Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supsubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supsubc 44764
Description: The supremum function distributes over subtraction in a sense similar to that in supaddc 12219. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supsubc.a1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
supsubc.a2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supsubc.a3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
supsubc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supsubc.c 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)}
Assertion
Ref Expression
supsubc (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supsubc
StepHypRef Expression
1 supsubc.c . . . . 5 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)}
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)})
3 supsubc.a1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
43sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ ℝ)
54recnd 11280 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ)
6 supsubc.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 11280 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
95, 8negsubd 11615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝑣 + -𝐵) = (𝑣𝐵))
109eqcomd 2734 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝑣𝐵) = (𝑣 + -𝐵))
1110eqeq2d 2739 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝑧 = (𝑣𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
1211rexbidva 3174 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵) ↔ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
1312abbidv 2797 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
14 eqidd 2729 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
152, 13, 143eqtrd 2772 . . 3 (𝜑𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
1615supeq1d 9477 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
17 supsubc.a2 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
18 supsubc.a3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
196renegcld 11679 . . . 4 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
20 eqid 2728 . . . 4 {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}
213, 17, 18, 19, 20supaddc 12219 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
2221eqcomd 2734 . 2 (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵))
23 suprcl 12212 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
243, 17, 18, 23syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2524recnd 11280 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
2625, 7negsubd 11615 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵))
2716, 22, 263eqtrrd 2773 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2705  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3949  c0 4326   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  supcsup 9471  cc 11144  cr 11145   + caddc 11149   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  -cneg 11483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  46012
  Copyright terms: Public domain W3C validator