sharhght - Mathbox for Saveliy Skresanov

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Theorem sharhght 46150

Description: Let 𝐴𝐵𝐶 be a triangle, and let 𝐷 lie on the line 𝐴𝐵. Then (doubled) areas of triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐶𝐷𝐵 relate as lengths of corresponding bases 𝐴𝐷 and 𝐷𝐵. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sharhght.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))

**Assertion**
Ref	Expression
sharhght	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦 𝑥,𝐶,𝑦 𝑥,𝐷,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦) 𝐺(𝑥,𝑦)

**Proof of Theorem sharhght**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sharhght.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	1	simp1d 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 11575	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
6		sharhght.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))
7	6	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8	7, 3	subcld 11575	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
10		sharhght.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
11	10	sigarim 46136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
12	5, 9, 11	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	mul01d 11417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · 0) = 0)
15	1	simp2d 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
18	16, 17	subeq0bd 11644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
19	18	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · 0))
20	2, 15	subcld 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	7, 15	subcld 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
24	10	sigarval 46135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))))
25	21, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))))
26	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
27	17	eqcomd 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐵)
28	26, 27	subeq0bd 11644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) = 0)
29	28	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · 0))
30	21	cjcld 15149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (∗‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 11417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · 0) = 0)
32	29, 31	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)) = 0)
33	32	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))) = (ℑ‘0))
34		0red 11221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 0 ∈ ℝ)
35	34	reim0d 15178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘0) = 0)
36	25, 33, 35	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = 0)
37	36	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)) = (0 · (𝐴 − 𝐷)))
38	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38, 26	subcld 11575	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
40	39	mul02d 11416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (0 · (𝐴 − 𝐷)) = 0)
41	37, 40	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)) = 0)
42	14, 19, 41	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
43	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
46	43, 44, 45	npncand 11599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
47	46	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
48	43, 44	subcld 11575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
49	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
50	44, 45	subcld 11575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
51	10	sigaraf 46138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
53	47, 52	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
54	6	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
56	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
57	10	sigarperm 46145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
58	45, 44, 56, 57	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
59	55, 58	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 0 = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
60	59	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + 0) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
61	10	sigarim 46136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
62	48, 49, 61	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℂ)
64	63	addridd 11418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + 0) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
65	53, 60, 64	3eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
66	44, 56	negsubdi2d 11591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐵 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐵))
67	66	eqcomd 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) = -(𝐵 − 𝐷))
68	67	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) = (-(𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))
69	44, 56	subcld 11575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ¬ 𝐵 = 𝐷)
71	70	neqned 2941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐷)
72	44, 56, 71	subne0d 11584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) ≠ 0)
73	69, 69, 72	divnegd 12007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = (-(𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))
74	69, 72	dividd 11992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = 1)
75	74	negeqd 11458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = -1)
76	68, 73, 75	3eqtr2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) = -1)
77	76	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = (-1 · (𝐴 − 𝐷)))
78	45, 56	subcld 11575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
79	78	mulm1d 11670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (-1 · (𝐴 − 𝐷)) = -(𝐴 − 𝐷))
80	45, 56	negsubdi2d 11591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐴 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐴))
81	77, 79, 80	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = (𝐷 − 𝐴))
82	56, 44	subcld 11575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
83	82, 69, 78, 72	div32d 12017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = ((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
84	81, 83	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) = ((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
85	84	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))))
86	56, 45, 44	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
87	10, 86, 70, 55	sigardiv 46146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
88	10	sigarls 46142	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
89	48, 82, 87, 88	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
90	65, 85, 89	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
91	90	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = ((((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) · (𝐵 − 𝐷)))
92	10	sigarim 46136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℝ)
93	92	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
94	48, 82, 93	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
95	78, 69, 72	divcld 11994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℂ)
96	94, 95, 69	mulassd 11241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷))))
97	78, 69, 72	divcan1d 11995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷)) = (𝐴 − 𝐷))
98	97	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
99	91, 96, 98	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
100	42, 99	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ‘cfv 6537 (class class class)co 7405 ∈ cmpo 7407 ℂcc 11110 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 − cmin 11448 -cneg 11449 / cdiv 11875 ∗ccj 15049 ℑcim 15051

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-2 12279 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054

This theorem is referenced by: cevathlem2 46153

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