Theorem bclbnd 26710

Description: A bound on the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bclbnd	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bclbnd

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7401	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (4↑𝑥) = (4↑4))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 = 4)
3	1, 2	oveq12d 7411	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑4) / 4))
4		oveq2 7401	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (2 · 𝑥) = (2 · 4))
5	4, 2	oveq12d 7411	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · 4)C4))
6	3, 5	breq12d 5154	. 2 ⊢ (𝑥 = 4 → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑4) / 4) < ((2 · 4)C4)))
7		oveq2 7401	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (4↑𝑥) = (4↑𝑛))
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → 𝑥 = 𝑛)
9	7, 8	oveq12d 7411	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑𝑛) / 𝑛))
10		oveq2 7401	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑛))
11	10, 8	oveq12d 7411	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · 𝑛)C𝑛))
12	9, 11	breq12d 5154	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛)))
13		oveq2 7401	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (4↑𝑥) = (4↑(𝑛 + 1)))
14		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → 𝑥 = (𝑛 + 1))
15	13, 14	oveq12d 7411	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)))
16		oveq2 7401	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑛 + 1)))
17	16, 14	oveq12d 7411	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)))
18	15, 17	breq12d 5154	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
19		oveq2 7401	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (4↑𝑥) = (4↑𝑁))
20		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → 𝑥 = 𝑁)
21	19, 20	oveq12d 7411	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((4↑𝑥) / 𝑥) = ((4↑𝑁) / 𝑁))
22		oveq2 7401	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑁))
23	22, 20	oveq12d 7411	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2 · 𝑥)C𝑥) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
24	21, 23	breq12d 5154	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((4↑𝑥) / 𝑥) < ((2 · 𝑥)C𝑥) ↔ ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁)))
25		6nn0 12475	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
26		7nn0 12476	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
27		4nn0 12473	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
28		0nn0 12469	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29		4lt10 12795	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
30		6lt7 12380	. . . 4 ⊢ 6 < 7
31	25, 26, 27, 28, 29, 30	decltc 12688	. . 3 ⊢ ;64 < ;70
32		2cn 12269	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
33		2nn0 12471	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
34		3nn0 12472	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
35		expmul 14055	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(2 · 3)) = ((2↑2)↑3))
36	32, 33, 34, 35	mp3an 1461	. . . . 5 ⊢ (2↑(2 · 3)) = ((2↑2)↑3)
37		sq2 14143	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
38	37	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ 4 = (2↑2)
39		4m1e3 12323	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
40	38, 39	oveq12i 7405	. . . . 5 ⊢ (4↑(4 − 1)) = ((2↑2)↑3)
41	36, 40	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ (2↑(2 · 3)) = (4↑(4 − 1))
42		3cn 12275	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
43		3t2e6 12360	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
44	42, 32, 43	mulcomli 11205	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
45	44	oveq2i 7404	. . . . 5 ⊢ (2↑(2 · 3)) = (2↑6)
46		2exp6 17002	. . . . 5 ⊢ (2↑6) = ;64
47	45, 46	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (2↑(2 · 3)) = ;64
48		4cn 12279	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
49		4ne0 12302	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
50		4z 12578	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
51		expm1 14060	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (4↑(4 − 1)) = ((4↑4) / 4))
52	48, 49, 50, 51	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ (4↑(4 − 1)) = ((4↑4) / 4)
53	41, 47, 52	3eqtr3ri 2768	. . 3 ⊢ ((4↑4) / 4) = ;64
54		df-4 12259	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (3 + 1)
55	54	oveq2i 7404	. . . . . 6 ⊢ (2 · 4) = (2 · (3 + 1))
56	55, 54	oveq12i 7405	. . . . 5 ⊢ ((2 · 4)C4) = ((2 · (3 + 1))C(3 + 1))
57		bcp1ctr 26709	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → ((2 · (3 + 1))C(3 + 1)) = (((2 · 3)C3) · (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1)))))
58	34, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((2 · (3 + 1))C(3 + 1)) = (((2 · 3)C3) · (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1))))
59		df-3 12258	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 = (2 + 1)
60	59	oveq2i 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 3) = (2 · (2 + 1))
61	60, 59	oveq12i 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3)C3) = ((2 · (2 + 1))C(2 + 1))
62		bcp1ctr 26709	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 + 1))C(2 + 1)) = (((2 · 2)C2) · (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1)))))
63	33, 62	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (2 + 1))C(2 + 1)) = (((2 · 2)C2) · (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1))))
64		df-2 12257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
65	64	oveq2i 7404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = (2 · (1 + 1))
66	65, 64	oveq12i 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 2)C2) = ((2 · (1 + 1))C(1 + 1))
