Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigarmf 46271
Description: Signed area is additive (with respect to subtraction) by the first argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
Assertion
Ref Expression
sigarmf ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ต) = ((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sigarmf
StepHypRef Expression
1 cjsub 15136 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ถ)))
21oveq1d 7441 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต) = (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ถ)) ยท ๐ต))
323adant2 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต) = (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ถ)) ยท ๐ต))
4 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54cjcld 15183 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 simp3 1135 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
76cjcld 15183 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 simp2 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
95, 7, 8subdird 11709 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐ด) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ถ)) ยท ๐ต) = (((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆ’ ((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต)))
103, 9eqtrd 2768 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต) = (((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆ’ ((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต)))
1110fveq2d 6906 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต)) = (โ„‘โ€˜(((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆ’ ((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต))))
125, 8mulcld 11272 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
137, 8mulcld 11272 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1412, 13imsubd 15204 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆ’ ((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต))) = ((โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โˆ’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต))))
1511, 14eqtrd 2768 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต)) = ((โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โˆ’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต))))
164, 6subcld 11609 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
17 sigar . . . 4 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
1817sigarval 46267 . . 3 (((๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต)))
1916, 8, 18syl2anc 582 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) ยท ๐ต)))
2017sigarval 46267 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
21203adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
22 3simpc 1147 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
2322ancomd 460 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
2417sigarval 46267 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต)))
2523, 24syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ต) = (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต)))
2621, 25oveq12d 7444 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ต)) = ((โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ต)) โˆ’ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐ถ) ยท ๐ต))))
2715, 19, 263eqtr4d 2778 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ต) = ((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  โ„‚cc 11144   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482  โˆ—ccj 15083  โ„‘cim 15085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-2 12313  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088
This theorem is referenced by:  sigarms  46273  sigarexp  46276  sigaradd  46283
  Copyright terms: Public domain W3C validator