MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdstps 23483
Description: A structure product of topological spaces is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdstopn.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstopn.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdstps.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopSp)
Assertion
Ref Expression
prdstps (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopSp)

Proof of Theorem prdstps
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
2 prdstps.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopSp)
32ffvelcdmda 7079 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ TopSp)
4 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
64, 5istps 22786 . . . . . 6 ((π‘…β€˜π‘₯) ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
73, 6sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
87ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
9 eqid 2726 . . . . 5 (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
109pttopon 23450 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
111, 8, 10syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
12 prdstopn.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
13 prdstopn.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
142, 1fexd 7223 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
15 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
162fdmd 6721 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝐼)
17 eqid 2726 . . . . 5 (TopSetβ€˜π‘Œ) = (TopSetβ€˜π‘Œ)
1812, 13, 14, 15, 16, 17prdstset 17418 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
19 topnfn 17377 . . . . . . 7 TopOpen Fn V
20 dffn2 6712 . . . . . . 7 (TopOpen Fn V ↔ TopOpen:V⟢V)
2119, 20mpbi 229 . . . . . 6 TopOpen:V⟢V
22 ssv 4001 . . . . . . 7 TopSp βŠ† V
23 fss 6727 . . . . . . 7 ((𝑅:𝐼⟢TopSp ∧ TopSp βŠ† V) β†’ 𝑅:𝐼⟢V)
242, 22, 23sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢V)
25 fcompt 7126 . . . . . 6 ((TopOpen:V⟢V ∧ 𝑅:𝐼⟢V) β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
2621, 24, 25sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
2726fveq2d 6888 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))))
2818, 27eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))))
2912, 13, 14, 15, 16prdsbas 17409 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
3029fveq2d 6888 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)) = (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
3111, 28, 303eltr4d 2842 . 2 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
3215, 17tsettps 22793 . 2 ((TopSetβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ TopSp)
3331, 32syl 17 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Xcixp 8890  Basecbs 17150  TopSetcts 17209  TopOpenctopn 17373  βˆtcpt 17390  Xscprds 17397  TopOnctopon 22762  TopSpctps 22784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799
This theorem is referenced by:  pwstps  23484  xpstps  23664  prdstmdd  23978
  Copyright terms: Public domain W3C validator