MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjcld 15090
Description: Closure law for complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
cjcld (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cjcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cjcl 14999 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6500  cc 11057  ccj 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-cj 14993
This theorem is referenced by:  absrpcl  15182  absmul  15188  abstri  15224  abs1m  15229  abslem2  15233  sqreulem  15253  gzcjcl  16816  mul4sqlem  16833  gzrngunit  20886  cphipipcj  24587  cphassr  24599  cph2ass  24600  tcphcphlem2  24623  pjthlem1  24824  itgabs  25222  dvcj  25337  dvmptre  25356  dvmptim  25357  tanregt0  25918  logcj  25984  cosargd  25986  root1cj  26132  lawcoslem1  26188  isosctrlem2  26192  asinlem3  26244  atandmcj  26282  atancj  26283  sum2dchr  26645  rpvmasum2  26883  dchrisum0re  26884  pjhthlem1  30382  riesz3i  31053  itgabsnc  36197  ftc1cnnclem  36199  ftc2nc  36210  sigarim  45182  sigarac  45183  sigaraf  45184  sigarmf  45185  sigarls  45188  sigardiv  45192  sharhght  45196
  Copyright terms: Public domain W3C validator