Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem21 46036
Description: Once the Stone Weierstrass theorem has been proven for approximating nonnegative functions, then this lemma is used to extend the result to functions with (possibly) negative values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem21.1 𝑡𝐺
stoweidlem21.2 𝑡𝐻
stoweidlem21.3 𝑡𝑆
stoweidlem21.4 𝑡𝜑
stoweidlem21.5 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆))
stoweidlem21.6 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem21.7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
stoweidlem21.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.10 (𝜑 → ∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem21.11 (𝜑𝐻𝐴)
stoweidlem21.12 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem21 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐸,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑆,𝑔   𝑥,𝑡,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝑆(𝑡,𝑓)   𝐸(𝑥,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem21
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem21.5 . . . 4 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆))
2 stoweidlem21.4 . . . . 5 𝑡𝜑
3 stoweidlem21.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
4 fvconst2g 7222 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡) = 𝑆)
53, 4sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡) = 𝑆)
65eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 = ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))
76oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) + 𝑆) = ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡)))
82, 7mpteq2da 5240 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))))
91, 8eqtrid 2789 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))))
10 stoweidlem21.11 . . . 4 (𝜑𝐻𝐴)
11 fconstmpt 5747 . . . . . 6 (𝑇 × {𝑆}) = (𝑠𝑇𝑆)
12 stoweidlem21.3 . . . . . . 7 𝑡𝑆
13 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑠𝑆
14 eqidd 2738 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡𝑆 = 𝑆)
1512, 13, 14cbvmpt 5253 . . . . . 6 (𝑠𝑇𝑆) = (𝑡𝑇𝑆)
1611, 15eqtri 2765 . . . . 5 (𝑇 × {𝑆}) = (𝑡𝑇𝑆)
1712nfeq2 2923 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑥 = 𝑆
18 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑆𝑡𝑇) → 𝑥 = 𝑆)
1917, 18mpteq2da 5240 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑆 → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇𝑆))
2019eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴))
2120imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑆 → ((𝜑 → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴)))
22 stoweidlem21.9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
2322expcom 413 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝜑 → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴))
2421, 23vtoclga 3577 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℝ → (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴))
253, 24mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴)
2616, 25eqeltrid 2845 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 × {𝑆}) ∈ 𝐴)
27 stoweidlem21.8 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
28 stoweidlem21.2 . . . . 5 𝑡𝐻
29 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑡𝑇
3012nfsn 4707 . . . . . 6 𝑡{𝑆}
3129, 30nfxp 5718 . . . . 5 𝑡(𝑇 × {𝑆})
3227, 28, 31stoweidlem8 46023 . . . 4 ((𝜑𝐻𝐴 ∧ (𝑇 × {𝑆}) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))) ∈ 𝐴)
3310, 26, 32mpd3an23 1465 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))) ∈ 𝐴)
349, 33eqeltrd 2841 . 2 (𝜑𝐺𝐴)
35 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
36 stoweidlem21.10 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
37 feq1 6716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐻 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐻:𝑇⟶ℝ))
3837rspccva 3621 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝐻𝐴) → 𝐻:𝑇⟶ℝ)
3936, 10, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻:𝑇⟶ℝ)
4039ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℝ)
413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
4240, 41readdcld 11290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) + 𝑆) ∈ ℝ)
431fvmpt2 7027 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐻𝑡) + 𝑆) ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = ((𝐻𝑡) + 𝑆))
4435, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) = ((𝐻𝑡) + 𝑆))
4544oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) = (((𝐻𝑡) + 𝑆) − (𝐹𝑡)))
4640recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℂ)
47 stoweidlem21.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
4847ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
4948recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
503recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
5246, 49, 51subsub3d 11650 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆)) = (((𝐻𝑡) + 𝑆) − (𝐹𝑡)))
5345, 52eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) = ((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆)))
5453fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) = (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))))
55 stoweidlem21.12 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
5655r19.21bi 3251 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
5754, 56eqbrtrd 5165 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
5857ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
592, 58ralrimi 3257 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
60 stoweidlem21.1 . . . . 5 𝑡𝐺
6160nfeq2 2923 . . . 4 𝑡 𝑓 = 𝐺
62 fveq1 6905 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝑡) = (𝐺𝑡))
6362oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐺 → ((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡)) = ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))
6463fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) = (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
6564breq1d 5153 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 → ((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
6661, 65ralbid 3273 . . 3 (𝑓 = 𝐺 → (∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸 ↔ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
6766rspcev 3622 . 2 ((𝐺𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
6834, 59, 67syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  wral 3061  wrex 3070  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492  abscabs 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46077
  Copyright terms: Public domain W3C validator