Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem23 42185
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in the beginning of Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem23.1 𝑡𝜑
stoweidlem23.2 𝑡𝐺
stoweidlem23.3 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
stoweidlem23.4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem23.5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem23.6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem23.7 (𝜑𝑆𝑇)
stoweidlem23.8 (𝜑𝑍𝑇)
stoweidlem23.9 (𝜑𝐺𝐴)
stoweidlem23.10 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≠ (𝐺𝑍))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem23 (𝜑 → (𝐻𝐴 ∧ (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍) ∧ (𝐻𝑍) = 0))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑔,𝑍,𝑡   𝑥,𝑡,𝑇   𝑡,𝑆   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem23
StepHypRef Expression
1 stoweidlem23.3 . . 3 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
2 stoweidlem23.1 . . . . 5 𝑡𝜑
3 stoweidlem23.9 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐴)
43ancli 549 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝜑𝐺𝐴))
5 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝐴𝐺𝐴))
65anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐺 → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑𝐺𝐴)))
7 feq1 6488 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐺:𝑇⟶ℝ))
86, 7imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐺 → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ)))
9 stoweidlem23.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
108, 9vtoclg 3565 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐴 → ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ))
113, 4, 10sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑇⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
1312recnd 10657 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
14 stoweidlem23.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑇)
1511, 14ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
1716recnd 10657 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑍) ∈ ℂ)
1813, 17negsubd 10991 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
192, 18mpteq2da 5151 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍))))
20 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
2115renegcld 11055 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)
23 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) = (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))
2423fvmpt2 6771 . . . . . . . 8 ((𝑡𝑇 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡) = -(𝐺𝑍))
2520, 22, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡) = -(𝐺𝑍))
2625oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡)) = ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍)))
272, 26mpteq2da 5151 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))))
2821ancli 549 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ))
29 eleq1 2897 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ))
3029anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)))
31 stoweidlem23.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝐺
32 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑍
3331, 32nffv 6673 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(𝐺𝑍)
3433nfneg 10870 . . . . . . . . . . . 12 𝑡-(𝐺𝑍)
3534nfeq2 2992 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑥 = -(𝐺𝑍)
36 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = -(𝐺𝑍) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑥 = -(𝐺𝑍))
3735, 36mpteq2da 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)))
3837eleq1d 2894 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴))
3930, 38imbi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴)))
40 stoweidlem23.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
4139, 40vtoclg 3565 . . . . . . 7 (-(𝐺𝑍) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴))
4221, 28, 41sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴)
43 stoweidlem23.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
44 nfmpt1 5155 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))
4543, 31, 44stoweidlem8 42170 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐴 ∧ (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
463, 42, 45mpd3an23 1454 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
4727, 46eqeltrrd 2911 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))) ∈ 𝐴)
4819, 47eqeltrrd 2911 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍))) ∈ 𝐴)
491, 48eqeltrid 2914 . 2 (𝜑𝐻𝐴)
50 stoweidlem23.7 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑇)
5111, 50ffvelrnd 6844 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℝ)
5251recnd 10657 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℂ)
5315recnd 10657 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℂ)
54 stoweidlem23.10 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≠ (𝐺𝑍))
5552, 53, 54subne0d 10994 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ≠ 0)
5651, 15resubcld 11056 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ)
57 nfcv 2974 . . . . 5 𝑡𝑆
5831, 57nffv 6673 . . . . . 6 𝑡(𝐺𝑆)
59 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑡
6058, 59, 33nfov 7175 . . . . 5 𝑡((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍))
61 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑆 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑆))
6261oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6357, 60, 62, 1fvmptf 6781 . . . 4 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6450, 56, 63syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6515, 15resubcld 11056 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ)
6633, 59, 33nfov 7175 . . . . . 6 𝑡((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍))
67 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑍 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑍))
6867oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
6932, 66, 68, 1fvmptf 6781 . . . . 5 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
7014, 65, 69syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
7153subidd 10973 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) = 0)
7270, 71eqtrd 2853 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑍) = 0)
7355, 64, 723netr4d 3090 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍))
7449, 73, 723jca 1120 1 (𝜑 → (𝐻𝐴 ∧ (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍) ∧ (𝐻𝑍) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wnfc 2958  wne 3013  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528  cmin 10858  -cneg 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  42205
  Copyright terms: Public domain W3C validator