Proof of Theorem sharhght
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sharhght.a |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) |
2 | 1 | simp3d 1146 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
3 | 1 | simp1d 1144 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
4 | 2, 3 | subcld 11214 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) |
5 | 4 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) |
6 | | sharhght.b |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)) |
7 | 6 | simpld 498 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ) |
8 | 7, 3 | subcld 11214 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) |
9 | 8 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) |
10 | | sharhght.sigar |
. . . . . . 7
⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦
(ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦))) |
11 | 10 | sigarim 44068 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ) |
12 | 5, 9, 11 | syl2anc 587 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ) |
13 | 12 | recnd 10886 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℂ) |
14 | 13 | mul01d 11056 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · 0) = 0) |
15 | 1 | simp2d 1145 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
16 | 15 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ) |
17 | | simpr 488 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷) |
18 | 16, 17 | subeq0bd 11283 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) = 0) |
19 | 18 | oveq2d 7248 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · 0)) |
20 | 2, 15 | subcld 11214 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
21 | 20 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
22 | 7, 15 | subcld 11214 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) |
23 | 22 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) |
24 | 10 | sigarval 44067 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)))) |
25 | 21, 23, 24 | syl2anc 587 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)))) |
26 | 7 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ) |
27 | 17 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐵) |
28 | 26, 27 | subeq0bd 11283 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) = 0) |
29 | 28 | oveq2d 7248 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · 0)) |
30 | 21 | cjcld 14784 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (∗‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ) |
31 | 30 | mul01d 11056 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · 0) = 0) |
32 | 29, 31 | eqtrd 2778 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)) = 0) |
33 | 32 | fveq2d 6740 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) →
(ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))) = (ℑ‘0)) |
34 | | 0red 10861 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 0 ∈ ℝ) |
35 | 34 | reim0d 14813 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘0) =
0) |
36 | 25, 33, 35 | 3eqtrd 2782 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = 0) |
37 | 36 | oveq1d 7247 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)) = (0 · (𝐴 − 𝐷))) |
38 | 3 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ) |
39 | 38, 26 | subcld 11214 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ) |
40 | 39 | mul02d 11055 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (0 · (𝐴 − 𝐷)) = 0) |
41 | 37, 40 | eqtrd 2778 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)) = 0) |
42 | 14, 19, 41 | 3eqtr4d 2788 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷))) |
43 | 2 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ) |
44 | 15 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ) |
45 | 3 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ) |
46 | 43, 44, 45 | npncand 11238 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴)) |
47 | 46 | oveq1d 7247 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))) |
48 | 43, 44 | subcld 11214 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
49 | 8 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) |
50 | 44, 45 | subcld 11214 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) |
51 | 10 | sigaraf 44070 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))) |
52 | 48, 49, 50, 51 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))) |
53 | 47, 52 | eqtr3d 2780 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))) |
54 | 6 | simprd 499 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0) |
55 | 54 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0) |
56 | 7 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ) |
57 | 10 | sigarperm 44077 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))) |
58 | 45, 44, 56, 57 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))) |
59 | 55, 58 | eqtr3d 2780 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 0 = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))) |
60 | 59 | oveq2d 7248 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + 0) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))) |
61 | 10 | sigarim 44068 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ) |
62 | 48, 49, 61 | syl2anc 587 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ) |
63 | 62 | recnd 10886 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℂ) |
64 | 63 | addid1d 11057 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + 0) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴))) |
65 | 53, 60, 64 | 3eqtr2d 2784 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴))) |
66 | 44, 56 | negsubdi2d 11230 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐵 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐵)) |
67 | 66 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) = -(𝐵 − 𝐷)) |
68 | 67 | oveq1d 7247 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) = (-(𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) |
69 | 44, 56 | subcld 11214 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ) |
70 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ¬ 𝐵 = 𝐷) |
71 | 70 | neqned 2948 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐷) |
72 | 44, 56, 71 | subne0d 11223 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) ≠ 0) |
73 | 69, 69, 72 | divnegd 11646 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = (-(𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) |
74 | 69, 72 | dividd 11631 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = 1) |
75 | 74 | negeqd 11097 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = -1) |
76 | 68, 73, 75 | 3eqtr2d 2784 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) = -1) |
77 | 76 | oveq1d 7247 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = (-1 · (𝐴 − 𝐷))) |
78 | 45, 56 | subcld 11214 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ) |
79 | 78 | mulm1d 11309 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (-1 · (𝐴 − 𝐷)) = -(𝐴 − 𝐷)) |
80 | 45, 56 | negsubdi2d 11230 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐴 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐴)) |
81 | 77, 79, 80 | 3eqtrd 2782 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = (𝐷 − 𝐴)) |
82 | 56, 44 | subcld 11214 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) |
83 | 82, 69, 78, 72 | div32d 11656 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = ((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) |
84 | 81, 83 | eqtr3d 2780 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) = ((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) |
85 | 84 | oveq2d 7248 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))) |
86 | 56, 45, 44 | 3jca 1130 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) |
87 | 10, 86, 70, 55 | sigardiv 44078 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ) |
88 | 10 | sigarls 44074 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) |
89 | 48, 82, 87, 88 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) |
90 | 65, 85, 89 | 3eqtrd 2782 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) |
91 | 90 | oveq1d 7247 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = ((((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) · (𝐵 − 𝐷))) |
92 | 10 | sigarim 44068 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
93 | 92 | recnd 10886 |
. . . . 5
⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ) |
94 | 48, 82, 93 | syl2anc 587 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ) |
95 | 78, 69, 72 | divcld 11633 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℂ) |
96 | 94, 95, 69 | mulassd 10881 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷)))) |
97 | 78, 69, 72 | divcan1d 11634 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷)) = (𝐴 − 𝐷)) |
98 | 97 | oveq2d 7248 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷))) |
99 | 91, 96, 98 | 3eqtrd 2782 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷))) |
100 | 42, 99 | pm2.61dan 813 |
1
⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷))) |