Theorem sigaraf 46764

Description: Signed area is additive by the first argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigaraf	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐶𝐺𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigaraf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjadd 15184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐶)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)))
2	1	oveq1d 7458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)) · 𝐵))
3	2	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)) · 𝐵))
4		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	cjcld 15239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
6		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	cjcld 15239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘𝐶) ∈ ℂ)
8		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	adddird 11309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((∗‘𝐴) + (∗‘𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵)))
10	3, 9	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵)))
11	10	fveq2d 6919	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)) = (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵))))
12	5, 8	mulcld 11304	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
13	7, 8	mulcld 11304	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐶) · 𝐵) ∈ ℂ)
14	12, 13	imaddd 15258	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) + ((∗‘𝐶) · 𝐵))) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) + (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
15	11, 14	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) + (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
16	4, 6	addcld 11303	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
17		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
18	17	sigarval 46761	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)))
19	16, 8, 18	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘(𝐴 + 𝐶)) · 𝐵)))
20	17	sigarval 46761	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
21	20	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
22		3simpc 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
23	22	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
24	17	sigarval 46761	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵)))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵)))
26	21, 25	oveq12d 7461	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐶𝐺𝐵)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) + (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
27	15, 19, 26	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶)𝐺𝐵) = ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐶𝐺𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445  ℂcc 11176   + caddc 11181   · cmul 11183  ∗ccj 15139  ℑcim 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8757  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-div 11942  df-2 12350  df-cj 15142  df-re 15143  df-im 15144

This theorem is referenced by:  sigaras  46766  sharhght  46776