Theorem cjcld 15363

Description: Closure law for complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cjcld	⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cjcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cjcl 15272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  ℂcc 11198  ∗ccj 15263

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-cj 15266

This theorem is used by:  absrpcl  15455  absmul  15461  abstri  15498  abs1m  15503  abslem2  15507  sqreulem  15527  gzcjcl  17114  mul4sqlem  17131  gzrngunit  21739  cphipipcj  25521  cphassr  25533  cph2ass  25534  tcphcphlem2  25557  pjthlem1  25758  itgabs  26155  dvcj  26270  dvmptre  26289  dvmptim  26290  tanregt0  26867  logcj  26934  cosargd  26936  root1cj  27084  lawcoslem1  27143  isosctrlem2  27147  asinlem3  27199  atandmcj  27237  atancj  27238  sum2dchr  27601  rpvmasum2  27839  dchrisum0re  27840  pjhthlem1  31993  riesz3i  32664  constrrtll  34363  constrrtlc1  34364  constrrtcclem  34366  constrrtcc  34367  constrconj  34377  constrfin  34378  constrelextdg2  34379  constrrecl  34401  constrreinvcl  34404  constrinvcl  34405  itgabsnc  38607  ftc1cnnclem  38609  ftc2nc  38620  sigarim  47860  sigarac  47861  sigaraf  47862  sigarmf  47863  sigarls  47866  sigardiv  47870  sharhght  47874