Theorem prdstps 23653

Description: A structure product of topological spaces is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdstopn.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdstopn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstopn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdstps.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶TopSp)

Assertion

Ref	Expression
prdstps	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TopSp)

Proof of Theorem prdstps

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdstopn.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		prdstps.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶TopSp)
3	2	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ TopSp)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
5		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) = (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))
6	4, 5	istps 22956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅‘𝑥) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
7	3, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
8	7	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
9		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
10	9	pttopon 23620	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥)))) → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
11	1, 8, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
12		prdstopn.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
13		prdstopn.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
14	2, 1	fexd 7247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
15		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
16	2	fdmd 6747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
17		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝑌) = (TopSet‘𝑌)
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	prdstset 17513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)))
19		topnfn 17472	. . . . . . 7 ⊢ TopOpen Fn V
20		dffn2 6739	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen Fn V ↔ TopOpen:V⟶V)
21	19, 20	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ TopOpen:V⟶V
22		ssv 4020	. . . . . . 7 ⊢ TopSp ⊆ V
23		fss 6753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶TopSp ∧ TopSp ⊆ V) → 𝑅:𝐼⟶V)
24	2, 22, 23	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶V)
25		fcompt 7153	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen:V⟶V ∧ 𝑅:𝐼⟶V) → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
26	21, 24, 25	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
27	26	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))))
28	18, 27	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))))
29	12, 13, 14, 15, 16	prdsbas 17504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
30	29	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘(Base‘𝑌)) = (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
31	11, 28, 30	3eltr4d 2854	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)))
32	15, 17	tsettps 22963	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)) → 𝑌 ∈ TopSp)
33	31, 32	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5693   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Xcixp 8936  Basecbs 17245  TopSetcts 17304  TopOpenctopn 17468  ∏_tcpt 17485  X_scprds 17492  TopOnctopon 22932  TopSpctps 22954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969

This theorem is referenced by:  pwstps  23654  xpstps  23834  prdstmdd  24148