Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sharhght Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sharhght 46300
Description: Let ๐ด๐ต๐ถ be a triangle, and let ๐ท lie on the line ๐ด๐ต. Then (doubled) areas of triangles ๐ด๐ท๐ถ and ๐ถ๐ท๐ต relate as lengths of corresponding bases ๐ด๐ท and ๐ท๐ต. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
sharhght.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
sharhght.b (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0))
Assertion
Ref Expression
sharhght (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sharhght
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
21simp3d 1141 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
31simp1d 1139 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42, 3subcld 11611 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
54adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 sharhght.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0))
76simpld 493 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
87, 3subcld 11611 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
98adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 sharhght.sigar . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
1110sigarim 46286 . . . . . 6 (((๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
125, 9, 11syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
1312recnd 11282 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1413mul01d 11453 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท 0) = 0)
151simp2d 1140 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
17 simpr 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต = ๐ท)
1816, 17subeq0bd 11680 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) = 0)
1918oveq2d 7442 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท 0))
202, 15subcld 11611 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2120adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
227, 15subcld 11611 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2410sigarval 46285 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต))))
2521, 23, 24syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต))))
267adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2717eqcomd 2734 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ท = ๐ต)
2826, 27subeq0bd 11680 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) = 0)
2928oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท 0))
3021cjcld 15185 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3130mul01d 11453 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท 0) = 0)
3229, 31eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต)) = 0)
3332fveq2d 6906 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต))) = (โ„‘โ€˜0))
34 0red 11257 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3534reim0d 15214 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (โ„‘โ€˜0) = 0)
3625, 33, 353eqtrd 2772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) = 0)
3736oveq1d 7441 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (0 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
383adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3938, 26subcld 11611 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
4039mul02d 11452 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (0 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = 0)
4137, 40eqtrd 2768 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = 0)
4214, 19, 413eqtr4d 2778 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
432adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4415adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
453adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4643, 44, 45npncand 11635 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
4746oveq1d 7441 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด))๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
4843, 44subcld 11611 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
498adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5044, 45subcld 11611 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5110sigaraf 46288 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด))๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด))๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
5347, 52eqtr3d 2770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
546simprd 494 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0)
5554adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0)
567adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5710sigarperm 46295 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
5845, 44, 56, 57syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
5955, 58eqtr3d 2770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ 0 = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
6059oveq2d 7442 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + 0) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
6110sigarim 46286 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
6248, 49, 61syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
6362recnd 11282 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6463addridd 11454 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + 0) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
6553, 60, 643eqtr2d 2774 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
6644, 56negsubdi2d 11627 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -(๐ต โˆ’ ๐ท) = (๐ท โˆ’ ๐ต))
6766eqcomd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) = -(๐ต โˆ’ ๐ท))
6867oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (-(๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))
6944, 56subcld 11611 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
70 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ยฌ ๐ต = ๐ท)
7170neqned 2944 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต โ‰  ๐ท)
7244, 56, 71subne0d 11620 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โ‰  0)
7369, 69, 72divnegd 12043 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (-(๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))
7469, 72dividd 12028 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = 1)
7574negeqd 11494 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = -1)
7668, 73, 753eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = -1)
7776oveq1d 7441 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (-1 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
7845, 56subcld 11611 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7978mulm1d 11706 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (-1 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = -(๐ด โˆ’ ๐ท))
8045, 56negsubdi2d 11627 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐ท) = (๐ท โˆ’ ๐ด))
8177, 79, 803eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (๐ท โˆ’ ๐ด))
8256, 44subcld 11611 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8382, 69, 78, 72div32d 12053 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
8481, 83eqtr3d 2770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) = ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
8584oveq2d 7442 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))))
8656, 45, 443jca 1125 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
8710, 86, 70, 55sigardiv 46296 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„)
8810sigarls 46292 . . . . . 6 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
8948, 82, 87, 88syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
9065, 85, 893eqtrd 2772 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
9190oveq1d 7441 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)))
9210sigarim 46286 . . . . . 6 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
9392recnd 11282 . . . . 5 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9448, 82, 93syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9578, 69, 72divcld 12030 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
9694, 95, 69mulassd 11277 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท))))
9778, 69, 72divcan1d 12031 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (๐ด โˆ’ ๐ท))
9897oveq2d 7442 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
9991, 96, 983eqtrd 2772 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
10042, 99pm2.61dan 811 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   โˆ’ cmin 11484  -cneg 11485   / cdiv 11911  โˆ—ccj 15085  โ„‘cim 15087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-2 12315  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090
This theorem is referenced by:  cevathlem2  46303
  Copyright terms: Public domain W3C validator