Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem23 44354
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in the beginning of Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem23.1 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem23.2 Ⅎ𝑑𝐺
stoweidlem23.3 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
stoweidlem23.4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem23.5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem23.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem23.7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
stoweidlem23.8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
stoweidlem23.9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
stoweidlem23.10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) β‰  (πΊβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem23 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ 𝐴 ∧ (π»β€˜π‘†) β‰  (π»β€˜π‘) ∧ (π»β€˜π‘) = 0))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑔,𝑍,𝑑   π‘₯,𝑑,𝑇   𝑑,𝑆   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑍   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑑)   𝑆(π‘₯,𝑓,𝑔)   𝐺(𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem23
StepHypRef Expression
1 stoweidlem23.3 . . 3 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
2 stoweidlem23.1 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem23.9 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
43ancli 550 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴))
5 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐺 β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝐺 ∈ 𝐴))
65anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐺 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴)))
7 feq1 6653 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐺 β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„))
86, 7imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐺 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„)))
9 stoweidlem23.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
108, 9vtoclg 3527 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„))
113, 4, 10sylc 65 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7039 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
1312recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
14 stoweidlem23.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
1511, 14ffvelcdmd 7040 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1716recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
1813, 17negsubd 11526 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) + -(πΊβ€˜π‘)) = ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
192, 18mpteq2da 5207 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) + -(πΊβ€˜π‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))))
20 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
2115renegcld 11590 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -(πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
2221adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ -(πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
23 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘)) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘))
2423fvmpt2 6963 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ -(πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘))β€˜π‘‘) = -(πΊβ€˜π‘))
2520, 22, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘))β€˜π‘‘) = -(πΊβ€˜π‘))
2625oveq2d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) + ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘))β€˜π‘‘)) = ((πΊβ€˜π‘‘) + -(πΊβ€˜π‘)))
272, 26mpteq2da 5207 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) + ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘))β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) + -(πΊβ€˜π‘))))
2821ancli 550 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ -(πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ))
29 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = -(πΊβ€˜π‘) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↔ -(πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ))
3029anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = -(πΊβ€˜π‘) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ (πœ‘ ∧ -(πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)))
31 stoweidlem23.2 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑑𝐺
32 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑑𝑍
3331, 32nffv 6856 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑑(πΊβ€˜π‘)
3433nfneg 11405 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑-(πΊβ€˜π‘)
3534nfeq2 2921 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑 π‘₯ = -(πΊβ€˜π‘)
36 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = -(πΊβ€˜π‘) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ = -(πΊβ€˜π‘))
3735, 36mpteq2da 5207 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = -(πΊβ€˜π‘) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘)))
3837eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = -(πΊβ€˜π‘) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘)) ∈ 𝐴))
3930, 38imbi12d 345 . . . . . . . 8 (π‘₯ = -(πΊβ€˜π‘) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ -(πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘)) ∈ 𝐴)))
40 stoweidlem23.6 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
4139, 40vtoclg 3527 . . . . . . 7 (-(πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ β†’ ((πœ‘ ∧ -(πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘)) ∈ 𝐴))
4221, 28, 41sylc 65 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘)) ∈ 𝐴)
43 stoweidlem23.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
44 nfmpt1 5217 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘))
4543, 31, 44stoweidlem8 44339 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) + ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘))β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
463, 42, 45mpd3an23 1464 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) + ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ -(πΊβ€˜π‘))β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
4727, 46eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) + -(πΊβ€˜π‘))) ∈ 𝐴)
4819, 47eqeltrrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) ∈ 𝐴)
491, 48eqeltrid 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
50 stoweidlem23.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
5111, 50ffvelcdmd 7040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
5251recnd 11191 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ β„‚)
5315recnd 11191 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
54 stoweidlem23.10 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) β‰  (πΊβ€˜π‘))
5552, 53, 54subne0d 11529 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘†) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) β‰  0)
5651, 15resubcld 11591 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘†) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
57 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝑆
5831, 57nffv 6856 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πΊβ€˜π‘†)
59 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 βˆ’
6058, 59, 33nfov 7391 . . . . 5 Ⅎ𝑑((πΊβ€˜π‘†) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))
61 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑆 β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = (πΊβ€˜π‘†))
6261oveq1d 7376 . . . . 5 (𝑑 = 𝑆 β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) = ((πΊβ€˜π‘†) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
6357, 60, 62, 1fvmptf 6973 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘†) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘†) = ((πΊβ€˜π‘†) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
6450, 56, 63syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘†) = ((πΊβ€˜π‘†) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
6515, 15resubcld 11591 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
6633, 59, 33nfov 7391 . . . . . 6 Ⅎ𝑑((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))
67 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑍 β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = (πΊβ€˜π‘))
6867oveq1d 7376 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) = ((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
6932, 66, 68, 1fvmptf 6973 . . . . 5 ((𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘) = ((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
7014, 65, 69syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘) = ((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)))
7153subidd 11508 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) = 0)
7270, 71eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘) = 0)
7355, 64, 723netr4d 3018 . 2 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘†) β‰  (π»β€˜π‘))
7449, 73, 723jca 1129 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ 𝐴 ∧ (π»β€˜π‘†) β‰  (π»β€˜π‘) ∧ (π»β€˜π‘) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2940   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  44374
  Copyright terms: Public domain W3C validator