Theorem ltm1d 12117

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12026	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  1c1 11067   < clt 11209   − cmin 11407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410

This theorem is referenced by:  suprzcl  12646  fzsuc2  13580  fzm1  13605  m1modnnsub1  13923  cshwidxm1  14813  fsumm1  15768  isumsplit  15860  climcndslem1  15869  bitsfzolem  16458  fldivp1  16923  4sqlem12  16982  ram0  17048  chnub  18644  chnccat  18648  sylow1lem1  19628  dgreq0  26312  atanlogsublem  26967  birthdaylem3  27005  wilthlem1  27119  ftalem5  27128  basellem5  27136  lgsval2lem  27358  lgsqrlem2  27398  gausslemma2dlem0c  27409  lgsquadlem1  27431  lgsquadlem2  27432  pntrsumbnd2  27618  axlowdimlem16  29114  pthdlem1  29922  clwwlkel  30204  clwwlknonex2lem2  30266  xlt2addrd  32921  cycpmco2lem6  33271  cvmliftlem6  35600  cvmliftlem8  35602  cvmliftlem9  35603  cvmliftlem10  35604  bcprod  36048  iooelexlt  37816  poimirlem1  38080  poimirlem2  38081  poimirlem6  38085  poimirlem7  38086  poimirlem8  38087  poimirlem12  38091  poimirlem15  38094  poimirlem16  38095  poimirlem17  38096  poimirlem19  38098  poimirlem20  38099  poimirlem21  38100  poimirlem22  38101  poimirlem23  38102  poimirlem26  38105  mettrifi  38216  aks4d1p1  42653  primrootlekpowne0  42682  sticksstones10  42732  sticksstones12a  42734  aks6d1c6lem3  42749  unitscyglem2  42773  irrapxlem1  43359  rmspecsqrtnq  43443  acongeq  43520  monoords  45836  fzisoeu  45839  fzdifsuc2  45849  infleinflem2  45906  unb2ltle  45949  limsupre3lem  46266  xlimxrre  46365  xlimmnfv  46368  iblspltprt  46507  itgspltprt  46513  stoweidlem11  46545  stoweidlem14  46548  fourierdlem11  46652  fourierdlem12  46653  fourierdlem15  46656  fourierdlem41  46682  fourierdlem48  46688  fourierdlem49  46689  fourierdlem50  46690  fourierdlem79  46719  ioorrnopnxrlem  46840  iundjiun  46994  chnsubseq  47416  m1modmmod  47918  lswn0  48010  bgoldbtbndlem4  48390  gpgedgvtx0  48643  logbpw2m1  49149