Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supsubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supsubc 40313
Description: The supremum function distributes over subtraction in a sense similar to that in supaddc 11282. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supsubc.a1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
supsubc.a2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supsubc.a3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
supsubc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supsubc.c 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)}
Assertion
Ref Expression
supsubc (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supsubc
StepHypRef Expression
1 supsubc.c . . . . 5 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)}
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)})
3 supsubc.a1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
43sselda 3798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ ℝ)
54recnd 10357 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ)
6 supsubc.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 10357 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
95, 8negsubd 10690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝑣 + -𝐵) = (𝑣𝐵))
109eqcomd 2805 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝑣𝐵) = (𝑣 + -𝐵))
1110eqeq2d 2809 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝑧 = (𝑣𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
1211rexbidva 3230 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵) ↔ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
1312abbidv 2918 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
14 eqidd 2800 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
152, 13, 143eqtrd 2837 . . 3 (𝜑𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
1615supeq1d 8594 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
17 supsubc.a2 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
18 supsubc.a3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
196renegcld 10749 . . . 4 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
20 eqid 2799 . . . 4 {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}
213, 17, 18, 19, 20supaddc 11282 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
2221eqcomd 2805 . 2 (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵))
23 suprcl 11275 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
243, 17, 18, 23syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2524recnd 10357 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
2625, 7negsubd 10690 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵))
2716, 22, 263eqtrrd 2838 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  {cab 2785  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  wss 3769  c0 4115   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  supcsup 8588  cc 10222  cr 10223   + caddc 10227   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556  -cneg 10557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  41555
  Copyright terms: Public domain W3C validator