Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submat1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submat1n 33315
Description: One case where the submatrix with integer indices, subMat1, and the general submatrix subMat, agree. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submat1n.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submat1n ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))

Proof of Theorem submat1n
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzdif2 32509 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
2 nnuz 12869 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2eleq2s 2845 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
43adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
54adantr 480 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁})) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
6 eqid 2726 . . . . 5 (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)
7 elfz1end 13537 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
87biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
109, 7sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211, 8syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
13 submat1n.a . . . . . . 7 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
14 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15 submat1n.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
1613, 14, 15matbas2i 22279 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
1716ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
18 simprl 768 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
19 nnz 12583 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20 fzoval 13639 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
2221, 3eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (1..^𝑁) = ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
2418, 23eleqtrrd 2830 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑖 ∈ (1..^𝑁))
25 simprr 770 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
2625, 23eleqtrrd 2830 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑗 ∈ (1..^𝑁))
276, 11, 11, 12, 12, 17, 24, 26smattl 33308 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
2827eqcomd 2732 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗))
294, 5, 28mpoeq123dva 7479 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
30 simpr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
31 eqid 2726 . . . 4 ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
3213, 31, 15submaval 22438 . . 3 ((𝑀𝐵𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
3330, 9, 9, 32syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
34 eqid 2726 . . . 4 (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
3513, 15, 34, 6, 10, 9, 9, 30smatcl 33312 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
36 eqid 2726 . . . 4 ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
3736, 34matmpo 33313 . . 3 ((𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
3835, 37syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
3929, 33, 383eqtr4rd 2777 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3940  {csn 4623   × cxp 5667  cfv 6537  (class class class)co 7405  cmpo 7407  m cmap 8822  1c1 11113  cmin 11448  cn 12216  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  Basecbs 17153   Mat cmat 22262   subMat csubma 22433  subMat1csmat 33303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mat 22263  df-subma 22434  df-smat 33304
This theorem is referenced by:  submatres  33316  madjusmdetlem1  33337
  Copyright terms: Public domain W3C validator