Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem21 44352
Description: Once the Stone Weierstrass theorem has been proven for approximating nonnegative functions, then this lemma is used to extend the result to functions with (possibly) negative values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem21.1 Ⅎ𝑑𝐺
stoweidlem21.2 Ⅎ𝑑𝐻
stoweidlem21.3 Ⅎ𝑑𝑆
stoweidlem21.4 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem21.5 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆))
stoweidlem21.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem21.7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
stoweidlem21.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem21.11 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
stoweidlem21.12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆))) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem21 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐸,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑆,𝑔   π‘₯,𝑑,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑆   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐴(𝑑)   𝑆(𝑑,𝑓)   𝐸(π‘₯,𝑑)   𝐹(π‘₯,𝑑)   𝐺(π‘₯,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem21
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem21.5 . . . 4 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆))
2 stoweidlem21.4 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem21.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
4 fvconst2g 7155 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘) = 𝑆)
53, 4sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘) = 𝑆)
65eqcomd 2739 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 = ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘))
76oveq2d 7377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆) = ((π»β€˜π‘‘) + ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘)))
82, 7mpteq2da 5207 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆)) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘))))
91, 8eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘))))
10 stoweidlem21.11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
11 fconstmpt 5698 . . . . . 6 (𝑇 Γ— {𝑆}) = (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆)
12 stoweidlem21.3 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑆
13 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑠𝑆
14 eqidd 2734 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝑆 = 𝑆)
1512, 13, 14cbvmpt 5220 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆)
1611, 15eqtri 2761 . . . . 5 (𝑇 Γ— {𝑆}) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆)
1712nfeq2 2921 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑 π‘₯ = 𝑆
18 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ = 𝑆)
1917, 18mpteq2da 5207 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑆 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆))
2019eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑆 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆) ∈ 𝐴))
2120imbi2d 341 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑆 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆) ∈ 𝐴)))
22 stoweidlem21.9 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
2322expcom 415 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴))
2421, 23vtoclga 3536 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℝ β†’ (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆) ∈ 𝐴))
253, 24mpcom 38 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 𝑆) ∈ 𝐴)
2616, 25eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 Γ— {𝑆}) ∈ 𝐴)
27 stoweidlem21.8 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
28 stoweidlem21.2 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐻
29 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑇
3012nfsn 4672 . . . . . 6 Ⅎ𝑑{𝑆}
3129, 30nfxp 5670 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑇 Γ— {𝑆})
3227, 28, 31stoweidlem8 44339 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 Γ— {𝑆}) ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
3310, 26, 32mpd3an23 1464 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π»β€˜π‘‘) + ((𝑇 Γ— {𝑆})β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
349, 33eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
35 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
36 stoweidlem21.10 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
37 feq1 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐻 β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ 𝐻:π‘‡βŸΆβ„))
3837rspccva 3582 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘“ ∈ 𝐴 𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) β†’ 𝐻:π‘‡βŸΆβ„)
3936, 10, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‡βŸΆβ„)
4039ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
413adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
4240, 41readdcld 11192 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆) ∈ ℝ)
431fvmpt2 6963 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆))
4435, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = ((π»β€˜π‘‘) + 𝑆))
4544oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) = (((π»β€˜π‘‘) + 𝑆) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))
4640recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
47 stoweidlem21.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
4847ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
4948recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
503recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
5150adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
5246, 49, 51subsub3d 11550 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆)) = (((π»β€˜π‘‘) + 𝑆) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))
5345, 52eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) = ((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆)))
5453fveq2d 6850 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆))))
55 stoweidlem21.12 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆))) < 𝐸)
5655r19.21bi 3233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘‘) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ 𝑆))) < 𝐸)
5754, 56eqbrtrd 5131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
5857ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
592, 58ralrimi 3239 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
60 stoweidlem21.1 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝐺
6160nfeq2 2921 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐺
62 fveq1 6845 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐺 β†’ (π‘“β€˜π‘‘) = (πΊβ€˜π‘‘))
6362oveq1d 7376 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐺 β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) = ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))
6463fveq2d 6850 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))
6564breq1d 5119 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸 ↔ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
6661, 65ralbid 3255 . . 3 (𝑓 = 𝐺 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸))
6766rspcev 3583 . 2 ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
6834, 59, 67syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058   + caddc 11062   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393  abscabs 15128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  44393
  Copyright terms: Public domain W3C validator