Theorem ltm1d 11561

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  1c1 10527   < clt 10664   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  suprzcl  12050  fzsuc2  12960  fzm1  12982  m1modnnsub1  13280  cshwidxm1  14160  fsumm1  15098  isumsplit  15187  climcndslem1  15196  bitsfzolem  15773  fldivp1  16223  4sqlem12  16282  ram0  16348  sylow1lem1  18715  dgreq0  24862  atanlogsublem  25501  birthdaylem3  25539  wilthlem1  25653  ftalem5  25662  basellem5  25670  lgsval2lem  25891  lgsqrlem2  25931  gausslemma2dlem0c  25942  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem2  25965  pntrsumbnd2  26151  axlowdimlem16  26751  pthdlem1  27555  clwwlkel  27831  clwwlknonex2lem2  27893  xlt2addrd  30508  cycpmco2lem6  30823  cvmliftlem6  32650  cvmliftlem8  32652  cvmliftlem9  32653  cvmliftlem10  32654  bcprod  33083  iooelexlt  34779  poimirlem1  35058  poimirlem2  35059  poimirlem6  35063  poimirlem7  35064  poimirlem8  35065  poimirlem12  35069  poimirlem15  35072  poimirlem16  35073  poimirlem17  35074  poimirlem19  35076  poimirlem20  35077  poimirlem21  35078  poimirlem22  35079  poimirlem23  35080  poimirlem26  35083  mettrifi  35195  metakunt18  39367  metakunt20  39369  metakunt24  39373  irrapxlem1  39763  rmspecsqrtnq  39847  acongeq  39924  monoords  41929  fzisoeu  41932  fzdifsuc2  41942  infleinflem2  42003  unb2ltle  42052  limsupre3lem  42374  xlimxrre  42473  xlimmnfv  42476  iblspltprt  42615  itgspltprt  42621  stoweidlem11  42653  stoweidlem14  42656  fourierdlem11  42760  fourierdlem12  42761  fourierdlem15  42764  fourierdlem41  42790  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem50  42798  fourierdlem79  42827  ioorrnopnxrlem  42948  iundjiun  43099  lswn0  43961  bgoldbtbndlem4  44326  m1modmmod  44935  logbpw2m1  44981