Theorem ltm1d 12146

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  1c1 11111   < clt 11248   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  suprzcl  12642  fzsuc2  13559  fzm1  13581  m1modnnsub1  13882  cshwidxm1  14757  fsumm1  15697  isumsplit  15786  climcndslem1  15795  bitsfzolem  16375  fldivp1  16830  4sqlem12  16889  ram0  16955  sylow1lem1  19466  dgreq0  25779  atanlogsublem  26420  birthdaylem3  26458  wilthlem1  26572  ftalem5  26581  basellem5  26589  lgsval2lem  26810  lgsqrlem2  26850  gausslemma2dlem0c  26861  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  pntrsumbnd2  27070  axlowdimlem16  28215  pthdlem1  29023  clwwlkel  29299  clwwlknonex2lem2  29361  xlt2addrd  31971  cycpmco2lem6  32290  cvmliftlem6  34281  cvmliftlem8  34283  cvmliftlem9  34284  cvmliftlem10  34285  bcprod  34708  iooelexlt  36243  poimirlem1  36489  poimirlem2  36490  poimirlem6  36494  poimirlem7  36495  poimirlem8  36496  poimirlem12  36500  poimirlem15  36503  poimirlem16  36504  poimirlem17  36505  poimirlem19  36507  poimirlem20  36508  poimirlem21  36509  poimirlem22  36510  poimirlem23  36511  poimirlem26  36514  mettrifi  36625  aks4d1p1  40941  sticksstones10  40971  sticksstones12a  40973  metakunt18  41002  metakunt20  41004  metakunt24  41008  irrapxlem1  41560  rmspecsqrtnq  41644  acongeq  41722  monoords  44007  fzisoeu  44010  fzdifsuc2  44020  infleinflem2  44081  unb2ltle  44125  limsupre3lem  44448  xlimxrre  44547  xlimmnfv  44550  iblspltprt  44689  itgspltprt  44695  stoweidlem11  44727  stoweidlem14  44730  fourierdlem11  44834  fourierdlem12  44835  fourierdlem15  44838  fourierdlem41  44864  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem50  44872  fourierdlem79  44901  ioorrnopnxrlem  45022  iundjiun  45176  lswn0  46112  bgoldbtbndlem4  46476  m1modmmod  47207  logbpw2m1  47253