Theorem bclbnd 27481

Description: A bound on the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bclbnd	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bclbnd

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (4↑𝑥) = (4↑4))
2		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 = 4)
3	1, 2	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑4) / 4))
4		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (2 · 𝑥) = (2 · 4))
5	4, 2	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · 4)C4))
6	3, 5	breq12d 5127	. 2 ⊢ (𝑥 = 4 → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑4) / 4) < ((2 · 4)C4)))
7		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (4↑𝑥) = (4↑𝑛))
8		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → 𝑥 = 𝑛)
9	7, 8	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑𝑛) / 𝑛))
10		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑛))
11	10, 8	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · 𝑛)C𝑛))
12	9, 11	breq12d 5127	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛)))
13		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (4↑𝑥) = (4↑(𝑛 + 1)))
14		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → 𝑥 = (𝑛 + 1))
15	13, 14	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)))
16		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑛 + 1)))
17	16, 14	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)))
18	15, 17	breq12d 5127	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
19		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (4↑𝑥) = (4↑𝑁))
20		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → 𝑥 = 𝑁)
21	19, 20	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑𝑁) / 𝑁))
22		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑁))
23	22, 20	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
24	21, 23	breq12d 5127	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁)))
25		6nn0 12543	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
26		7nn0 12544	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
27		4nn0 12541	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
28		0nn0 12537	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29		4lt10 12871	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
30		6lt7 12447	. . . 4 ⊢ 6 < 7
31	25, 26, 27, 28, 29, 30	decltc 12763	. . 3 ⊢ ;64 < ;70
32		2cn 12334	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
33		2nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
34		3nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
35		expmul 14163	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(2 · 3)) = ((2↑2)↑3))
36	32, 33, 34, 35	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (2↑(2 · 3)) = ((2↑2)↑3)
37		sq2 14253	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
38	37	eqcomi 2775	. . . . . 6 ⊢ 4 = (2↑2)
39		4m1e3 12387	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
40	38, 39	oveq12i 7435	. . . . 5 ⊢ (4↑(4 − 1)) = ((2↑2)↑3)
41	36, 40	eqtr4i 2792	. . . 4 ⊢ (2↑(2 · 3)) = (4↑(4 − 1))
42		2t3e6 12425	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
43	42	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ (2↑(2 · 3)) = (2↑6)
44		2exp6 17171	. . . . 5 ⊢ (2↑6) = ;64
45	43, 44	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (2↑(2 · 3)) = ;64
46		4cn 12344	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
47		4ne0 12370	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
48		4z 12646	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
49		expm1 14168	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (4↑(4 − 1)) = ((4↑4) / 4))
50	46, 47, 48, 49	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (4↑(4 − 1)) = ((4↑4) / 4)
51	41, 45, 50	3eqtr3ri 2798	. . 3 ⊢ ((4↑4) / 4) = ;64
52		df-4 12323	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (3 + 1)
53	52	oveq2i 7434	. . . . . 6 ⊢ (2 · 4) = (2 · (3 + 1))
54	53, 52	oveq12i 7435	. . . . 5 ⊢ ((2 · 4)C4) = ((2 · (3 + 1))C(3 + 1))
55		bcp1ctr 27480	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → ((2 · (3 + 1))C(3 + 1)) = (((2 · 3)C3) · (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1)))))
56	34, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2 · (3 + 1))C(3 + 1)) = (((2 · 3)C3) · (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1))))
57		df-3 12322	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 = (2 + 1)
58	57	oveq2i 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 3) = (2 · (2 + 1))
59	58, 57	oveq12i 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3)C3) = ((2 · (2 + 1))C(2 + 1))
60		bcp1ctr 27480	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 + 1))C(2 + 1)) = (((2 · 2)C2) · (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1)))))
61	33, 60	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (2 + 1))C(2 + 1)) = (((2 · 2)C2) · (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1))))
62		df-2 12321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
63	62	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = (2 · (1 + 1))
64	63, 62	oveq12i 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 2)C2) = ((2 · (1 + 1))C(1 + 1))
65		1nn0 12538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
66		bcp1ctr 27480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((2 · (1 + 1))C(1 + 1)) = (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)))))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 + 1))C(1 + 1)) = (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1))))
68		1e0p1 12776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
69	68	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 1) = (2 · (0 + 1))
70	69, 68	oveq12i 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 1)C1) = ((2 · (0 + 1))C(0 + 1))
71		bcp1ctr 27480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((2 · (0 + 1))C(0 + 1)) = (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)))))
72	28, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · (0 + 1))C(0 + 1)) = (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1))))
73	33, 28	nn0mulcli 12560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 0) ∈ ℕ0
74		bcn0 14366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 0) ∈ ℕ0 → ((2 · 0)C0) = 1)
75	73, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 0)C0) = 1
76		2t0e0 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 0) = 0
77	76	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
78	77, 68	eqtr4i 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
79	68	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 1) = 1
80	78, 79	oveq12i 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)) = (1 / 1)
81		1div1e1 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 / 1) = 1
82	80, 81	eqtri 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)) = 1
83	82	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1))) = (2 · 1)
84		2t1e2 12421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = 2
85	83, 84	eqtri 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1))) = 2
86	75, 85	oveq12i 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)))) = (1 · 2)
87	32	mullidi 11232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 2) = 2
