Theorem sigaraf 43130

Description: Signed area is additive by the first argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigaraf	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐶𝐺𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigaraf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjadd 14500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐶)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)))
2	1	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)) · 𝐵))
3	2	3adant2 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)) · 𝐵))
4		simp1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	cjcld 14555	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
6		simp3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	cjcld 14555	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘𝐶) ∈ ℂ)
8		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	adddird 10666	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵)))
10	3, 9	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵)))
11	10	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)) = (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵))))
12	5, 8	mulcld 10661	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
13	7, 8	mulcld 10661	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐶) · 𝐵) ∈ ℂ)
14	12, 13	imaddd 14574	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵))) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) + (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
15	11, 14	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) + (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
16	4, 6	addcld 10660	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
17		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
18	17	sigarval 43127	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)))
19	16, 8, 18	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)))
20	17	sigarval 43127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
21	20	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
22		3simpc 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
23	22	ancomd 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
24	17	sigarval 43127	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵)))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵)))
26	21, 25	oveq12d 7174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐶𝐺𝐵)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) + (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
27	15, 19, 26	3eqtr4d 2866	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐶𝐺𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  ℂcc 10535   + caddc 10540   · cmul 10542  ∗ccj 14455  ℑcim 14457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-2 11701  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460

This theorem is referenced by:  sigaras  43132  sharhght  43142