Theorem submat1n 33816

Description: One case where the submatrix with integer indices, subMat1, and the general submatrix subMat, agree. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submat1n.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submat1n	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))

Proof of Theorem submat1n

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzdif2 32771	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
2		nnuz 12775	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	1, 2	eleq2s 2849	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁})) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)
7		elfz1end 13454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
8	7	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
10	9, 7	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
13		submat1n.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
14		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		submat1n.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
16	13, 14, 15	matbas2i 22338	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
17	16	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
18		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
19		nnz 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20		fzoval 13560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
22	21, 3	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
23	11, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (1..^𝑁) = ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
24	18, 23	eleqtrrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑖 ∈ (1..^𝑁))
25		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
26	25, 23	eleqtrrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑗 ∈ (1..^𝑁))
27	6, 11, 11, 12, 12, 17, 24, 26	smattl 33809	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
28	27	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗))
29	4, 5, 28	mpoeq123dva 7420	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
30		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
31		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
32	13, 31, 15	submaval 22497	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
33	30, 9, 9, 32	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
34		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
35	13, 15, 34, 6, 10, 9, 9, 30	smatcl 33813	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
36		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
37	36, 34	matmpo 33814	. . 3 ⊢ ((𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
38	35, 37	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
39	29, 33, 38	3eqtr4rd 2777	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899  {csn 4576   × cxp 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ↑_m cmap 8750  1c1 11007   − cmin 11344  ℕcn 12125  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  Basecbs 17120   Mat cmat 22323   subMat csubma 22492  subMat1csmat 33804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-mat 22324  df-subma 22493  df-smat 33805

This theorem is referenced by:  submatres  33817  madjusmdetlem1  33838