) = (2 · (3 / 2))
97 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
9842, 32, 97divcan2i 11375 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (3 / 2)) = 3
9996, 98eqtri 2848 . . . . . . . . . . . 12 (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1))) = 3
10091, 99oveq12i 7163 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)))) = (2 · 3)
101100, 44eqtri 2848 . . . . . . . . . 10 (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)))) = 6
10266, 69, 1013eqtri 2852 . . . . . . . . 9 ((2 · 2)C2) = 6
103 2t2e4 11793 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 2) = 4
104103oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
105 df-5 11695 . . . . . . . . . . . . 13 5 = (4 + 1)
106104, 105eqtr4i 2851 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 2) + 1) = 5
10759eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) = 3
108106, 107oveq12i 7163 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 2) + 1) / (2 + 1)) = (5 / 3)
109108oveq2i 7162 . . . . . . . . . 10 (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1))) = (2 · (5 / 3))
110 5cn 11717 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
111 3ne0 11735 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
11232, 110, 42, 111divassi 11388 . . . . . . . . . 10 ((2 · 5) / 3) = (2 · (5 / 3))
113109, 112eqtr4i 2851 . . . . . . . . 9 (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1))) = ((2 · 5) / 3)
114102, 113oveq12i 7163 . . . . . . . 8 (((2 · 2)C2) · (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1)))) = (6 · ((2 · 5) / 3))
11563, 114eqtri 2848 . . . . . . 7 ((2 · (2 + 1))C(2 + 1)) = (6 · ((2 · 5) / 3))
116 6cn 11720 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
117 2nn 11702 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
118 5nn 11715 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ
119117, 118nnmulcli 11654 . . . . . . . . . 10 (2 · 5) ∈ ℕ
120119nncni 11640 . . . . . . . . 9 (2 · 5) ∈ ℂ
12142, 111pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
122 div12 11312 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℂ ∧ (2 · 5) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (6 · ((2 · 5) / 3)) = ((2 · 5) · (6 / 3)))
123116, 120, 121, 122mp3an 1454 . . . . . . . 8 (6 · ((2 · 5) / 3)) = ((2 · 5) · (6 / 3))
124 5t2e10 12190 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
125110, 32, 124mulcomli 10642 . . . . . . . . 9 (2 · 5) = 10
126116, 42, 32, 111divmuli 11386 . . . . . . . . . 10 ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
12743, 126mpbir 232 . . . . . . . . 9 (6 / 3) = 2
128125, 127oveq12i 7163 . . . . . . . 8 ((2 · 5) · (6 / 3)) = (10 · 2)
129123, 128eqtri 2848 . . . . . . 7 (6 · ((2 · 5) / 3)) = (10 · 2)
13061, 115, 1293eqtri 2852 . . . . . 6 ((2 · 3)C3) = (10 · 2)
13144oveq1i 7161 . . . . . . . . 9 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
132 df-7 11697 . . . . . . . . 9 7 = (6 + 1)
133131, 132eqtr4i 2851 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + 1) = 7
134 3p1e4 11774 . . . . . . . 8 (3 + 1) = 4
135133, 134oveq12i 7163 . . . . . . 7 (((2 · 3) + 1) / (3 + 1)) = (7 / 4)
136135oveq2i 7162 . . . . . 6 (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1))) = (2 · (7 / 4))
137130, 136oveq12i 7163 . . . . 5 (((2 · 3)C3) · (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1)))) = ((10 · 2) · (2 · (7 / 4)))
13856, 58, 1373eqtri 2852 . . . 4 ((2 · 4)C4) = ((10 · 2) · (2 · (7 / 4)))
139 10nn 12106 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
140139nncni 11640 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
141 7cn 11723 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
142141, 48, 49divcli 11374 . . . . . . 7 (7 / 4) ∈ ℂ
14332, 142mulcli 10640 . . . . . 6 (2 · (7 / 4)) ∈ ℂ
144140, 32, 143mulassi 10644 . . . . 5 ((10 · 2) · (2 · (7 / 4))) = (10 · (2 · (2 · (7 / 4))))
145103oveq1i 7161 . . . . . . 7 ((2 · 2) · (7 / 4)) = (4 · (7 / 4))
14632, 32, 142mulassi 10644 . . . . . . 7 ((2 · 2) · (7 / 4)) = (2 · (2 · (7 / 4)))
147141, 48, 49divcan2i 11375 . . . . . . 7 (4 · (7 / 4)) = 7
148145, 146, 1473eqtr3i 2856 . . . . . 6 (2 · (2 · (7 / 4))) = 7
149148oveq2i 7162 . . . . 5 (10 · (2 · (2 · (7 / 4)))) = (10 · 7)
150144, 149eqtri 2848 . . . 4 ((10 · 2) · (2 · (7 / 4))) = (10 · 7)
15126dec0u 12111 . . . 4 (10 · 7) = 70
152138, 150, 1513eqtri 2852 . . 3 ((2 · 4)C4) = 70
15331, 53, 1523brtr4i 5092 . 2 ((4↑4) / 4) < ((2 · 4)C4)
154 4nn 11712 . . . 4 4 ∈ ℕ
155 eluznn 12310 . . . 4 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
156154, 155mpan 686 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ‘4) → 𝑛 ∈ ℕ)
157 nnnn0 11896 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
158 nnexpcl 13435 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (4↑𝑛) ∈ ℕ)
159154, 157, 158sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℕ)
160159nnrpd 12422 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℝ+)
161 nnrp 12393 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
162160, 161rpdivcld 12441 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ+)
163162rpred 12424 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
164 nnmulcl 11653 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
165117, 164mpan 686 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
166165nnnn0d 11947 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
167 nnz 11996 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
168 bccl 13675 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ0)
169166, 167, 168syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ0)
170169nn0red 11948 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)C𝑛) ∈ ℝ)
171 2rp 12387 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
172165peano2nnd 11647 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
173172nnrpd 12422 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
174 peano2nn 11642 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
175174nnrpd 12422 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
176173, 175rpdivcld 12441 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
177 rpmulcl 12405 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+) → (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ+)
178171, 176, 177sylancr 587 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ+)
179163, 170, 178ltmul1d 12465 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) ↔ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))))
180 bcp1ctr 25771 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) = (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
