Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submat1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submat1n 31063
Description: One case where the submatrix with integer indices, subMat1, and the general submatrix subMat, agree. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submat1n.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submat1n ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))

Proof of Theorem submat1n
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzdif2 30506 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
2 nnuz 12273 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2eleq2s 2929 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
43adantr 483 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
54adantr 483 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁})) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
6 eqid 2819 . . . . 5 (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)
7 elfz1end 12929 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
87biimpi 218 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
98adantr 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
109, 7sylibr 236 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110adantr 483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211, 8syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
13 submat1n.a . . . . . . 7 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
14 eqid 2819 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15 submat1n.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
1613, 14, 15matbas2i 21023 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
1716ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
18 simprl 769 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
19 nnz 11996 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20 fzoval 13031 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
2221, 3eqtr4d 2857 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (1..^𝑁) = ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
2418, 23eleqtrrd 2914 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑖 ∈ (1..^𝑁))
25 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
2625, 23eleqtrrd 2914 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑗 ∈ (1..^𝑁))
276, 11, 11, 12, 12, 17, 24, 26smattl 31056 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
2827eqcomd 2825 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗))
294, 5, 28mpoeq123dva 7220 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
30 simpr 487 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
31 eqid 2819 . . . 4 ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
3213, 31, 15submaval 21182 . . 3 ((𝑀𝐵𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
3330, 9, 9, 32syl3anc 1366 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
34 eqid 2819 . . . 4 (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
3513, 15, 34, 6, 10, 9, 9, 30smatcl 31060 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
36 eqid 2819 . . . 4 ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
3736, 34matmpo 31061 . . 3 ((𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
3835, 37syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
3929, 33, 383eqtr4rd 2865 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  cdif 3931  {csn 4559   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7148  cmpo 7150  m cmap 8398  1c1 10530  cmin 10862  cn 11630  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12884  ..^cfzo 13025  Basecbs 16475   Mat cmat 21008   subMat csubma 21177  subMat1csmat 31051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-dsmm 20868  df-frlm 20883  df-mat 21009  df-subma 21178  df-smat 31052
This theorem is referenced by:  submatres  31064  madjusmdetlem1  31085
  Copyright terms: Public domain W3C validator