Theorem prdstps 22220

Description: A structure product of topological spaces is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdstopn.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdstopn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstopn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdstps.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶TopSp)

Assertion

Ref	Expression
prdstps	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TopSp)

Proof of Theorem prdstps

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdstopn.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		prdstps.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶TopSp)
3	2	ffvelrnda 6837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ TopSp)
4		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
5		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) = (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))
6	4, 5	istps 21525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅‘𝑥) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
7	3, 6	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
8	7	ralrimiva 3182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
9		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
10	9	pttopon 22187	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥)))) → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
11	1, 8, 10	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
12		prdstopn.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
13		prdstopn.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
14		fex 6975	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶TopSp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
15	2, 1, 14	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
16		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17	2	fdmd 6509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
18		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝑌) = (TopSet‘𝑌)
19	12, 13, 15, 16, 17, 18	prdstset 16722	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)))
20		topnfn 16682	. . . . . . 7 ⊢ TopOpen Fn V
21		dffn2 6502	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen Fn V ↔ TopOpen:V⟶V)
22	20, 21	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ TopOpen:V⟶V
23		ssv 3979	. . . . . . 7 ⊢ TopSp ⊆ V
24		fss 6513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶TopSp ∧ TopSp ⊆ V) → 𝑅:𝐼⟶V)
25	2, 23, 24	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶V)
26		fcompt 6881	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen:V⟶V ∧ 𝑅:𝐼⟶V) → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
27	22, 25, 26	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
28	27	fveq2d 6660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))))
29	19, 28	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))))
30	12, 13, 15, 16, 17	prdsbas 16713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
31	30	fveq2d 6660	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘(Base‘𝑌)) = (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
32	11, 29, 31	3eltr4d 2928	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)))
33	16, 18	tsettps 21532	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)) → 𝑌 ∈ TopSp)
34	32, 33	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3486   ⊆ wss 3924   ↦ cmpt 5132   ∘ ccom 5545   Fn wfn 6336  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  Xcixp 8447  Basecbs 16466  TopSetcts 16554  TopOpenctopn 16678  ∏_tcpt 16695  X_scprds 16702  TopOnctopon 21501  TopSpctps 21523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fi 8861  df-sup 8892  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-fz 12883  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-ip 16566  df-tset 16567  df-ple 16568  df-ds 16570  df-hom 16572  df-cco 16573  df-rest 16679  df-topn 16680  df-topgen 16700  df-pt 16701  df-prds 16704  df-top 21485  df-topon 21502  df-topsp 21524  df-bases 21537

This theorem is referenced by:  pwstps  22221  xpstps  22401  prdstmdd  22715