181157, 180syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) = (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
182181breq2d 5074 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ↔ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))))
183179, 182bitr4d 283 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) ↔ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
184 2re 11703 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
185184a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
186173, 161rpdivcld 12441 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
187186rpred 12424 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛) ∈ ℝ)
188 nnmulcl 11653 . . . . . . . . . 10 (((4↑𝑛) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℕ)
189159, 117, 188sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℕ)
190189nnrpd 12422 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℝ+)
191190, 175rpdivcld 12441 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
192161rpreccld 12434 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
193 ltaddrp 12419 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+) → 2 < (2 + (1 / 𝑛)))
194184, 192, 193sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 2 < (2 + (1 / 𝑛)))
195165nncnd 11646 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
196 1cnd 10628 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
197 nncn 11638 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
198 nnne0 11663 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
199195, 196, 197, 198divdird 11446 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛) = (((2 · 𝑛) / 𝑛) + (1 / 𝑛)))
20032a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
201200, 197, 198divcan4d 11414 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / 𝑛) = 2)
202201oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / 𝑛) + (1 / 𝑛)) = (2 + (1 / 𝑛)))
203199, 202eqtr2d 2861 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 + (1 / 𝑛)) = (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛))
204194, 203breqtrd 5088 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 2 < (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛))
205185, 187, 191, 204ltmul2dd 12480 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · 2) < ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛)))
206 expp1 13429 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
20748, 157, 206sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
208159nncnd 11646 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℂ)
209208, 200, 200mulassd 10656 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) · 2) = ((4↑𝑛) · (2 · 2)))
210103oveq2i 7162 . . . . . . . . . 10 ((4↑𝑛) · (2 · 2)) = ((4↑𝑛) · 4)
211209, 210syl6eq 2876 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) · 2) = ((4↑𝑛) · 4))
212207, 211eqtr4d 2863 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) = (((4↑𝑛) · 2) · 2))
213212oveq1d 7166 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) = ((((4↑𝑛) · 2) · 2) / (𝑛 + 1)))
214189nncnd 11646 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℂ)
215174nncnd 11646 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
216174nnne0d 11679 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ≠ 0)
217214, 200, 215, 216div23d 11445 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) · 2) / (𝑛 + 1)) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · 2))
218213, 217eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · 2))
219208, 200, 197, 198div23d 11445 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) / 𝑛) = (((4↑𝑛) / 𝑛) · 2))
220219oveq1d 7166 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) / 𝑛) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = ((((4↑𝑛) / 𝑛) · 2) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))
221172nncnd 11646 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
222214, 197, 221, 215, 198, 216divmul24d 11451 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) / 𝑛) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛)))
223162rpcnd 12426 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
224176rpcnd 12426 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
225223, 200, 224mulassd 10656 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) / 𝑛) · 2) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
226220, 222, 2253eqtr3rd 2869 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛)))
227205, 218, 2263brtr4d 5094 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
228174nnnn0d 11947 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
229 nnexpcl 13435 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ0) → (4↑(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
230154, 228, 229sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
231230nnrpd 12422 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
232231, 175rpdivcld 12441 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
233232rpred 12424 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
234178rpred 12424 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
235163, 234remulcld 10663 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
236 nn0mulcl 11925 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
23733, 228, 236sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
238174nnzd 12078 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
239 bccl 13675 . . . . . . . 8 (((2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
240237, 238, 239syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
241240nn0red 11948 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
242 lttr 10709 . . . . . 6 ((((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → ((((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∧ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
243233, 235, 241, 242syl3anc 1365 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∧ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
244227, 243mpand 691 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
245183, 244sylbid 241 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
246156, 245syl 17 . 2 (𝑛 ∈ (ℤ‘4) → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
2476, 12, 18, 24, 153, 246uzind4i 12302 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  7c7 11689  0cn0 11889  cz 11973  cdc 12090  cuz 12235  +crp 12382  cexp 13422  Ccbc 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656
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