MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjcld 14543
Description: Closure law for complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
cjcld (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cjcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cjcl 14452 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  cfv 6348  cc 10523  ccj 14443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-cj 14446
This theorem is referenced by:  absrpcl  14636  absmul  14642  abstri  14678  abs1m  14683  abslem2  14687  sqreulem  14707  gzcjcl  16260  mul4sqlem  16277  gzrngunit  20539  cphipipcj  23731  cphassr  23743  cph2ass  23744  tcphcphlem2  23766  pjthlem1  23967  itgabs  24362  dvcj  24474  dvmptre  24493  dvmptim  24494  tanregt0  25050  logcj  25116  cosargd  25118  root1cj  25264  lawcoslem1  25320  isosctrlem2  25324  asinlem3  25376  atandmcj  25414  atancj  25415  sum2dchr  25777  rpvmasum2  26015  dchrisum0re  26016  pjhthlem1  29095  riesz3i  29766  itgabsnc  34842  ftc1cnnclem  34846  ftc2nc  34857  sigarim  42985  sigarac  42986  sigaraf  42987  sigarmf  42988  sigarls  42991  sigardiv  42995  sharhght  42999
  Copyright terms: Public domain W3C validator