Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sharhght Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sharhght 45180
Description: Let ๐ด๐ต๐ถ be a triangle, and let ๐ท lie on the line ๐ด๐ต. Then (doubled) areas of triangles ๐ด๐ท๐ถ and ๐ถ๐ท๐ต relate as lengths of corresponding bases ๐ด๐ท and ๐ท๐ต. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
sharhght.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
sharhght.b (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0))
Assertion
Ref Expression
sharhght (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sharhght
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
21simp3d 1145 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
31simp1d 1143 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42, 3subcld 11519 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
54adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 sharhght.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0))
76simpld 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
87, 3subcld 11519 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
98adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 sharhght.sigar . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
1110sigarim 45166 . . . . . 6 (((๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
125, 9, 11syl2anc 585 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
1312recnd 11190 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1413mul01d 11361 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท 0) = 0)
151simp2d 1144 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
17 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต = ๐ท)
1816, 17subeq0bd 11588 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) = 0)
1918oveq2d 7378 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท 0))
202, 15subcld 11519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2120adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
227, 15subcld 11519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2410sigarval 45165 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต))))
2521, 23, 24syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต))))
267adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2717eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ท = ๐ต)
2826, 27subeq0bd 11588 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) = 0)
2928oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท 0))
3021cjcld 15088 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3130mul01d 11361 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท 0) = 0)
3229, 31eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต)) = 0)
3332fveq2d 6851 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต))) = (โ„‘โ€˜0))
34 0red 11165 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3534reim0d 15117 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (โ„‘โ€˜0) = 0)
3625, 33, 353eqtrd 2781 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) = 0)
3736oveq1d 7377 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (0 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
383adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3938, 26subcld 11519 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
4039mul02d 11360 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (0 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = 0)
4137, 40eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = 0)
4214, 19, 413eqtr4d 2787 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
432adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4415adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
453adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4643, 44, 45npncand 11543 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
4746oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด))๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
4843, 44subcld 11519 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
498adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5044, 45subcld 11519 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5110sigaraf 45168 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด))๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด))๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
5347, 52eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
546simprd 497 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0)
5554adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0)
567adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5710sigarperm 45175 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
5845, 44, 56, 57syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
5955, 58eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ 0 = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
6059oveq2d 7378 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + 0) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
6110sigarim 45166 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
6248, 49, 61syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
6362recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6463addid1d 11362 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + 0) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
6553, 60, 643eqtr2d 2783 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
6644, 56negsubdi2d 11535 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -(๐ต โˆ’ ๐ท) = (๐ท โˆ’ ๐ต))
6766eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) = -(๐ต โˆ’ ๐ท))
6867oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (-(๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))
6944, 56subcld 11519 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
70 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ยฌ ๐ต = ๐ท)
7170neqned 2951 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต โ‰  ๐ท)
7244, 56, 71subne0d 11528 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โ‰  0)
7369, 69, 72divnegd 11951 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (-(๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))
7469, 72dividd 11936 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = 1)
7574negeqd 11402 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = -1)
7668, 73, 753eqtr2d 2783 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = -1)
7776oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (-1 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
7845, 56subcld 11519 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7978mulm1d 11614 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (-1 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = -(๐ด โˆ’ ๐ท))
8045, 56negsubdi2d 11535 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐ท) = (๐ท โˆ’ ๐ด))
8177, 79, 803eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (๐ท โˆ’ ๐ด))
8256, 44subcld 11519 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8382, 69, 78, 72div32d 11961 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
8481, 83eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) = ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
8584oveq2d 7378 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))))
8656, 45, 443jca 1129 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
8710, 86, 70, 55sigardiv 45176 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„)
8810sigarls 45172 . . . . . 6 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
8948, 82, 87, 88syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
9065, 85, 893eqtrd 2781 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
9190oveq1d 7377 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)))
9210sigarim 45166 . . . . . 6 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
9392recnd 11190 . . . . 5 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9448, 82, 93syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9578, 69, 72divcld 11938 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
9694, 95, 69mulassd 11185 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท))))
9778, 69, 72divcan1d 11939 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (๐ด โˆ’ ๐ท))
9897oveq2d 7378 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
9991, 96, 983eqtrd 2781 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
10042, 99pm2.61dan 812 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โˆ—ccj 14988  โ„‘cim 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  cevathlem2  45183
  Copyright terms: Public domain W3C validator