Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sharhght Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sharhght 45096
Description: Let 𝐴𝐵𝐶 be a triangle, and let 𝐷 lie on the line 𝐴𝐵. Then (doubled) areas of triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐶𝐷𝐵 relate as lengths of corresponding bases 𝐴𝐷 and 𝐷𝐵. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0))
Assertion
Ref Expression
sharhght (𝜑 → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sharhght
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp3d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
31simp1d 1142 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
42, 3subcld 11512 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
6 sharhght.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0))
76simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
87, 3subcld 11512 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐴) ∈ ℂ)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐴) ∈ ℂ)
10 sharhght.sigar . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
1110sigarim 45082 . . . . . 6 (((𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℝ)
125, 9, 11syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℝ)
1312recnd 11183 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℂ)
1413mul01d 11354 . . 3 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · 0) = 0)
151simp2d 1143 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
1816, 17subeq0bd 11581 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐵𝐷) = 0)
1918oveq2d 7373 . . 3 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · 0))
202, 15subcld 11512 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
227, 15subcld 11512 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐵) ∈ ℂ)
2322adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐵) ∈ ℂ)
2410sigarval 45081 . . . . . . 7 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶𝐵)) · (𝐷𝐵))))
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶𝐵)) · (𝐷𝐵))))
267adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
2717eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐵)
2826, 27subeq0bd 11581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐵) = 0)
2928oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶𝐵)) · (𝐷𝐵)) = ((∗‘(𝐶𝐵)) · 0))
3021cjcld 15081 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (∗‘(𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
3130mul01d 11354 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶𝐵)) · 0) = 0)
3229, 31eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶𝐵)) · (𝐷𝐵)) = 0)
3332fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘((∗‘(𝐶𝐵)) · (𝐷𝐵))) = (ℑ‘0))
34 0red 11158 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 0 ∈ ℝ)
3534reim0d 15110 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘0) = 0)
3625, 33, 353eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) = 0)
3736oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)) = (0 · (𝐴𝐷)))
383adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
3938, 26subcld 11512 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐴𝐷) ∈ ℂ)
4039mul02d 11353 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (0 · (𝐴𝐷)) = 0)
4137, 40eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)) = 0)
4214, 19, 413eqtr4d 2786 . 2 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)))
432adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
4415adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
453adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
4643, 44, 45npncand 11536 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵) + (𝐵𝐴)) = (𝐶𝐴))
4746oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵) + (𝐵𝐴))𝐺(𝐷𝐴)) = ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)))
4843, 44subcld 11512 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
498adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐴) ∈ ℂ)
5044, 45subcld 11512 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
5110sigaraf 45084 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐶𝐵) + (𝐵𝐴))𝐺(𝐷𝐴)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴))))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵) + (𝐵𝐴))𝐺(𝐷𝐴)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴))))
5347, 52eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴))))
546simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0)
5554adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0)
567adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
5710sigarperm 45091 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴)))
5845, 44, 56, 57syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴)))
5955, 58eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 0 = ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴)))
6059oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + 0) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴))))
6110sigarim 45082 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℝ)
6248, 49, 61syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℝ)
6362recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℂ)
6463addid1d 11355 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + 0) = ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)))
6553, 60, 643eqtr2d 2782 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) = ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)))
6644, 56negsubdi2d 11528 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐵𝐷) = (𝐷𝐵))
6766eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐵) = -(𝐵𝐷))
6867oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷𝐵) / (𝐵𝐷)) = (-(𝐵𝐷) / (𝐵𝐷)))
6944, 56subcld 11512 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
70 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ¬ 𝐵 = 𝐷)
7170neqned 2950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵𝐷)
7244, 56, 71subne0d 11521 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵𝐷) ≠ 0)
7369, 69, 72divnegd 11944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵𝐷) / (𝐵𝐷)) = (-(𝐵𝐷) / (𝐵𝐷)))
7469, 72dividd 11929 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐵𝐷) / (𝐵𝐷)) = 1)
7574negeqd 11395 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵𝐷) / (𝐵𝐷)) = -1)
7668, 73, 753eqtr2d 2782 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷𝐵) / (𝐵𝐷)) = -1)
7776oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷𝐵) / (𝐵𝐷)) · (𝐴𝐷)) = (-1 · (𝐴𝐷)))
7845, 56subcld 11512 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴𝐷) ∈ ℂ)
7978mulm1d 11607 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (-1 · (𝐴𝐷)) = -(𝐴𝐷))
8045, 56negsubdi2d 11528 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐴𝐷) = (𝐷𝐴))
8177, 79, 803eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷𝐵) / (𝐵𝐷)) · (𝐴𝐷)) = (𝐷𝐴))
8256, 44subcld 11512 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐵) ∈ ℂ)
8382, 69, 78, 72div32d 11954 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷𝐵) / (𝐵𝐷)) · (𝐴𝐷)) = ((𝐷𝐵) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))))
8481, 83eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐴) = ((𝐷𝐵) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))))
8584oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) = ((𝐶𝐵)𝐺((𝐷𝐵) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)))))
8656, 45, 443jca 1128 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8710, 86, 70, 55sigardiv 45092 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) ∈ ℝ)
8810sigarls 45088 . . . . . 6 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵)𝐺((𝐷𝐵) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)))) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))))
8948, 82, 87, 88syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺((𝐷𝐵) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)))) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))))
9065, 85, 893eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))))
9190oveq1d 7372 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = ((((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))) · (𝐵𝐷)))
9210sigarim 45082 . . . . . 6 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
9392recnd 11183 . . . . 5 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) ∈ ℂ)
9448, 82, 93syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) ∈ ℂ)
9578, 69, 72divcld 11931 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) ∈ ℂ)
9694, 95, 69mulassd 11178 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) · (𝐵𝐷))))
9778, 69, 72divcan1d 11932 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) · (𝐵𝐷)) = (𝐴𝐷))
9897oveq2d 7373 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) · (𝐵𝐷))) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)))
9991, 96, 983eqtrd 2780 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)))
10042, 99pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  ccj 14981  cim 14983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986
This theorem is referenced by:  cevathlem2  45099
  Copyright terms: Public domain W3C validator