Theorem cjcld 15162

Description: Closure law for complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cjcld	⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cjcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cjcl 15071	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  ℂcc 11066  ∗ccj 15062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-cj 15065

This theorem is referenced by:  absrpcl  15254  absmul  15260  abstri  15297  abs1m  15302  abslem2  15306  sqreulem  15326  gzcjcl  16907  mul4sqlem  16924  gzrngunit  21350  cphipipcj  25100  cphassr  25112  cph2ass  25113  tcphcphlem2  25136  pjthlem1  25337  itgabs  25736  dvcj  25854  dvmptre  25873  dvmptim  25874  tanregt0  26448  logcj  26515  cosargd  26517  root1cj  26666  lawcoslem1  26725  isosctrlem2  26729  asinlem3  26781  atandmcj  26819  atancj  26820  sum2dchr  27185  rpvmasum2  27423  dchrisum0re  27424  pjhthlem1  31320  riesz3i  31991  constrrtll  33721  constrrtlc1  33722  constrrtcclem  33724  constrrtcc  33725  constrconj  33735  constrfin  33736  constrelextdg2  33737  constrrecl  33759  constrreinvcl  33762  constrinvcl  33763  itgabsnc  37683  ftc1cnnclem  37685  ftc2nc  37696  sigarim  46849  sigarac  46850  sigaraf  46851  sigarmf  46852  sigarls  46855  sigardiv  46859  sharhght  46863