Theorem supsubc 46309

Description: The supremum function distributes over subtraction in a sense similar to that in supaddc 12265. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
supsubc.a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
supsubc.a2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supsubc.a3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
supsubc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supsubc.c	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
supsubc	⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣)

Proof of Theorem supsubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsubc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)})
3		supsubc.a1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4	3	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ)
6		supsubc.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	5, 8	negsubd 11656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑣 + -𝐵) = (𝑣 − 𝐵))
10	9	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑣 − 𝐵) = (𝑣 + -𝐵))
11	10	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 = (𝑣 − 𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
12	11	rexbidva 3185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
13	12	abbidv 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 − 𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
14		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
15	2, 13, 14	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
16	15	supeq1d 9422	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
17		supsubc.a2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
18		supsubc.a3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
19	6	renegcld 11724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}
21	3, 17, 18, 19, 20	supaddc 12265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
22	21	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵))
23		suprcl 12258	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
24	3, 17, 18, 23	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11318	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
26	25, 7	negsubd 11656	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵))
27	16, 22, 26	3eqtrrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  supcsup 9416  ℂcc 11179  ℝcr 11180   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525

This theorem is used by:  hoidmvlelem1  47549