Theorem sigarperm 48137

Description: Signed area (𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶) acts as a double area of a triangle 𝐴𝐵𝐶. Here we prove that cyclically permuting the vertices doesn't change the area. (Contributed by Saveliy Skresanov, 20-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarperm	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem sigarperm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		sigar	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
4	3	sigarim 48128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐶) ∈ ℂ)
7		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	3	sigarim 48128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
10	1, 7, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
11	6, 10	negsubd 11712	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐺𝐶) + -(𝐵𝐺𝐴)) = ((𝐵𝐺𝐶) − (𝐵𝐺𝐴)))
12	3	sigarac 48129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
13	7, 1, 12	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
14	13	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) = (𝐴𝐺𝐵))
15	14	oveq2d 7465	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐺𝐶) + -(𝐵𝐺𝐴)) = ((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)))
16	11, 15	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐺𝐶) − (𝐵𝐺𝐴)) = ((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)))
17	16	oveq1d 7464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵𝐺𝐶) − (𝐵𝐺𝐴)) − (𝐴𝐺𝐶)) = (((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)) − (𝐴𝐺𝐶)))
18	3	sigarexp 48136	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (((𝐵𝐺𝐶) − (𝐵𝐺𝐴)) − (𝐴𝐺𝐶)))
19	18	3comr 1143	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (((𝐵𝐺𝐶) − (𝐵𝐺𝐴)) − (𝐴𝐺𝐶)))
20	3	sigarexp 48136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = (((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)) − (𝐶𝐺𝐵)))
21	3	sigarim 48128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ ℝ)
22	7, 1, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ ℂ)
24	3	sigarim 48128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) ∈ ℝ)
25	7, 2, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) ∈ ℂ)
27	3	sigarim 48128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) ∈ ℝ)
28	2, 1, 27	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐵) ∈ ℂ)
30	23, 26, 29	sub32d 11738	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)) − (𝐶𝐺𝐵)) = (((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)) − (𝐴𝐺𝐶)))
31	6, 23	addcomd 11549	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐵𝐺𝐶)))
32	3	sigarac 48129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐶) = -(𝐶𝐺𝐵))
33	1, 2, 32	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐶) = -(𝐶𝐺𝐵))
34	33	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -(𝐶𝐺𝐵) = (𝐵𝐺𝐶))
35	34	oveq2d 7465	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐺𝐵) + -(𝐶𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺𝐵) + (𝐵𝐺𝐶)))
36	23, 29	negsubd 11712	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐺𝐵) + -(𝐶𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)))
37	31, 35, 36	3eqtr2rd 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)) = ((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)))
38	37	oveq1d 7464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐺𝐵) − (𝐶𝐺𝐵)) − (𝐴𝐺𝐶)) = (((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)) − (𝐴𝐺𝐶)))
39	20, 30, 38	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = (((𝐵𝐺𝐶) + (𝐴𝐺𝐵)) − (𝐴𝐺𝐶)))
40	17, 19, 39	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ∈ cmpo 7451  ℂcc 11235  ℝcr 11236   + caddc 11240   · cmul 11242   − cmin 11578   -cneg 11579  ∗ccj 15304  ℑcim 15306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309

This theorem is used by:  sigarcol  48141  sharhght  48142  sigaradd  48143  cevathlem2  48145