Theorem sharhght 47612

Description: Let 𝐴𝐵𝐶 be a triangle, and let 𝐷 lie on the line 𝐴𝐵. Then (doubled) areas of triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐶𝐷𝐵 relate as lengths of corresponding bases 𝐴𝐷 and 𝐷𝐵. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sharhght.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))

Assertion

Ref	Expression
sharhght	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem sharhght

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sharhght.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	1	simp1d 1160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 11580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
6		sharhght.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))
7	6	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8	7, 3	subcld 11580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
10		sharhght.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
11	10	sigarim 47598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
12	5, 9, 11	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	mul01d 11420	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · 0) = 0)
15	1	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
18	16, 17	subeq0bd 11651	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
19	18	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · 0))
20	2, 15	subcld 11580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	7, 15	subcld 11580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
24	10	sigarval 47597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))))
25	21, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))))
26	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
27	17	eqcomd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐵)
28	26, 27	subeq0bd 11651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) = 0)
29	28	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · 0))
30	21	cjcld 15266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (∗‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 11420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · 0) = 0)
32	29, 31	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)) = 0)
33	32	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))) = (ℑ‘0))
34		0red 11222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 0 ∈ ℝ)
35	34	reim0d 15295	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘0) = 0)
36	25, 33, 35	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = 0)
37	36	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)) = (0 · (𝐴 − 𝐷)))
38	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38, 26	subcld 11580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
40	39	mul02d 11419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (0 · (𝐴 − 𝐷)) = 0)
41	37, 40	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)) = 0)
42	14, 19, 41	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
43	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
46	43, 44, 45	npncand 11604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
47	46	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
48	43, 44	subcld 11580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
49	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
50	44, 45	subcld 11580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
51	10	sigaraf 47600	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
53	47, 52	eqtr3d 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
54	6	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
55	54	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
56	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
57	10	sigarperm 47607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
58	45, 44, 56, 57	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
59	55, 58	eqtr3d 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 0 = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
60	59	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + 0) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
61	10	sigarim 47598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
62	48, 49, 61	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℂ)
64	63	addridd 11421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + 0) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
65	53, 60, 64	3eqtr2d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
66	44, 56	negsubdi2d 11596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐵 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐵))
67	66	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) = -(𝐵 − 𝐷))
68	67	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) = (-(𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))
69	44, 56	subcld 11580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
70		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ¬ 𝐵 = 𝐷)
71	70	neqned 2967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐷)
72	44, 56, 71	subne0d 11589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) ≠ 0)
73	69, 69, 72	divnegd 12015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = (-(𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))
74	69, 72	dividd 12000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = 1)
75	74	negeqd 11462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = -1)
76	68, 73, 75	3eqtr2d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) = -1)
77	76	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = (-1 · (𝐴 − 𝐷)))
78	45, 56	subcld 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
79	78	mulm1d 11677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (-1 · (𝐴 − 𝐷)) = -(𝐴 − 𝐷))
80	45, 56	negsubdi2d 11596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐴 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐴))
81	77, 79, 80	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = (𝐷 − 𝐴))
82	56, 44	subcld 11580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
83	82, 69, 78, 72	div32d 12025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = ((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
84	81, 83	eqtr3d 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) = ((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
85	84	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))))
86	56, 45, 44	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
87	10, 86, 70, 55	sigardiv 47608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
88	10	sigarls 47604	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
89	48, 82, 87, 88	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
90	65, 85, 89	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
91	90	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = ((((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) · (𝐵 − 𝐷)))
92	10	sigarim 47598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℝ)
93	92	recnd 11248	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
94	48, 82, 93	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
95	78, 69, 72	divcld 12002	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℂ)
96	94, 95, 69	mulassd 11243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷))))
97	78, 69, 72	divcan1d 12003	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷)) = (𝐴 − 𝐷))
98	97	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
99	91, 96, 98	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
100	42, 99	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   − cmin 11452  -cneg 11453   / cdiv 11882  ∗ccj 15166  ℑcim 15168

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171

This theorem is used by:  cevathlem2  47615