Theorem sharhght 46863

Description: Let 𝐴𝐵𝐶 be a triangle, and let 𝐷 lie on the line 𝐴𝐵. Then (doubled) areas of triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐶𝐷𝐵 relate as lengths of corresponding bases 𝐴𝐷 and 𝐷𝐵. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sharhght.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))

Assertion

Ref	Expression
sharhght	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sharhght

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sharhght.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	1	simp1d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 11533	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
6		sharhght.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))
7	6	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8	7, 3	subcld 11533	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
10		sharhght.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
11	10	sigarim 46849	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
12	5, 9, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11202	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	mul01d 11373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · 0) = 0)
15	1	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
18	16, 17	subeq0bd 11604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
19	18	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · 0))
20	2, 15	subcld 11533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	7, 15	subcld 11533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
24	10	sigarval 46848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))))
26	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
27	17	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐵)
28	26, 27	subeq0bd 11604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) = 0)
29	28	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · 0))
30	21	cjcld 15162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (∗‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 11373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · 0) = 0)
32	29, 31	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)) = 0)
33	32	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))) = (ℑ‘0))
34		0red 11177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 0 ∈ ℝ)
35	34	reim0d 15191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘0) = 0)
36	25, 33, 35	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = 0)
37	36	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)) = (0 · (𝐴 − 𝐷)))
38	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38, 26	subcld 11533	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
40	39	mul02d 11372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (0 · (𝐴 − 𝐷)) = 0)
41	37, 40	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)) = 0)
42	14, 19, 41	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
43	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
46	43, 44, 45	npncand 11557	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
47	46	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
48	43, 44	subcld 11533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
49	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
50	44, 45	subcld 11533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
51	10	sigaraf 46851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
53	47, 52	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
54	6	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
56	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
57	10	sigarperm 46858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
58	45, 44, 56, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
59	55, 58	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 0 = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
60	59	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + 0) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
61	10	sigarim 46849	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
62	48, 49, 61	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℂ)
64	63	addridd 11374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + 0) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
65	53, 60, 64	3eqtr2d 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
66	44, 56	negsubdi2d 11549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐵 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐵))
67	66	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) = -(𝐵 − 𝐷))
68	67	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) = (-(𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))
69	44, 56	subcld 11533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ¬ 𝐵 = 𝐷)
71	70	neqned 2932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐷)
72	44, 56, 71	subne0d 11542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) ≠ 0)
73	69, 69, 72	divnegd 11971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = (-(𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))
74	69, 72	dividd 11956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = 1)
75	74	negeqd 11415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = -1)
76	68, 73, 75	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) = -1)
77	76	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = (-1 · (𝐴 − 𝐷)))
78	45, 56	subcld 11533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
79	78	mulm1d 11630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (-1 · (𝐴 − 𝐷)) = -(𝐴 − 𝐷))
80	45, 56	negsubdi2d 11549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐴 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐴))
81	77, 79, 80	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = (𝐷 − 𝐴))
82	56, 44	subcld 11533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
83	82, 69, 78, 72	div32d 11981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = ((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
84	81, 83	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) = ((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
85	84	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))))
86	56, 45, 44	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
87	10, 86, 70, 55	sigardiv 46859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
88	10	sigarls 46855	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
89	48, 82, 87, 88	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
90	65, 85, 89	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
91	90	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = ((((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) · (𝐵 − 𝐷)))
92	10	sigarim 46849	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℝ)
93	92	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
94	48, 82, 93	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
95	78, 69, 72	divcld 11958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℂ)
96	94, 95, 69	mulassd 11197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷))))
97	78, 69, 72	divcan1d 11959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷)) = (𝐴 − 𝐷))
98	97	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
99	91, 96, 98	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
100	42, 99	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  ∗ccj 15062  ℑcim 15064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067

This theorem is referenced by:  cevathlem2  46866