67		1nn0 12470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
68		bcp1ctr 26709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((2 · (1 + 1))C(1 + 1)) = (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)))))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (1 + 1))C(1 + 1)) = (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1))))
70		1e0p1 12701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
71	70	oveq2i 7404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 1) = (2 · (0 + 1))
72	71, 70	oveq12i 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 1)C1) = ((2 · (0 + 1))C(0 + 1))
73		bcp1ctr 26709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((2 · (0 + 1))C(0 + 1)) = (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)))))
74	28, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · (0 + 1))C(0 + 1)) = (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1))))
75	33, 28	nn0mulcli 12492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 0) ∈ ℕ0
76		bcn0 14252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 0) ∈ ℕ0 → ((2 · 0)C0) = 1)
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 0)C0) = 1
78		2t0e0 12363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 0) = 0
79	78	oveq1i 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
80	79, 70	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
81	70	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 1) = 1
82	80, 81	oveq12i 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)) = (1 / 1)
83		1div1e1 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 / 1) = 1
84	82, 83	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)) = 1
85	84	oveq2i 7404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1))) = (2 · 1)
86		2t1e2 12357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 1) = 2
87	85, 86	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1))) = 2
88	77, 87	oveq12i 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)))) = (1 · 2)
89	32	mullidi 11201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 2) = 2
90	88, 89	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 0)C0) · (2 · (((2 · 0) + 1) / (0 + 1)))) = 2
91	72, 74, 90	3eqtri 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 1)C1) = 2
92	86	oveq1i 7403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
93	92, 59	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
94	64	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
95	93, 94	oveq12i 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)) = (3 / 2)
96	95	oveq2i 7404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1))) = (2 · (3 / 2))
97		2ne0 12298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
98	42, 32, 97	divcan2i 11939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (3 / 2)) = 3
99	96, 98	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1))) = 3
100	91, 99	oveq12i 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)))) = (2 · 3)
101	100, 44	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 1)C1) · (2 · (((2 · 1) + 1) / (1 + 1)))) = 6
102	66, 69, 101	3eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2)C2) = 6
103		2t2e4 12358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 2) = 4
104	103	oveq1i 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
105		df-5 12260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 = (4 + 1)
106	104, 105	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
107	59	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 1) = 3
108	106, 107	oveq12i 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 2) + 1) / (2 + 1)) = (5 / 3)
109	108	oveq2i 7404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1))) = (2 · (5 / 3))
110		5cn 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
111		3ne0 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
112	32, 110, 42, 111	divassi 11952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 5) / 3) = (2 · (5 / 3))
113	109, 112	eqtr4i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1))) = ((2 · 5) / 3)
114	102, 113	oveq12i 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 2)C2) · (2 · (((2 · 2) + 1) / (2 + 1)))) = (6 · ((2 · 5) / 3))
115	63, 114	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (2 + 1))C(2 + 1)) = (6 · ((2 · 5) / 3))
116		6cn 12285	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
117		2nn 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
118		5nn 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
119	117, 118	nnmulcli 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 5) ∈ ℕ
120	119	nncni 12204	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) ∈ ℂ
121	42, 111	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
122		div12 11876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℂ ∧ (2 · 5) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (6 · ((2 · 5) / 3)) = ((2 · 5) · (6 / 3)))
123	116, 120, 121, 122	mp3an 1461	. . . . . . . 8 ⊢ (6 · ((2 · 5) / 3)) = ((2 · 5) · (6 / 3))
124		5t2e10 12759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
125	110, 32, 124	mulcomli 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) = ;10
126	116, 42, 32, 111	divmuli 11950	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
127	43, 126	mpbir 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 / 3) = 2
128	125, 127	oveq12i 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 5) · (6 / 3)) = (;10 · 2)
129	123, 128	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (6 · ((2 · 5) / 3)) = (;10 · 2)
130	61, 115, 129	3eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 3)C3) = (;10 · 2)