88	86, 87	eqtri 2789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)))) = 2
89	70, 72, 88	3eqtri 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 1)C1) = 2
90	84	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
91	90, 57	eqtr4i 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
92	62	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
93	91, 92	oveq12i 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)) = (3 / 2)
94	93	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1))) = (2 · (3 / 2))
95		3cn 12340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℂ
96		2ne0 12365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
97	95, 32, 96	divcan2i 11976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (3 / 2)) = 3
98	94, 97	eqtri 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1))) = 3
99	89, 98	oveq12i 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)))) = (2 · 3)
100	99, 42	eqtri 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)))) = 6
101	64, 67, 100	3eqtri 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2)C2) = 6
102		2t2e4 12422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 2) = 4
103	102	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
104		df-5 12324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 = (4 + 1)
105	103, 104	eqtr4i 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
106	57	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 1) = 3
107	105, 106	oveq12i 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 2) + 1) / (2 + 1)) = (5 / 3)
108	107	oveq2i 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1))) = (2 · (5 / 3))
109		5cn 12347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
110		3ne0 12368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
111	32, 109, 95, 110	divassi 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 5) / 3) = (2 · (5 / 3))
112	108, 111	eqtr4i 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1))) = ((2 · 5) / 3)
113	101, 112	oveq12i 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 2)C2) · (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1)))) = (6 · ((2 · 5) / 3))
114	61, 113	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (2 + 1))C(2 + 1)) = (6 · ((2 · 5) / 3))
115		6cn 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
116		2nn 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
117		5nn 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
118	116, 117	nnmulcli 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 5) ∈ ℕ
119	118	nncni 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) ∈ ℂ
120	95, 110	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
121		div12 11912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℂ ∧ (2 · 5) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (6 · ((2 · 5) / 3)) = ((2 · 5) · (6 / 3)))
122	115, 119, 120, 121	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (6 · ((2 · 5) / 3)) = ((2 · 5) · (6 / 3))
123		5t2e10 12834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
124	109, 32, 123	mulcomli 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) = ;10
125		3t2e6 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
126	115, 95, 32, 110	divmuli 11987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
127	125, 126	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 / 3) = 2
128	124, 127	oveq12i 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 5) · (6 / 3)) = (;10 · 2)
129	122, 128	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (6 · ((2 · 5) / 3)) = (;10 · 2)
130	59, 114, 129	3eqtri 2793	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 3)C3) = (;10 · 2)
131	42	oveq1i 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
132		df-7 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 = (6 + 1)
133	131, 132	eqtr4i 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
134		3p1e4 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
135	133, 134	oveq12i 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 3) + 1) / (3 + 1)) = (7 / 4)
136	135	oveq2i 7434	. . . . . 6 ⊢ (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1))) = (2 · (7 / 4))
137	130, 136	oveq12i 7435	. . . . 5 ⊢ (((2 · 3)C3) · (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1)))) = ((;10 · 2) · (2 · (7 / 4)))
138	54, 56, 137	3eqtri 2793	. . . 4 ⊢ ((2 · 4)C4) = ((;10 · 2) · (2 · (7 / 4)))
139		10nn 12749	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
140	139	nncni 12261	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
141		7cn 12353	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
142	141, 46, 47	divcli 11975	. . . . . . 7 ⊢ (7 / 4) ∈ ℂ
143	32, 142	mulcli 11234	. . . . . 6 ⊢ (2 · (7 / 4)) ∈ ℂ
144	140, 32, 143	mulassi 11238	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 2) · (2 · (7 / 4))) = (;10 · (2 · (2 · (7 / 4))))
145	102	oveq1i 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · (7 / 4)) = (4 · (7 / 4))
146	32, 32, 142	mulassi 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · (7 / 4)) = (2 · (2 · (7 / 4)))
147	141, 46, 47	divcan2i 11976	. . . . . . 7 ⊢ (4 · (7 / 4)) = 7
148	145, 146, 147	3eqtr3i 2797	. . . . . 6 ⊢ (2 · (2 · (7 / 4))) = 7
149	148	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ (;10 · (2 · (2 · (7 / 4)))) = (;10 · 7)
150	144, 149	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ ((;10 · 2) · (2 · (7 / 4))) = (;10 · 7)
151	26	dec0u 12755	. . . 4 ⊢ (;10 · 7) = ;70
152	138, 150, 151	3eqtri 2793	. . 3 ⊢ ((2 · 4)C4) = ;70
153	31, 51, 152	3brtr4i 5146	. 2 ⊢ ((4↑4) / 4) < ((2 · 4)C4)
154		4nn 12342	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
155		eluznn 12960	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
156	154, 155	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑛 ∈ ℕ)
157		nnnn0 12529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
158		nnexpcl 14130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (4↑𝑛) ∈ ℕ)
159	154, 157, 158	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℕ)
160	159	nnrpd 13076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℝ+)
161		nnrp 13046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
162	160, 161	rpdivcld 13095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ+)
163	162	rpred 13078	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
164		nnmulcl 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
165	116, 164	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
166	165	nnnn0d 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
167		nnz 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
168		bccl 14378	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ0)
169	166, 167, 168	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ0)
170	169	nn0red 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)C𝑛) ∈ ℝ)
171		2rp 13039	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
172	165	peano2nnd 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
173	172	nnrpd 13076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
174		peano2nn 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
175	174	nnrpd 13076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
176	173, 175	rpdivcld 13095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
