Theorem submatres 34219

Description: Special case where the submatrix is a restriction of the initial matrix, and no renumbering occurs. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submat1n.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submatres	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))

Proof of Theorem submatres

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submat1n.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2		submat1n.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	submat1n 34218	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))
4		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
5		nnuz 12912	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	5	eleq2i 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
7	6	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
8		eluzfz2 13571	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
12	1, 11, 2	submaval 22767	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
13	4, 10, 10, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
14		fzdif2 33164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
15	7, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
16		difss 4090	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ⊆ (1...𝑁)
17	15, 16	eqsstrrdi 3983	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
19		resmpo 7536	. . . 4 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁) ∧ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
20	18, 18, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
21	1, 2	matmpo 34216	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
22	21	reseq1d 5979	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
23	22	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
24	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
25		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
26	24, 24, 25	mpoeq123dv 7491	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
27	20, 23, 26	3eqtr4rd 2811	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
28	3, 13, 27	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  1c1 11112   − cmin 11452  ℕcn 12244  ℤ_≥cuz 12873  ...cfz 13546  Basecbs 17286   Mat cmat 22593   subMat csubma 22762  subMat1csmat 34206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-prds 17517  df-pws 17519  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-dsmm 21911  df-frlm 21926  df-mat 22594  df-subma 22763  df-smat 34207

This theorem is used by:  madjusmdetlem3  34242