Theorem sigaraf 46759

Description: Signed area is additive by the first argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigaraf	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐶𝐺𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigaraf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjadd 15166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐶)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)))
2	1	oveq1d 7440	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)) · 𝐵))
3	2	3adant2 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)) · 𝐵))
4		simp1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	cjcld 15221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
6		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	cjcld 15221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘𝐶) ∈ ℂ)
8		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	adddird 11277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵)))
10	3, 9	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵)))
11	10	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)) = (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵))))
12	5, 8	mulcld 11272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
13	7, 8	mulcld 11272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐶) · 𝐵) ∈ ℂ)
14	12, 13	imaddd 15240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵))) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) + (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
15	11, 14	eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) + (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
16	4, 6	addcld 11271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
17		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
18	17	sigarval 46756	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)))
19	16, 8, 18	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)))
20	17	sigarval 46756	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
21	20	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
22		3simpc 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
23	22	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
24	17	sigarval 46756	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵)))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵)))
26	21, 25	oveq12d 7443	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐶𝐺𝐵)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) + (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
27	15, 19, 26	3eqtr4d 2783	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐶𝐺𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1535   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425   ∈ cmpo 7427  ℂcc 11144   + caddc 11149   · cmul 11151  ∗ccj 15121  ℑcim 15123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11912  df-2 12320  df-cj 15124  df-re 15125  df-im 15126

This theorem is referenced by:  sigaras  46761  sharhght  46771