Theorem submatres 34316

Description: Special case where the submatrix is a restriction of the initial matrix, and no renumbering occurs. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submat1n.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submatres	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))

Proof of Theorem submatres

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submat1n.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2		submat1n.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	submat1n 34315	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))
4		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
5		nnuz 12926	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	5	eleq2i 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
7	6	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
8		eluzfz2 13586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
12	1, 11, 2	submaval 22803	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
13	4, 10, 10, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
14		fzdif2 33261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
15	7, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
16		difss 4083	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ⊆ (1...𝑁)
17	15, 16	eqsstrrdi 3976	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
19		resmpo 7533	. . . 4 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁) ∧ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
20	18, 18, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
21	1, 2	matmpo 34313	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
22	21	reseq1d 5971	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
23	22	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
24	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
25		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
26	24, 24, 25	mpoeq123dv 7488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
27	20, 23, 26	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
28	3, 13, 27	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1c1 11125   − cmin 11465  ℕcn 12257  ℤ_≥cuz 12887  ...cfz 13561  Basecbs 17301   Mat cmat 22629   subMat csubma 22798  subMat1csmat 34303

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-prds 17532  df-pws 17534  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-mat 22630  df-subma 22799  df-smat 34304

This theorem is used by:  madjusmdetlem3  34339