Theorem prdstps 23949

Description: A structure product of topological spaces is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdstopn.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdstopn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstopn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdstps.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶TopSp)

Assertion

Ref	Expression
prdstps	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TopSp)

Proof of Theorem prdstps

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdstopn.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		prdstps.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶TopSp)
3	2	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ TopSp)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) = (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))
6	4, 5	istps 23253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅‘𝑥) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
7	3, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
8	7	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
10	9	pttopon 23916	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥)))) → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
11	1, 8, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
12		prdstopn.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
13		prdstopn.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
14	2, 1	fexd 7233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
16	2	fdmd 6720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
17		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝑌) = (TopSet‘𝑌)
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	prdstset 17638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)))
19		topnfn 17597	. . . . . . 7 ⊢ TopOpen Fn V
20		dffn2 6711	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen Fn V ↔ TopOpen:V⟶V)
21	19, 20	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ TopOpen:V⟶V
22		ssv 3932	. . . . . . 7 ⊢ TopSp ⊆ V
23		fss 6726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶TopSp ∧ TopSp ⊆ V) → 𝑅:𝐼⟶V)
24	2, 22, 23	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶V)
25		fcompt 7134	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen:V⟶V ∧ 𝑅:𝐼⟶V) → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
26	21, 24, 25	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
27	26	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))))
28	18, 27	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))))
29	12, 13, 14, 15, 16	prdsbas 17629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
30	29	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘(Base‘𝑌)) = (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
31	11, 28, 30	3eltr4d 2875	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)))
32	15, 17	tsettps 23260	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)) → 𝑌 ∈ TopSp)
33	31, 32	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TopSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Xcixp 8926  Basecbs 17388  TopSetcts 17435  TopOpenctopn 17593  ∏_tcpt 17610  X_scprds 17617  TopOnctopon 23229  TopSpctps 23251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9404  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265

This theorem is used by:  pwstps  23950  xpstps  24130  prdstmdd  24444