177		rpmulcl 13059	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+) → (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ+)
178	171, 176, 177	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ+)
179	163, 170, 178	ltmul1d 13119	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) ↔ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))))
180		bcp1ctr 27480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) = (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
181	157, 180	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) = (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
182	181	breq2d 5126	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ↔ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))))
183	179, 182	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) ↔ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
184		2re 12333	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
185	184	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
186	173, 161	rpdivcld 13095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
187	186	rpred 13078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛) ∈ ℝ)
188		nnmulcl 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((4↑𝑛) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℕ)
189	159, 116, 188	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℕ)
190	189	nnrpd 13076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℝ+)
191	190, 175	rpdivcld 13095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
192	161	rpreccld 13088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
193		ltaddrp 13073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+) → 2 < (2 + (1 / 𝑛)))
194	184, 192, 193	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 < (2 + (1 / 𝑛)))
195	165	nncnd 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
196		1cnd 11220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
197		nncn 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
198		nnne0 12288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
199	195, 196, 197, 198	divdird 12047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛) = (((2 · 𝑛) / 𝑛) + (1 / 𝑛)))
200	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
201	200, 197, 198	divcan4d 12015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / 𝑛) = 2)
202	201	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / 𝑛) + (1 / 𝑛)) = (2 + (1 / 𝑛)))
203	199, 202	eqtr2d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 + (1 / 𝑛)) = (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛))
204	194, 203	breqtrd 5142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 < (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛))
205	185, 187, 191, 204	ltmul2dd 13134	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · 2) < ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛)))
206		expp1 14124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
207	46, 157, 206	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
208	159	nncnd 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℂ)
209	208, 200, 200	mulassd 11250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) · 2) = ((4↑𝑛) · (2 · 2)))
210	102	oveq2i 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4↑𝑛) · (2 · 2)) = ((4↑𝑛) · 4)
211	209, 210	eqtrdi 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) · 2) = ((4↑𝑛) · 4))
212	207, 211	eqtr4d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) = (((4↑𝑛) · 2) · 2))
213	212	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) = ((((4↑𝑛) · 2) · 2) / (𝑛 + 1)))
214	189	nncnd 12267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℂ)
215	174	nncnd 12267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
216	174	nnne0d 12304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ≠ 0)
217	214, 200, 215, 216	div23d 12046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) · 2) / (𝑛 + 1)) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · 2))
218	213, 217	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · 2))
219	208, 200, 197, 198	div23d 12046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) / 𝑛) = (((4↑𝑛) / 𝑛) · 2))
220	219	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) / 𝑛) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = ((((4↑𝑛) / 𝑛) · 2) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))
221	172	nncnd 12267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
222	214, 197, 221, 215, 198, 216	divmul24d 12052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) / 𝑛) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛)))
223	162	rpcnd 13080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
224	176	rpcnd 13080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
225	223, 200, 224	mulassd 11250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) / 𝑛) · 2) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
226	220, 222, 225	3eqtr3rd 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛)))
227	205, 218, 226	3brtr4d 5148	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
228	174	nnnn0d 12583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
229		nnexpcl 14130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ0) → (4↑(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
230	154, 228, 229	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
231	230	nnrpd 13076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
232	231, 175	rpdivcld 13095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
233	232	rpred 13078	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
234	178	rpred 13078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
235	163, 234	remulcld 11257	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
236		nn0mulcl 12558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
237	33, 228, 236	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
238	174	nnzd 12635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
239		bccl 14378	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
240	237, 238, 239	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
241	240	nn0red 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
242		lttr 11304	. . . . . 6 ⊢ ((((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → ((((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∧ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
243	233, 235, 241, 242	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∧ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
244	227, 243	mpand 708	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
245	183, 244	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
246	156, 245	syl 18	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
247	6, 12, 18, 24, 153, 246	uzind4i 12952	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   − cmin 11459   / cdiv 11889  ℕcn 12251  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  6c6 12317  7c7 12318  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ;cdc 12729  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14117  Ccbc 14358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359

This theorem is used by:  bposlem6  27490  chebbnd1lem1  27670