Theorem cjcld 15284

Description: Closure law for complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cjcld	⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cjcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cjcl 15193	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  ℂcc 11123  ∗ccj 15184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-cj 15187

This theorem is used by:  absrpcl  15376  absmul  15382  abstri  15419  abs1m  15424  abslem2  15428  sqreulem  15448  gzcjcl  17029  mul4sqlem  17046  gzrngunit  21647  cphipipcj  25429  cphassr  25441  cph2ass  25442  tcphcphlem2  25465  pjthlem1  25666  itgabs  26063  dvcj  26178  dvmptre  26197  dvmptim  26198  tanregt0  26777  logcj  26844  cosargd  26846  root1cj  26994  lawcoslem1  27053  isosctrlem2  27057  asinlem3  27109  atandmcj  27147  atancj  27148  sum2dchr  27511  rpvmasum2  27749  dchrisum0re  27750  pjhthlem1  31873  riesz3i  32544  constrrtll  34242  constrrtlc1  34243  constrrtcclem  34245  constrrtcc  34246  constrconj  34256  constrfin  34257  constrelextdg2  34258  constrrecl  34280  constrreinvcl  34283  constrinvcl  34284  itgabsnc  38439  ftc1cnnclem  38441  ftc2nc  38452  sigarim  47680  sigarac  47681  sigaraf  47682  sigarmf  47683  sigarls  47686  sigardiv  47690  sharhght  47694