Theorem submatres 33775

Description: Special case where the submatrix is a restriction of the initial matrix, and no renumbering occurs. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submat1n.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submatres	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))

Proof of Theorem submatres

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submat1n.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2		submat1n.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	submat1n 33774	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
5		nnuz 12796	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	5	eleq2i 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
7	6	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
8		eluzfz2 13453	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
12	1, 11, 2	submaval 22484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
13	4, 10, 10, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
14		fzdif2 32746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
15	7, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
16		difss 4089	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ⊆ (1...𝑁)
17	15, 16	eqsstrrdi 3983	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
19		resmpo 7473	. . . 4 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁) ∧ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
20	18, 18, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
21	1, 2	matmpo 33772	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
22	21	reseq1d 5933	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
24	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
25		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
26	24, 24, 25	mpoeq123dv 7428	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
27	20, 23, 26	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
28	3, 13, 27	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4579   × cxp 5621   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  1c1 11029   − cmin 11365  ℕcn 12146  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428  Basecbs 17138   Mat cmat 22310   subMat csubma 22479  subMat1csmat 33762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-prds 17369  df-pws 17371  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-mat 22311  df-subma 22480  df-smat 33763

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem3  33798