Theorem supsubc 45805

Description: The supremum function distributes over subtraction in a sense similar to that in supaddc 12121. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
supsubc.a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
supsubc.a2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supsubc.a3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
supsubc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supsubc.c	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
supsubc	⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supsubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsubc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)})
3		supsubc.a1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4	3	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ)
6		supsubc.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	5, 8	negsubd 11509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑣 + -𝐵) = (𝑣 − 𝐵))
10	9	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑣 − 𝐵) = (𝑣 + -𝐵))
11	10	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 = (𝑣 − 𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
12	11	rexbidva 3162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
13	12	abbidv 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
14		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
15	2, 13, 14	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
16	15	supeq1d 9356	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
17		supsubc.a2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
18		supsubc.a3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
19	6	renegcld 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
20		eqid 2740	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}
21	3, 17, 18, 19, 20	supaddc 12121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
22	21	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵))
23		suprcl 12114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
24	3, 17, 18, 23	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11171	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
26	25, 7	negsubd 11509	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵))
27	16, 22, 26	3eqtrrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2718   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  supcsup 9350  ℂcc 11034  ℝcr 11035   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  -cneg 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  47045