Theorem ltm1d 12175

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12085	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  1c1 11129   < clt 11271   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472

This theorem is used by:  suprzcl  12705  fzsuc2  13641  fzm1  13666  m1modnnsub1  13985  cshwidxm1  14882  fsumm1  15841  isumsplit  15933  climcndslem1  15942  bitsfzolem  16530  fldivp1  16995  4sqlem12  17054  ram0  17120  chnub  18716  chnccat  18720  sylow1lem1  19731  dgreq0  26498  atanlogsublem  27160  birthdaylem3  27198  wilthlem1  27312  ftalem5  27321  basellem5  27329  lgsval2lem  27551  lgsqrlem2  27591  gausslemma2dlem0c  27602  lgsquadlem1  27624  lgsquadlem2  27625  pntrsumbnd2  27811  axlowdimlem16  29422  pthdlem1  30239  clwwlkel  30524  clwwlknonex2lem2  30586  xlt2addrd  33238  cycpmco2lem6  33579  cvmliftlem6  35877  cvmliftlem8  35879  cvmliftlem9  35880  cvmliftlem10  35881  bcprod  36325  iooelexlt  38124  poimirlem1  38378  poimirlem2  38379  poimirlem6  38383  poimirlem7  38384  poimirlem8  38385  poimirlem12  38389  poimirlem15  38392  poimirlem16  38393  poimirlem17  38394  poimirlem19  38396  poimirlem20  38397  poimirlem21  38398  poimirlem22  38399  poimirlem23  38400  poimirlem26  38403  mettrifi  38515  aks4d1p1  42950  primrootlekpowne0  42979  sticksstones10  43029  sticksstones12a  43031  aks6d1c6lem3  43046  unitscyglem2  43070  irrapxlem1  43671  rmspecsqrtnq  43755  acongeq  43832  monoords  46138  fzisoeu  46141  fzdifsuc2  46151  infleinflem2  46208  unb2ltle  46251  limsupre3lem  46568  xlimxrre  46667  xlimmnfv  46670  iblspltprt  46809  itgspltprt  46815  stoweidlem11  46847  stoweidlem14  46850  fourierdlem11  46954  fourierdlem12  46955  fourierdlem15  46958  fourierdlem41  46984  fourierdlem48  46990  fourierdlem49  46991  fourierdlem50  46992  fourierdlem79  47021  ioorrnopnxrlem  47142  iundjiun  47296  chnsubseq  47716  m1modmmod  48260  lswn0  48352  bgoldbtbndlem4  48732  gpgedgvtx0  48985  logbpw2m1  49505