Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submatres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submatres 31092
Description: Special case where the submatrix is a restriction of the initial matrix, and no renumbering occurs. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submat1n.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submatres ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))

Proof of Theorem submatres
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submat1n.a . . 3 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2 submat1n.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2submat1n 31091 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))
4 simpr 488 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
5 nnuz 12267 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
65eleq2i 2907 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
76biimpi 219 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
8 eluzfz2 12908 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
109adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
11 eqid 2824 . . . 4 ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
121, 11, 2submaval 21176 . . 3 ((𝑀𝐵𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
134, 10, 10, 12syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
14 fzdif2 30511 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
157, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
16 difss 4092 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ⊆ (1...𝑁)
1715, 16eqsstrrdi 4006 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
1817adantr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
19 resmpo 7254 . . . 4 (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁) ∧ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
2018, 18, 19syl2anc 587 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
211, 2matmpo 31089 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 = (𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
2221reseq1d 5833 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
2322adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
2415adantr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
25 eqidd 2825 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
2624, 24, 25mpoeq123dv 7211 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
2720, 23, 263eqtr4rd 2870 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
283, 13, 273eqtrd 2863 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3915  wss 3918  {csn 4548   × cxp 5534  cres 5538  cfv 6336  (class class class)co 7138  cmpo 7140  1c1 10523  cmin 10855  cn 11623  cuz 12229  ...cfz 12883  Basecbs 16472   Mat cmat 21002   subMat csubma 21171  subMat1csmat 31079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-hom 16578  df-cco 16579  df-0g 16704  df-prds 16710  df-pws 16712  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-dsmm 20862  df-frlm 20877  df-mat 21003  df-subma 21172  df-smat 31080
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem3  31115
  Copyright terms: Public domain W3C validator