Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem21 42454
 Description: Once the Stone Weierstrass theorem has been proven for approximating nonnegative functions, then this lemma is used to extend the result to functions with (possibly) negative values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem21.1 𝑡𝐺
stoweidlem21.2 𝑡𝐻
stoweidlem21.3 𝑡𝑆
stoweidlem21.4 𝑡𝜑
stoweidlem21.5 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆))
stoweidlem21.6 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem21.7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
stoweidlem21.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.10 (𝜑 → ∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem21.11 (𝜑𝐻𝐴)
stoweidlem21.12 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem21 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐸,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑆,𝑔   𝑥,𝑡,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝑆(𝑡,𝑓)   𝐸(𝑥,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem21
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem21.5 . . . 4 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆))
2 stoweidlem21.4 . . . . 5 𝑡𝜑
3 stoweidlem21.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
4 fvconst2g 6940 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡) = 𝑆)
53, 4sylan 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡) = 𝑆)
65eqcomd 2826 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 = ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))
76oveq2d 7149 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) + 𝑆) = ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡)))
82, 7mpteq2da 5136 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))))
91, 8syl5eq 2867 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))))
10 stoweidlem21.11 . . . 4 (𝜑𝐻𝐴)
11 fconstmpt 5590 . . . . . 6 (𝑇 × {𝑆}) = (𝑠𝑇𝑆)
12 stoweidlem21.3 . . . . . . 7 𝑡𝑆
13 nfcv 2973 . . . . . . 7 𝑠𝑆
14 eqidd 2821 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡𝑆 = 𝑆)
1512, 13, 14cbvmpt 5143 . . . . . 6 (𝑠𝑇𝑆) = (𝑡𝑇𝑆)
1611, 15eqtri 2843 . . . . 5 (𝑇 × {𝑆}) = (𝑡𝑇𝑆)
1712nfeq2 2990 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑥 = 𝑆
18 simpl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑆𝑡𝑇) → 𝑥 = 𝑆)
1917, 18mpteq2da 5136 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑆 → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇𝑆))
2019eleq1d 2895 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴))
2120imbi2d 343 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑆 → ((𝜑 → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴)))
22 stoweidlem21.9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
2322expcom 416 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝜑 → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴))
2421, 23vtoclga 3553 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℝ → (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴))
253, 24mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴)
2616, 25eqeltrid 2915 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 × {𝑆}) ∈ 𝐴)
27 stoweidlem21.8 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
28 stoweidlem21.2 . . . . 5 𝑡𝐻
29 nfcv 2973 . . . . . 6 𝑡𝑇
3012nfsn 4619 . . . . . 6 𝑡{𝑆}
3129, 30nfxp 5564 . . . . 5 𝑡(𝑇 × {𝑆})
3227, 28, 31stoweidlem8 42441 . . . 4 ((𝜑𝐻𝐴 ∧ (𝑇 × {𝑆}) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))) ∈ 𝐴)
3310, 26, 32mpd3an23 1459 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))) ∈ 𝐴)
349, 33eqeltrd 2911 . 2 (𝜑𝐺𝐴)
35 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
36 stoweidlem21.10 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
37 feq1 6471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐻 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐻:𝑇⟶ℝ))
3837rspccva 3601 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝐻𝐴) → 𝐻:𝑇⟶ℝ)
3936, 10, 38syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻:𝑇⟶ℝ)
4039ffvelrnda 6827 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℝ)
413adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
4240, 41readdcld 10648 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) + 𝑆) ∈ ℝ)
431fvmpt2 6755 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐻𝑡) + 𝑆) ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = ((𝐻𝑡) + 𝑆))
4435, 42, 43syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) = ((𝐻𝑡) + 𝑆))
4544oveq1d 7148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) = (((𝐻𝑡) + 𝑆) − (𝐹𝑡)))
4640recnd 10647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℂ)
47 stoweidlem21.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
4847ffvelrnda 6827 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
4948recnd 10647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
503recnd 10647 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
5150adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
5246, 49, 51subsub3d 11005 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆)) = (((𝐻𝑡) + 𝑆) − (𝐹𝑡)))
5345, 52eqtr4d 2858 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) = ((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆)))
5453fveq2d 6650 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) = (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))))
55 stoweidlem21.12 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
5655r19.21bi 3195 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
5754, 56eqbrtrd 5064 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
5857ex 415 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
592, 58ralrimi 3203 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
60 stoweidlem21.1 . . . . 5 𝑡𝐺
6160nfeq2 2990 . . . 4 𝑡 𝑓 = 𝐺
62 fveq1 6645 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝑡) = (𝐺𝑡))
6362oveq1d 7148 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐺 → ((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡)) = ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))
6463fveq2d 6650 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) = (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
6564breq1d 5052 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 → ((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
6661, 65ralbid 3218 . . 3 (𝑓 = 𝐺 → (∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸 ↔ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
6766rspcev 3602 . 2 ((𝐺𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
6834, 59, 67syl2anc 586 1 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2957  ∀wral 3125  ∃wrex 3126  {csn 4543   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122   × cxp 5529  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℂcc 10513  ℝcr 10514   + caddc 10518   < clt 10653   − cmin 10848  abscabs 14573 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-ltxr 10658  df-sub 10850 This theorem is referenced by:  stoweidlem62  42495
 Copyright terms: Public domain W3C validator