Theorem submat1n 33949

Description: One case where the submatrix with integer indices, subMat1, and the general submatrix subMat, agree. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submat1n.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submat1n	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))

Proof of Theorem submat1n

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzdif2 32863	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
2		nnuz 12827	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	1, 2	eleq2s 2854	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁})) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)
7		elfz1end 13508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
8	7	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
10	9, 7	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
13		submat1n.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
14		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		submat1n.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
16	13, 14, 15	matbas2i 22387	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
17	16	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
18		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
19		nnz 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20		fzoval 13614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
22	21, 3	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
23	11, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (1..^𝑁) = ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
24	18, 23	eleqtrrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑖 ∈ (1..^𝑁))
25		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
26	25, 23	eleqtrrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑗 ∈ (1..^𝑁))
27	6, 11, 11, 12, 12, 17, 24, 26	smattl 33942	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
28	27	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗))
29	4, 5, 28	mpoeq123dva 7441	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
30		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
31		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
32	13, 31, 15	submaval 22546	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
33	30, 9, 9, 32	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
34		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
35	13, 15, 34, 6, 10, 9, 9, 30	smatcl 33946	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
36		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
37	36, 34	matmpo 33947	. . 3 ⊢ ((𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
38	35, 37	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
39	29, 33, 38	3eqtr4rd 2782	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886  {csn 4567   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369   ↑_m cmap 8773  1c1 11039   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  Basecbs 17179   Mat cmat 22372   subMat csubma 22541  subMat1csmat 33937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-mat 22373  df-subma 22542  df-smat 33938

This theorem is referenced by:  submatres  33950  madjusmdetlem1  33971