Theorem cjcld 15131

Description: Closure law for complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cjcld	⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cjcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cjcl 15040	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  ℂcc 11036  ∗ccj 15031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-cj 15034

This theorem is referenced by:  absrpcl  15223  absmul  15229  abstri  15266  abs1m  15271  abslem2  15275  sqreulem  15295  gzcjcl  16876  mul4sqlem  16893  gzrngunit  21400  cphipipcj  25168  cphassr  25180  cph2ass  25181  tcphcphlem2  25204  pjthlem1  25405  itgabs  25804  dvcj  25922  dvmptre  25941  dvmptim  25942  tanregt0  26516  logcj  26583  cosargd  26585  root1cj  26734  lawcoslem1  26793  isosctrlem2  26797  asinlem3  26849  atandmcj  26887  atancj  26888  sum2dchr  27253  rpvmasum2  27491  dchrisum0re  27492  pjhthlem1  31479  riesz3i  32150  constrrtll  33909  constrrtlc1  33910  constrrtcclem  33912  constrrtcc  33913  constrconj  33923  constrfin  33924  constrelextdg2  33925  constrrecl  33947  constrreinvcl  33950  constrinvcl  33951  itgabsnc  37940  ftc1cnnclem  37942  ftc2nc  37953  sigarim  47209  sigarac  47210  sigaraf  47211  sigarmf  47212  sigarls  47215  sigardiv  47219  sharhght  47223