Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem21 45977
Description: Once the Stone Weierstrass theorem has been proven for approximating nonnegative functions, then this lemma is used to extend the result to functions with (possibly) negative values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem21.1 𝑡𝐺
stoweidlem21.2 𝑡𝐻
stoweidlem21.3 𝑡𝑆
stoweidlem21.4 𝑡𝜑
stoweidlem21.5 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆))
stoweidlem21.6 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem21.7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
stoweidlem21.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem21.10 (𝜑 → ∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem21.11 (𝜑𝐻𝐴)
stoweidlem21.12 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem21 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐸,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑆,𝑔   𝑥,𝑡,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝑆(𝑡,𝑓)   𝐸(𝑥,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem21
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem21.5 . . . 4 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆))
2 stoweidlem21.4 . . . . 5 𝑡𝜑
3 stoweidlem21.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
4 fvconst2g 7222 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡) = 𝑆)
53, 4sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡) = 𝑆)
65eqcomd 2741 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 = ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))
76oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) + 𝑆) = ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡)))
82, 7mpteq2da 5246 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + 𝑆)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))))
91, 8eqtrid 2787 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))))
10 stoweidlem21.11 . . . 4 (𝜑𝐻𝐴)
11 fconstmpt 5751 . . . . . 6 (𝑇 × {𝑆}) = (𝑠𝑇𝑆)
12 stoweidlem21.3 . . . . . . 7 𝑡𝑆
13 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑠𝑆
14 eqidd 2736 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡𝑆 = 𝑆)
1512, 13, 14cbvmpt 5259 . . . . . 6 (𝑠𝑇𝑆) = (𝑡𝑇𝑆)
1611, 15eqtri 2763 . . . . 5 (𝑇 × {𝑆}) = (𝑡𝑇𝑆)
1712nfeq2 2921 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑥 = 𝑆
18 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑆𝑡𝑇) → 𝑥 = 𝑆)
1917, 18mpteq2da 5246 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑆 → (𝑡𝑇𝑥) = (𝑡𝑇𝑆))
2019eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴))
2120imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑆 → ((𝜑 → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴)))
22 stoweidlem21.9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
2322expcom 413 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝜑 → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴))
2421, 23vtoclga 3577 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℝ → (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴))
253, 24mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇𝑆) ∈ 𝐴)
2616, 25eqeltrid 2843 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 × {𝑆}) ∈ 𝐴)
27 stoweidlem21.8 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
28 stoweidlem21.2 . . . . 5 𝑡𝐻
29 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑡𝑇
3012nfsn 4712 . . . . . 6 𝑡{𝑆}
3129, 30nfxp 5722 . . . . 5 𝑡(𝑇 × {𝑆})
3227, 28, 31stoweidlem8 45964 . . . 4 ((𝜑𝐻𝐴 ∧ (𝑇 × {𝑆}) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))) ∈ 𝐴)
3310, 26, 32mpd3an23 1462 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐻𝑡) + ((𝑇 × {𝑆})‘𝑡))) ∈ 𝐴)
349, 33eqeltrd 2839 . 2 (𝜑𝐺𝐴)
35 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
36 stoweidlem21.10 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
37 feq1 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐻 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝐻:𝑇⟶ℝ))
3837rspccva 3621 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ ∧ 𝐻𝐴) → 𝐻:𝑇⟶ℝ)
3936, 10, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻:𝑇⟶ℝ)
4039ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℝ)
413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
4240, 41readdcld 11288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) + 𝑆) ∈ ℝ)
431fvmpt2 7027 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐻𝑡) + 𝑆) ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = ((𝐻𝑡) + 𝑆))
4435, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) = ((𝐻𝑡) + 𝑆))
4544oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) = (((𝐻𝑡) + 𝑆) − (𝐹𝑡)))
4640recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ∈ ℂ)
47 stoweidlem21.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
4847ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
4948recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
503recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
5246, 49, 51subsub3d 11648 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆)) = (((𝐻𝑡) + 𝑆) − (𝐹𝑡)))
5345, 52eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) = ((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆)))
5453fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) = (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))))
55 stoweidlem21.12 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
5655r19.21bi 3249 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐻𝑡) − ((𝐹𝑡) − 𝑆))) < 𝐸)
5754, 56eqbrtrd 5170 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
5857ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
592, 58ralrimi 3255 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
60 stoweidlem21.1 . . . . 5 𝑡𝐺
6160nfeq2 2921 . . . 4 𝑡 𝑓 = 𝐺
62 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝑡) = (𝐺𝑡))
6362oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐺 → ((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡)) = ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))
6463fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) = (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
6564breq1d 5158 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 → ((abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
6661, 65ralbid 3271 . . 3 (𝑓 = 𝐺 → (∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸 ↔ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸))
6766rspcev 3622 . 2 ((𝐺𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
6834, 59, 67syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  wral 3059  wrex 3068  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152   + caddc 11156   < clt 11293  cmin 11490  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46018
  Copyright terms: Public domain W3C validator