131	44	oveq1i 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
132		df-7 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 = (6 + 1)
133	131, 132	eqtr4i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
134		3p1e4 12339	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
135	133, 134	oveq12i 7405	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 3) + 1) / (3 + 1)) = (7 / 4)
136	135	oveq2i 7404	. . . . . 6 ⊢ (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1))) = (2 · (7 / 4))
137	130, 136	oveq12i 7405	. . . . 5 ⊢ (((2 · 3)C3) · (2 · (((2 · 3) + 1) / (3 + 1)))) = ((;10 · 2) · (2 · (7 / 4)))
138	56, 58, 137	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((2 · 4)C4) = ((;10 · 2) · (2 · (7 / 4)))
139		10nn 12675	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
140	139	nncni 12204	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
141		7cn 12288	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
142	141, 48, 49	divcli 11938	. . . . . . 7 ⊢ (7 / 4) ∈ ℂ
143	32, 142	mulcli 11203	. . . . . 6 ⊢ (2 · (7 / 4)) ∈ ℂ
144	140, 32, 143	mulassi 11207	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 2) · (2 · (7 / 4))) = (;10 · (2 · (2 · (7 / 4))))
145	103	oveq1i 7403	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · (7 / 4)) = (4 · (7 / 4))
146	32, 32, 142	mulassi 11207	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · (7 / 4)) = (2 · (2 · (7 / 4)))
147	141, 48, 49	divcan2i 11939	. . . . . . 7 ⊢ (4 · (7 / 4)) = 7
148	145, 146, 147	3eqtr3i 2767	. . . . . 6 ⊢ (2 · (2 · (7 / 4))) = 7
149	148	oveq2i 7404	. . . . 5 ⊢ (;10 · (2 · (2 · (7 / 4)))) = (;10 · 7)
150	144, 149	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((;10 · 2) · (2 · (7 / 4))) = (;10 · 7)
151	26	dec0u 12680	. . . 4 ⊢ (;10 · 7) = ;70
152	138, 150, 151	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ ((2 · 4)C4) = ;70
153	31, 53, 152	3brtr4i 5171	. 2 ⊢ ((4↑4) / 4) < ((2 · 4)C4)
154		4nn 12277	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
155		eluznn 12884	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
156	154, 155	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑛 ∈ ℕ)
157		nnnn0 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
158		nnexpcl 14022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (4↑𝑛) ∈ ℕ)
159	154, 157, 158	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℕ)
160	159	nnrpd 12996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℝ+)
161		nnrp 12967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
162	160, 161	rpdivcld 13015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ+)
163	162	rpred 12998	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
164		nnmulcl 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
165	117, 164	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
166	165	nnnn0d 12514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
167		nnz 12561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
168		bccl 14264	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ0)
169	166, 167, 168	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ0)
170	169	nn0red 12515	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)C𝑛) ∈ ℝ)
171		2rp 12961	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
172	165	peano2nnd 12211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
173	172	nnrpd 12996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
174		peano2nn 12206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
175	174	nnrpd 12996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
176	173, 175	rpdivcld 13015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
177		rpmulcl 12979	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+) → (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ+)
178	171, 176, 177	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ+)
179	163, 170, 178	ltmul1d 13039	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) ↔ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))))
180		bcp1ctr 26709	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) = (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
181	157, 180	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) = (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
182	181	breq2d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ↔ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < (((2 · 𝑛)C𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))))
183	179, 182	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) ↔ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
184		2re 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
185	184	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
186	173, 161	rpdivcld 13015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
187	186	rpred 12998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛) ∈ ℝ)
188		nnmulcl 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((4↑𝑛) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℕ)
189	159, 117, 188	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℕ)
190	189	nnrpd 12996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℝ+)
191	190, 175	rpdivcld 13015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
192	161	rpreccld 13008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
193		ltaddrp 12993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+) → 2 < (2 + (1 / 𝑛)))
194	184, 192, 193	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 < (2 + (1 / 𝑛)))
195	165	nncnd 12210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
196		1cnd 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
197		nncn 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
