Theorem cjcld 15243

Description: Closure law for complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cjcld	⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cjcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cjcl 15152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  ℂcc 11093  ∗ccj 15143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-cj 15146

This theorem is referenced by:  absrpcl  15335  absmul  15341  abstri  15378  abs1m  15383  abslem2  15387  sqreulem  15407  gzcjcl  16991  mul4sqlem  17008  gzrngunit  21583  cphipipcj  25359  cphassr  25371  cph2ass  25372  tcphcphlem2  25395  pjthlem1  25596  itgabs  25994  dvcj  26109  dvmptre  26128  dvmptim  26129  tanregt0  26704  logcj  26771  cosargd  26773  root1cj  26921  lawcoslem1  26980  isosctrlem2  26984  asinlem3  27036  atandmcj  27074  atancj  27075  sum2dchr  27438  rpvmasum2  27676  dchrisum0re  27677  pjhthlem1  31743  riesz3i  32414  constrrtll  34121  constrrtlc1  34122  constrrtcclem  34124  constrrtcc  34125  constrconj  34135  constrfin  34136  constrelextdg2  34137  constrrecl  34159  constrreinvcl  34162  constrinvcl  34163  itgabsnc  38340  ftc1cnnclem  38342  ftc2nc  38353  sigarim  47565  sigarac  47566  sigaraf  47567  sigarmf  47568  sigarls  47571  sigardiv  47575  sharhght  47579