Theorem sigarmf 46850

Description: Signed area is additive (with respect to subtraction) by the first argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarmf	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺𝐵) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjsub 15173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 − 𝐶)) = ((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)))
2	1	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 − 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · 𝐵))
3	2	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 − 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · 𝐵))
4		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	cjcld 15220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
6		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	cjcld 15220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∗‘𝐶) ∈ ℂ)
8		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	subdird 11699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((∗‘𝐴) − (∗‘𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) · 𝐵) − ((∗‘𝐶) · 𝐵)))
10	3, 9	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴 − 𝐶)) · 𝐵) = (((∗‘𝐴) · 𝐵) − ((∗‘𝐶) · 𝐵)))
11	10	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘(𝐴 − 𝐶)) · 𝐵)) = (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) − ((∗‘𝐶) · 𝐵))))
12	5, 8	mulcld 11260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
13	7, 8	mulcld 11260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐶) · 𝐵) ∈ ℂ)
14	12, 13	imsubd 15241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) − ((∗‘𝐶) · 𝐵))) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) − (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
15	11, 14	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (ℑ‘((∗‘(𝐴 − 𝐶)) · 𝐵)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) − (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
16	4, 6	subcld 11599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
17		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
18	17	sigarval 46846	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘(𝐴 − 𝐶)) · 𝐵)))
19	16, 8, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘(𝐴 − 𝐶)) · 𝐵)))
20	17	sigarval 46846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
21	20	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
22		3simpc 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
23	22	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
24	17	sigarval 46846	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵)))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵)))
26	21, 25	oveq12d 7428	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) − (ℑ‘((∗‘𝐶) · 𝐵))))
27	15, 19, 26	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺𝐵) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ℂcc 11132   · cmul 11139   − cmin 11471  ∗ccj 15120  ℑcim 15122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125

This theorem is referenced by:  sigarms  46852  sigarexp  46855  sigaradd  46862