Theorem ltm1d 12165

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12075	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  1c1 11119   < clt 11261   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462

This theorem is used by:  suprzcl  12694  fzsuc2  13629  fzm1  13654  m1modnnsub1  13973  cshwidxm1  14870  fsumm1  15828  isumsplit  15920  climcndslem1  15929  bitsfzolem  16517  fldivp1  16982  4sqlem12  17041  ram0  17107  chnub  18703  chnccat  18707  sylow1lem1  19699  dgreq0  26459  atanlogsublem  27117  birthdaylem3  27155  wilthlem1  27269  ftalem5  27278  basellem5  27286  lgsval2lem  27508  lgsqrlem2  27548  gausslemma2dlem0c  27559  lgsquadlem1  27581  lgsquadlem2  27582  pntrsumbnd2  27768  axlowdimlem16  29344  pthdlem1  30152  clwwlkel  30434  clwwlknonex2lem2  30496  xlt2addrd  33141  cycpmco2lem6  33482  cvmliftlem6  35803  cvmliftlem8  35805  cvmliftlem9  35806  cvmliftlem10  35807  bcprod  36251  iooelexlt  38049  poimirlem1  38313  poimirlem2  38314  poimirlem6  38318  poimirlem7  38319  poimirlem8  38320  poimirlem12  38324  poimirlem15  38327  poimirlem16  38328  poimirlem17  38329  poimirlem19  38331  poimirlem20  38332  poimirlem21  38333  poimirlem22  38334  poimirlem23  38335  poimirlem26  38338  mettrifi  38449  aks4d1p1  42884  primrootlekpowne0  42913  sticksstones10  42963  sticksstones12a  42965  aks6d1c6lem3  42980  unitscyglem2  43004  irrapxlem1  43590  rmspecsqrtnq  43674  acongeq  43751  monoords  46057  fzisoeu  46060  fzdifsuc2  46070  infleinflem2  46127  unb2ltle  46170  limsupre3lem  46487  xlimxrre  46586  xlimmnfv  46589  iblspltprt  46728  itgspltprt  46734  stoweidlem11  46766  stoweidlem14  46769  fourierdlem11  46873  fourierdlem12  46874  fourierdlem15  46877  fourierdlem41  46903  fourierdlem48  46909  fourierdlem49  46910  fourierdlem50  46911  fourierdlem79  46940  ioorrnopnxrlem  47061  iundjiun  47215  chnsubseq  47637  m1modmmod  48142  lswn0  48234  bgoldbtbndlem4  48614  gpgedgvtx0  48867  logbpw2m1  49388