MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnpcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvnpcan 29545
Description: Cancellation law for a normed complex vector space. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvpncan2.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvpncan2.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvpncan2.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvnpcan ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵)𝐺𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem nvnpcan
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
2 simprr 771 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
31, 2, 23jca 1128 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋))
4 nvpncan2.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 nvpncan2.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
6 nvpncan2.3 . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
74, 5, 6nvaddsub 29544 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐵) = ((𝐴𝑀𝐵)𝐺𝐵))
83, 7syldan 591 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐵) = ((𝐴𝑀𝐵)𝐺𝐵))
983impb 1115 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐵) = ((𝐴𝑀𝐵)𝐺𝐵))
104, 5, 6nvpncan 29543 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐵) = 𝐴)
119, 10eqtr3d 2778 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵)𝐺𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7356  NrmCVeccnv 29473   +𝑣 cpv 29474  BaseSetcba 29475  𝑣 cnsb 29478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-ltxr 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-grpo 29382  df-gid 29383  df-ginv 29384  df-gdiv 29385  df-ablo 29434  df-vc 29448  df-nv 29481  df-va 29484  df-ba 29485  df-sm 29486  df-0v 29487  df-vs 29488  df-nmcv 29489
This theorem is referenced by:  nvmeq0  29547
  Copyright terms: Public domain W3C validator