Theorem sigarperm 46781

Description: Signed area (𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶) acts as a double area of a triangle 𝐴𝐵𝐶. Here we prove that cyclically permuting the vertices doesn't change the area. (Contributed by Saveliy Skresanov, 20-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarperm	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarperm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		sigar	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
4	3	sigarim 46772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ ℂ)
7		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	3	sigarim 46772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
10	1, 7, 9	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
11	6, 10	negsubd 11653	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐺𝐶) + -(𝐵𝐺𝐴)) = ((𝐵𝐺𝐶) − (𝐵𝐺𝐴)))
12	3	sigarac 46773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
13	7, 1, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
14	13	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) = (𝐴𝐺𝐵))
15	14	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐺𝐶) + -(𝐵𝐺𝐴)) = ((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)))
16	11, 15	eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐺𝐶) − (𝐵𝐺𝐴)) = ((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)))
17	16	oveq1d 7463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵𝐺𝐶) − (𝐵𝐺𝐴)) − (𝐴𝐺𝐶)) = (((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)) − (𝐴𝐺𝐶)))
18	3	sigarexp 46780	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (((𝐵𝐺𝐶) − (𝐵𝐺𝐴)) − (𝐴𝐺𝐶)))
19	18	3comr 1125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (((𝐵𝐺𝐶) − (𝐵𝐺𝐴)) − (𝐴𝐺𝐶)))
20	3	sigarexp 46780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = (((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)) − (𝐶𝐺𝐵)))
21	3	sigarim 46772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ ℝ)
22	7, 1, 21	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11318	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ ℂ)
24	3	sigarim 46772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) ∈ ℝ)
25	7, 2, 24	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11318	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) ∈ ℂ)
27	3	sigarim 46772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) ∈ ℝ)
28	2, 1, 27	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11318	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) ∈ ℂ)
30	23, 26, 29	sub32d 11679	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)) − (𝐶𝐺𝐵)) = (((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)) − (𝐴𝐺𝐶)))
31	6, 23	addcomd 11492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐵𝐺𝐶)))
32	3	sigarac 46773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐶) = -(𝐶𝐺𝐵))
33	1, 2, 32	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐶) = -(𝐶𝐺𝐵))
34	33	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -(𝐶𝐺𝐵) = (𝐵𝐺𝐶))
35	34	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐺𝐵) + -(𝐶𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐵𝐺𝐶)))
36	23, 29	negsubd 11653	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐺𝐵) + -(𝐶𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)))
37	31, 35, 36	3eqtr2rd 2787	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)) = ((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)))
38	37	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)) − (𝐴𝐺𝐶)) = (((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)) − (𝐴𝐺𝐶)))
39	20, 30, 38	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = (((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)) − (𝐴𝐺𝐶)))
40	17, 19, 39	3eqtr4rd 2791	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ℂcc 11182  ℝcr 11183   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  -cneg 11521  ∗ccj 15145  ℑcim 15147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150

This theorem is referenced by:  sigarcol  46785  sharhght  46786  sigaradd  46787  cevathlem2  46789