Theorem ltm1d 11916

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11826	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  1c1 10881   < clt 11018   − cmin 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217

This theorem is referenced by:  suprzcl  12409  fzsuc2  13323  fzm1  13345  m1modnnsub1  13646  cshwidxm1  14529  fsumm1  15472  isumsplit  15561  climcndslem1  15570  bitsfzolem  16150  fldivp1  16607  4sqlem12  16666  ram0  16732  sylow1lem1  19212  dgreq0  25435  atanlogsublem  26074  birthdaylem3  26112  wilthlem1  26226  ftalem5  26235  basellem5  26243  lgsval2lem  26464  lgsqrlem2  26504  gausslemma2dlem0c  26515  lgsquadlem1  26537  lgsquadlem2  26538  pntrsumbnd2  26724  axlowdimlem16  27334  pthdlem1  28143  clwwlkel  28419  clwwlknonex2lem2  28481  xlt2addrd  31090  cycpmco2lem6  31407  cvmliftlem6  33261  cvmliftlem8  33263  cvmliftlem9  33264  cvmliftlem10  33265  bcprod  33713  iooelexlt  35542  poimirlem1  35787  poimirlem2  35788  poimirlem6  35792  poimirlem7  35793  poimirlem8  35794  poimirlem12  35798  poimirlem15  35801  poimirlem16  35802  poimirlem17  35803  poimirlem19  35805  poimirlem20  35806  poimirlem21  35807  poimirlem22  35808  poimirlem23  35809  poimirlem26  35812  mettrifi  35924  aks4d1p1  40091  sticksstones10  40118  sticksstones12a  40120  metakunt18  40149  metakunt20  40151  metakunt24  40155  irrapxlem1  40651  rmspecsqrtnq  40735  acongeq  40812  monoords  42843  fzisoeu  42846  fzdifsuc2  42856  infleinflem2  42917  unb2ltle  42962  limsupre3lem  43280  xlimxrre  43379  xlimmnfv  43382  iblspltprt  43521  itgspltprt  43527  stoweidlem11  43559  stoweidlem14  43562  fourierdlem11  43666  fourierdlem12  43667  fourierdlem15  43670  fourierdlem41  43696  fourierdlem48  43702  fourierdlem49  43703  fourierdlem50  43704  fourierdlem79  43733  ioorrnopnxrlem  43854  iundjiun  44005  lswn0  44907  bgoldbtbndlem4  45271  m1modmmod  45878  logbpw2m1  45924