Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem21 45037
Description: Once the Stone Weierstrass theorem has been proven for approximating nonnegative functions, then this lemma is used to extend the result to functions with (possibly) negative values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem21.1 Ⅎ𝑑𝐺
stoweidlem21.2 Ⅎ𝑑𝐻
stoweidlem21.3 Ⅎ𝑑𝑆
stoweidlem21.4 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem21.5 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆))
stoweidlem21.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem21.7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
stoweidlem21.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem21.11 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
stoweidlem21.12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆))) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem21 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐸,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑆,𝑔   π‘₯,𝑑,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑆   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑑)   𝑆(𝑑,𝑓)   𝐸(π‘₯,𝑑)   𝐹(π‘₯,𝑑)   𝐺(π‘₯,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem21
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem21.5 . . . 4 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆))
2 stoweidlem21.4 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem21.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
4 fvconst2g 7206 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘) = 𝑆)
53, 4sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘) = 𝑆)
65eqcomd 2737 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 = ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘))
76oveq2d 7428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆) = ((π»β€˜π‘‘) + ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘)))
82, 7mpteq2da 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆)) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘))))
91, 8eqtrid 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘))))
10 stoweidlem21.11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
11 fconstmpt 5739 . . . . . 6 (𝑇 Γ— {𝑆}) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆)
12 stoweidlem21.3 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑆
13 nfcv 2902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑠𝑆
14 eqidd 2732 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝑆 = 𝑆)
1512, 13, 14cbvmpt 5260 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆)
1611, 15eqtri 2759 . . . . 5 (𝑇 Γ— {𝑆}) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆)
1712nfeq2 2919 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑 π‘₯ = 𝑆
18 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ = 𝑆)
1917, 18mpteq2da 5247 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑆 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆))
2019eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑆 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆) ∈ 𝐴))
2120imbi2d 339 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑆 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆) ∈ 𝐴)))
22 stoweidlem21.9 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
2322expcom 413 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴))
2421, 23vtoclga 3566 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℝ β†’ (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆) ∈ 𝐴))
253, 24mpcom 38 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆) ∈ 𝐴)
2616, 25eqeltrid 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 Γ— {𝑆}) ∈ 𝐴)
27 stoweidlem21.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
28 stoweidlem21.2 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐻
29 nfcv 2902 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑇
3012nfsn 4712 . . . . . 6 Ⅎ𝑑{𝑆}
3129, 30nfxp 5710 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑇 Γ— {𝑆})
3227, 28, 31stoweidlem8 45024 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 Γ— {𝑆}) ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
3310, 26, 32mpd3an23 1462 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
349, 33eqeltrd 2832 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
35 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
36 stoweidlem21.10 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
37 feq1 6699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐻 β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝐻:π‘‡βŸΆβ„))
3837rspccva 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ 𝐻:π‘‡βŸΆβ„)
3936, 10, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‡βŸΆβ„)
4039ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
4240, 41readdcld 11248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆) ∈ ℝ)
431fvmpt2 7010 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆))
4435, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆))
4544oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) = (((π»β€˜π‘‘) + 𝑆) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))
4640recnd 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
47 stoweidlem21.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
4847ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
4948recnd 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
503recnd 11247 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
5246, 49, 51subsub3d 11606 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆)) = (((π»β€˜π‘‘) + 𝑆) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))
5345, 52eqtr4d 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) = ((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆)))
5453fveq2d 6896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆))))
55 stoweidlem21.12 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆))) < 𝐸)
5655r19.21bi 3247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆))) < 𝐸)
5754, 56eqbrtrd 5171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
5857ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
592, 58ralrimi 3253 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
60 stoweidlem21.1 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐺
6160nfeq2 2919 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐺
62 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐺 β†’ (π‘“β€˜π‘‘) = (πΊβ€˜π‘‘))
6362oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐺 β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) = ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))
6463fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))
6564breq1d 5159 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸 ↔ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
6661, 65ralbid 3269 . . 3 (𝑓 = 𝐺 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
6766rspcev 3613 . 2 ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
6834, 59, 67syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  β„²wnf 1784   ∈ wcel 2105  β„²wnfc 2882  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112   + caddc 11116   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  abscabs 15186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-sub 11451
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  45078
  Copyright terms: Public domain W3C validator