Theorem prdstps 23957

Description: A structure product of topological spaces is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdstopn.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdstopn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstopn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdstps.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶TopSp)

Assertion

Ref	Expression
prdstps	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TopSp)

Proof of Theorem prdstps

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdstopn.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		prdstps.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶TopSp)
3	2	ffvelcdmda 7089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ TopSp)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) = (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))
6	4, 5	istps 23261	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅‘𝑥) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
7	3, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
8	7	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
10	9	pttopon 23924	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥)))) → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
11	1, 8, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
12		prdstopn.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
13		prdstopn.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
14	2, 1	fexd 7237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
16	2	fdmd 6725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
17		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝑌) = (TopSet‘𝑌)
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	prdstset 17646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)))
19		topnfn 17605	. . . . . . 7 ⊢ TopOpen Fn V
20		dffn2 6716	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen Fn V ↔ TopOpen:V⟶V)
21	19, 20	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ TopOpen:V⟶V
22		ssv 3933	. . . . . . 7 ⊢ TopSp ⊆ V
23		fss 6731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶TopSp ∧ TopSp ⊆ V) → 𝑅:𝐼⟶V)
24	2, 22, 23	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶V)
25		fcompt 7139	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen:V⟶V ∧ 𝑅:𝐼⟶V) → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
26	21, 24, 25	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
27	26	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))))
28	18, 27	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))))
29	12, 13, 14, 15, 16	prdsbas 17637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
30	29	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘(Base‘𝑌)) = (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
31	11, 28, 30	3eltr4d 2875	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)))
32	15, 17	tsettps 23268	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)) → 𝑌 ∈ TopSp)
33	31, 32	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TopSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Xcixp 8932  Basecbs 17396  TopSetcts 17443  TopOpenctopn 17601  ∏_tcpt 17618  X_scprds 17625  TopOnctopon 23237  TopSpctps 23259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fi 9410  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273

This theorem is used by:  pwstps  23958  xpstps  24138  prdstmdd  24452