Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigarmf 46139
Description: Signed area is additive (with respect to subtraction) by the first argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
Assertion
Ref Expression
sigarmf ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ต) = ((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sigarmf
StepHypRef Expression
1 cjsub 15102 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ถ)))
21oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต) = (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ถ)) ยท ๐ต))
323adant2 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต) = (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ถ)) ยท ๐ต))
4 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54cjcld 15149 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 simp3 1135 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
76cjcld 15149 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 simp2 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
95, 7, 8subdird 11675 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ถ)) ยท ๐ต) = (((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆ’ ((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต)))
103, 9eqtrd 2766 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต) = (((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆ’ ((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต)))
1110fveq2d 6889 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต)) = (โ„‘โ€˜(((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆ’ ((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต))))
125, 8mulcld 11238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
137, 8mulcld 11238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1412, 13imsubd 15170 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆ’ ((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต))) = ((โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โˆ’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต))))
1511, 14eqtrd 2766 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต)) = ((โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โˆ’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต))))
164, 6subcld 11575 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
17 sigar . . . 4 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
1817sigarval 46135 . . 3 (((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต)))
1916, 8, 18syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต)))
2017sigarval 46135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
21203adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
22 3simpc 1147 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
2322ancomd 461 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
2417sigarval 46135 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต)))
2523, 24syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต)))
2621, 25oveq12d 7423 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ต)) = ((โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โˆ’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต))))
2715, 19, 263eqtr4d 2776 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ต) = ((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  โ„‚cc 11110   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โˆ—ccj 15049  โ„‘cim 15051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054
This theorem is referenced by:  sigarms  46141  sigarexp  46144  sigaradd  46151
  Copyright terms: Public domain W3C validator