Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submatres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submatres 31092
 Description: Special case where the submatrix is a restriction of the initial matrix, and no renumbering occurs. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submat1n.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submatres ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))

Proof of Theorem submatres
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submat1n.a . . 3 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2 submat1n.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2submat1n 31091 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))
4 simpr 488 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
5 nnuz 12267 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
65eleq2i 2907 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
76biimpi 219 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
8 eluzfz2 12908 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
109adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
11 eqid 2824 . . . 4 ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
121, 11, 2submaval 21176 . . 3 ((𝑀𝐵𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
134, 10, 10, 12syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
14 fzdif2 30511 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
157, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
16 difss 4092 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ⊆ (1...𝑁)
1715, 16eqsstrrdi 4006 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
1817adantr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
19 resmpo 7254 . . . 4 (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁) ∧ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
2018, 18, 19syl2anc 587 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
211, 2matmpo 31089 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 = (𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
2221reseq1d 5833 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
2322adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
2415adantr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
25 eqidd 2825 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
2624, 24, 25mpoeq123dv 7211 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
2720, 23, 263eqtr4rd 2870 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
283, 13, 273eqtrd 2863 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∖ cdif 3915   ⊆ wss 3918  {csn 4548   × cxp 5534   ↾ cres 5538  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ∈ cmpo 7140  1c1 10523   − cmin 10855  ℕcn 11623  ℤ≥cuz 12229  ...cfz 12883  Basecbs 16472   Mat cmat 21002   subMat csubma 21171  subMat1csmat 31079 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-hom 16578  df-cco 16579  df-0g 16704  df-prds 16710  df-pws 16712  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-dsmm 20862  df-frlm 20877  df-mat 21003  df-subma 21172  df-smat 31080 This theorem is referenced by:  madjusmdetlem3  31115
 Copyright terms: Public domain W3C validator