Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem23 42307
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in the beginning of Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem23.1 𝑡𝜑
stoweidlem23.2 𝑡𝐺
stoweidlem23.3 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
stoweidlem23.4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem23.5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem23.6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem23.7 (𝜑𝑆𝑇)
stoweidlem23.8 (𝜑𝑍𝑇)
stoweidlem23.9 (𝜑𝐺𝐴)
stoweidlem23.10 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≠ (𝐺𝑍))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem23 (𝜑 → (𝐻𝐴 ∧ (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍) ∧ (𝐻𝑍) = 0))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑔,𝑍,𝑡   𝑥,𝑡,𝑇   𝑡,𝑆   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem23
StepHypRef Expression
1 stoweidlem23.3 . . 3 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
2 stoweidlem23.1 . . . . 5 𝑡𝜑
3 stoweidlem23.9 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐴)
43ancli 551 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝜑𝐺𝐴))
5 eleq1 2900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝐴𝐺𝐴))
65anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐺 → ((𝜑𝑓𝐴) ↔ (𝜑𝐺𝐴)))
7 feq1 6494 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐺:𝑇⟶ℝ))
86, 7imbi12d 347 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐺 → (((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ)))
9 stoweidlem23.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
108, 9vtoclg 3567 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐴 → ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐺:𝑇⟶ℝ))
113, 4, 10sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑇⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6850 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
1312recnd 10668 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
14 stoweidlem23.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑇)
1511, 14ffvelrnd 6851 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
1615adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
1716recnd 10668 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑍) ∈ ℂ)
1813, 17negsubd 11002 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)))
192, 18mpteq2da 5159 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍))))
20 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
2115renegcld 11066 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)
2221adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)
23 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) = (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))
2423fvmpt2 6778 . . . . . . . 8 ((𝑡𝑇 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡) = -(𝐺𝑍))
2520, 22, 24syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡) = -(𝐺𝑍))
2625oveq2d 7171 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡)) = ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍)))
272, 26mpteq2da 5159 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))))
2821ancli 551 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ))
29 eleq1 2900 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ))
3029anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ)))
31 stoweidlem23.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝐺
32 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑍
3331, 32nffv 6679 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(𝐺𝑍)
3433nfneg 10881 . . . . . . . . . . . 12 𝑡-(𝐺𝑍)
3534nfeq2 2995 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑥 = -(𝐺𝑍)
36 simpl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = -(𝐺𝑍) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑥 = -(𝐺𝑍))
3735, 36mpteq2da 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)))
3837eleq1d 2897 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴))
3930, 38imbi12d 347 . . . . . . . 8 (𝑥 = -(𝐺𝑍) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴)))
40 stoweidlem23.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
4139, 40vtoclg 3567 . . . . . . 7 (-(𝐺𝑍) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ -(𝐺𝑍) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴))
4221, 28, 41sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴)
43 stoweidlem23.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
44 nfmpt1 5163 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))
4543, 31, 44stoweidlem8 42292 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐴 ∧ (𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍)) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
463, 42, 45mpd3an23 1459 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + ((𝑡𝑇 ↦ -(𝐺𝑍))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
4727, 46eqeltrrd 2914 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) + -(𝐺𝑍))) ∈ 𝐴)
4819, 47eqeltrrd 2914 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍))) ∈ 𝐴)
491, 48eqeltrid 2917 . 2 (𝜑𝐻𝐴)
50 stoweidlem23.7 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑇)
5111, 50ffvelrnd 6851 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℝ)
5251recnd 10668 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℂ)
5315recnd 10668 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℂ)
54 stoweidlem23.10 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≠ (𝐺𝑍))
5552, 53, 54subne0d 11005 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ≠ 0)
5651, 15resubcld 11067 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ)
57 nfcv 2977 . . . . 5 𝑡𝑆
5831, 57nffv 6679 . . . . . 6 𝑡(𝐺𝑆)
59 nfcv 2977 . . . . . 6 𝑡
6058, 59, 33nfov 7185 . . . . 5 𝑡((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍))
61 fveq2 6669 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑆 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑆))
6261oveq1d 7170 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6357, 60, 62, 1fvmptf 6788 . . . 4 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6450, 56, 63syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) − (𝐺𝑍)))
6515, 15resubcld 11067 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ)
6633, 59, 33nfov 7185 . . . . . 6 𝑡((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍))
67 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑍 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑍))
6867oveq1d 7170 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐺𝑡) − (𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
6932, 66, 68, 1fvmptf 6788 . . . . 5 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
7014, 65, 69syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)))
7153subidd 10984 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑍) − (𝐺𝑍)) = 0)
7270, 71eqtrd 2856 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑍) = 0)
7355, 64, 723netr4d 3093 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍))
7449, 73, 723jca 1124 1 (𝜑 → (𝐻𝐴 ∧ (𝐻𝑆) ≠ (𝐻𝑍) ∧ (𝐻𝑍) = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2961   ≠ wne 3016   ↦ cmpt 5145  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536   + caddc 10539   − cmin 10869  -cneg 10870 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-sub 10871  df-neg 10872 This theorem is referenced by:  stoweidlem43  42327
 Copyright terms: Public domain W3C validator