198		nnne0 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
199	195, 196, 197, 198	divdird 12010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛) = (((2 · 𝑛) / 𝑛) + (1 / 𝑛)))
200	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
201	200, 197, 198	divcan4d 11978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / 𝑛) = 2)
202	201	oveq1d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / 𝑛) + (1 / 𝑛)) = (2 + (1 / 𝑛)))
203	199, 202	eqtr2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 + (1 / 𝑛)) = (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛))
204	194, 203	breqtrd 5167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 < (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛))
205	185, 187, 191, 204	ltmul2dd 13054	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · 2) < ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛)))
206		expp1 14016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
207	48, 157, 206	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
208	159	nncnd 12210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℂ)
209	208, 200, 200	mulassd 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) · 2) = ((4↑𝑛) · (2 · 2)))
210	103	oveq2i 7404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4↑𝑛) · (2 · 2)) = ((4↑𝑛) · 4)
211	209, 210	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) · 2) = ((4↑𝑛) · 4))
212	207, 211	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) = (((4↑𝑛) · 2) · 2))
213	212	oveq1d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) = ((((4↑𝑛) · 2) · 2) / (𝑛 + 1)))
214	189	nncnd 12210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 2) ∈ ℂ)
215	174	nncnd 12210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
216	174	nnne0d 12244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ≠ 0)
217	214, 200, 215, 216	div23d 12009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) · 2) / (𝑛 + 1)) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · 2))
218	213, 217	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · 2))
219	208, 200, 197, 198	div23d 12009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) · 2) / 𝑛) = (((4↑𝑛) / 𝑛) · 2))
220	219	oveq1d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) / 𝑛) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = ((((4↑𝑛) / 𝑛) · 2) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))
221	172	nncnd 12210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
222	214, 197, 221, 215, 198, 216	divmul24d 12015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 2) / 𝑛) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛)))
223	162	rpcnd 13000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
224	176	rpcnd 13000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
225	223, 200, 224	mulassd 11219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) / 𝑛) · 2) · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
226	220, 222, 225	3eqtr3rd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = ((((4↑𝑛) · 2) / (𝑛 + 1)) · (((2 · 𝑛) + 1) / 𝑛)))
227	205, 218, 226	3brtr4d 5173	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
228	174	nnnn0d 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
229		nnexpcl 14022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ0) → (4↑(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
230	154, 228, 229	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
231	230	nnrpd 12996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
232	231, 175	rpdivcld 13015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
233	232	rpred 12998	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
234	178	rpred 12998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
235	163, 234	remulcld 11226	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
236		nn0mulcl 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
237	33, 228, 236	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
238	174	nnzd 12567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
239		bccl 14264	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ) → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
240	237, 238, 239	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
241	240	nn0red 12515	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
242		lttr 11272	. . . . . 6 ⊢ ((((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → ((((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∧ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
243	233, 235, 241, 242	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) ∧ (((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
244	227, 243	mpand 693	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) / 𝑛) · (2 · (((2 · 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
245	183, 244	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
246	156, 245	syl 17	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) → (((4↑𝑛) / 𝑛) < ((2 · 𝑛)C𝑛) → ((4↑(𝑛 + 1)) / (𝑛 + 1)) < ((2 · (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
247	6, 12, 18, 24, 153, 246	uzind4i 12876	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → ((4↑𝑁) / 𝑁) < ((2 · 𝑁)C𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ℂcc 11090  ℝcr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097   < clt 11230   − cmin 11426   / cdiv 11853  ℕcn 12194  2c2 12249  3c3 12250  4c4 12251  5c5 12252  6c6 12253  7c7 12254  ℕ₀cn0 12454  ℤcz 12540  ;cdc 12659  ℤ_≥cuz 12804  ℝ⁺crp 12956  ↑cexp 14009  Ccbc 14244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245

This theorem is referenced by:  bposlem6  26719  chebbnd1lem1  26899