Theorem ltm1d 12145

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12055	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  1c1 11110   < clt 11247   − cmin 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446

This theorem is referenced by:  suprzcl  12641  fzsuc2  13558  fzm1  13580  m1modnnsub1  13881  cshwidxm1  14756  fsumm1  15696  isumsplit  15785  climcndslem1  15794  bitsfzolem  16374  fldivp1  16829  4sqlem12  16888  ram0  16954  sylow1lem1  19465  dgreq0  25778  atanlogsublem  26417  birthdaylem3  26455  wilthlem1  26569  ftalem5  26578  basellem5  26586  lgsval2lem  26807  lgsqrlem2  26847  gausslemma2dlem0c  26858  lgsquadlem1  26880  lgsquadlem2  26881  pntrsumbnd2  27067  axlowdimlem16  28212  pthdlem1  29020  clwwlkel  29296  clwwlknonex2lem2  29358  xlt2addrd  31966  cycpmco2lem6  32285  cvmliftlem6  34276  cvmliftlem8  34278  cvmliftlem9  34279  cvmliftlem10  34280  bcprod  34703  iooelexlt  36238  poimirlem1  36484  poimirlem2  36485  poimirlem6  36489  poimirlem7  36490  poimirlem8  36491  poimirlem12  36495  poimirlem15  36498  poimirlem16  36499  poimirlem17  36500  poimirlem19  36502  poimirlem20  36503  poimirlem21  36504  poimirlem22  36505  poimirlem23  36506  poimirlem26  36509  mettrifi  36620  aks4d1p1  40936  sticksstones10  40966  sticksstones12a  40968  metakunt18  40997  metakunt20  40999  metakunt24  41003  irrapxlem1  41550  rmspecsqrtnq  41634  acongeq  41712  monoords  43997  fzisoeu  44000  fzdifsuc2  44010  infleinflem2  44071  unb2ltle  44115  limsupre3lem  44438  xlimxrre  44537  xlimmnfv  44540  iblspltprt  44679  itgspltprt  44685  stoweidlem11  44717  stoweidlem14  44720  fourierdlem11  44824  fourierdlem12  44825  fourierdlem15  44828  fourierdlem41  44854  fourierdlem48  44860  fourierdlem49  44861  fourierdlem50  44862  fourierdlem79  44891  ioorrnopnxrlem  45012  iundjiun  45166  lswn0  46102  bgoldbtbndlem4  46466  m1modmmod  47197  logbpw2m1  47243