Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sharhght Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sharhght 46150
Description: Let ๐ด๐ต๐ถ be a triangle, and let ๐ท lie on the line ๐ด๐ต. Then (doubled) areas of triangles ๐ด๐ท๐ถ and ๐ถ๐ท๐ต relate as lengths of corresponding bases ๐ด๐ท and ๐ท๐ต. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
sharhght.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
sharhght.b (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0))
Assertion
Ref Expression
sharhght (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sharhght
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
21simp3d 1141 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
31simp1d 1139 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
42, 3subcld 11575 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
54adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 sharhght.b . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0))
76simpld 494 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
87, 3subcld 11575 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
98adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 sharhght.sigar . . . . . . 7 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
1110sigarim 46136 . . . . . 6 (((๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
125, 9, 11syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
1312recnd 11246 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1413mul01d 11417 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท 0) = 0)
151simp2d 1140 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
17 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต = ๐ท)
1816, 17subeq0bd 11644 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) = 0)
1918oveq2d 7421 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท 0))
202, 15subcld 11575 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
227, 15subcld 11575 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2410sigarval 46135 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต))))
2521, 23, 24syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต))))
267adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2717eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ท = ๐ต)
2826, 27subeq0bd 11644 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) = 0)
2928oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท 0))
3021cjcld 15149 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3130mul01d 11417 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท 0) = 0)
3229, 31eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต)) = 0)
3332fveq2d 6889 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ท โˆ’ ๐ต))) = (โ„‘โ€˜0))
34 0red 11221 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3534reim0d 15178 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (โ„‘โ€˜0) = 0)
3625, 33, 353eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) = 0)
3736oveq1d 7420 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (0 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
383adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3938, 26subcld 11575 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
4039mul02d 11416 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (0 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = 0)
4137, 40eqtrd 2766 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = 0)
4214, 19, 413eqtr4d 2776 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
432adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4415adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
453adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4643, 44, 45npncand 11599 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
4746oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด))๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
4843, 44subcld 11575 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
498adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5044, 45subcld 11575 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5110sigaraf 46138 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด))๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) + (๐ต โˆ’ ๐ด))๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
5347, 52eqtr3d 2768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
546simprd 495 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0)
5554adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = 0)
567adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5710sigarperm 46145 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
5845, 44, 56, 57syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
5955, 58eqtr3d 2768 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ 0 = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
6059oveq2d 7421 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + 0) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด))))
6110sigarim 46136 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
6248, 49, 61syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
6362recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6463addridd 11418 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) + 0) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
6553, 60, 643eqtr2d 2772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)))
6644, 56negsubdi2d 11591 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -(๐ต โˆ’ ๐ท) = (๐ท โˆ’ ๐ต))
6766eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) = -(๐ต โˆ’ ๐ท))
6867oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (-(๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))
6944, 56subcld 11575 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
70 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ยฌ ๐ต = ๐ท)
7170neqned 2941 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต โ‰  ๐ท)
7244, 56, 71subne0d 11584 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โ‰  0)
7369, 69, 72divnegd 12007 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (-(๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))
7469, 72dividd 11992 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = 1)
7574negeqd 11458 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = -1)
7668, 73, 753eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) = -1)
7776oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (-1 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
7845, 56subcld 11575 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7978mulm1d 11670 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (-1 ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = -(๐ด โˆ’ ๐ท))
8045, 56negsubdi2d 11591 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐ท) = (๐ท โˆ’ ๐ด))
8177, 79, 803eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = (๐ท โˆ’ ๐ด))
8256, 44subcld 11575 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8382, 69, 78, 72div32d 12017 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ท โˆ’ ๐ต) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)) = ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
8481, 83eqtr3d 2768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆ’ ๐ด) = ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
8584oveq2d 7421 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))))
8656, 45, 443jca 1125 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
8710, 86, 70, 55sigardiv 46146 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„)
8810sigarls 46142 . . . . . 6 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
8948, 82, 87, 88syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ท โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
9065, 85, 893eqtrd 2770 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))))
9190oveq1d 7420 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)))
9210sigarim 46136 . . . . . 6 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
9392recnd 11246 . . . . 5 (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9448, 82, 93syl2anc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9578, 69, 72divcld 11994 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
9694, 95, 69mulassd 11241 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ ((((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท))) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท))))
9778, 69, 72divcan1d 11995 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (๐ด โˆ’ ๐ท))
9897oveq2d 7421 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (((๐ด โˆ’ ๐ท) / (๐ต โˆ’ ๐ท)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท))) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
9991, 96, 983eqtrd 2770 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
10042, 99pm2.61dan 810 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ท โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โˆ—ccj 15049  โ„‘cim 15051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054
This theorem is referenced by:  cevathlem2  46153
  Copyright terms: Public domain W3C validator