Theorem supsubc 45364

Description: The supremum function distributes over subtraction in a sense similar to that in supaddc 12235. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
supsubc.a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
supsubc.a2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supsubc.a3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
supsubc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supsubc.c	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
supsubc	⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supsubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsubc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)})
3		supsubc.a1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4	3	sselda 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ)
6		supsubc.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	5, 8	negsubd 11626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑣 + -𝐵) = (𝑣 − 𝐵))
10	9	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑣 − 𝐵) = (𝑣 + -𝐵))
11	10	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 = (𝑣 − 𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
12	11	rexbidva 3177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
13	12	abbidv 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
14		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
15	2, 13, 14	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
16	15	supeq1d 9486	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
17		supsubc.a2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
18		supsubc.a3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
19	6	renegcld 11690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}
21	3, 17, 18, 19, 20	supaddc 12235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
22	21	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵))
23		suprcl 12228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
24	3, 17, 18, 23	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11289	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
26	25, 7	negsubd 11626	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵))
27	16, 22, 26	3eqtrrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℂcc 11153  ℝcr 11154   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  46610