Theorem ltm1d 12152

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12062	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  (class class class)co 7413  ℝcr 11113  1c1 11115   < clt 11254   − cmin 11450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453

This theorem is referenced by:  suprzcl  12648  fzsuc2  13565  fzm1  13587  m1modnnsub1  13888  cshwidxm1  14763  fsumm1  15703  isumsplit  15792  climcndslem1  15801  bitsfzolem  16381  fldivp1  16836  4sqlem12  16895  ram0  16961  sylow1lem1  19509  dgreq0  26013  atanlogsublem  26654  birthdaylem3  26692  wilthlem1  26806  ftalem5  26815  basellem5  26823  lgsval2lem  27044  lgsqrlem2  27084  gausslemma2dlem0c  27095  lgsquadlem1  27117  lgsquadlem2  27118  pntrsumbnd2  27304  axlowdimlem16  28480  pthdlem1  29288  clwwlkel  29564  clwwlknonex2lem2  29626  xlt2addrd  32236  cycpmco2lem6  32558  cvmliftlem6  34577  cvmliftlem8  34579  cvmliftlem9  34580  cvmliftlem10  34581  bcprod  35010  iooelexlt  36548  poimirlem1  36794  poimirlem2  36795  poimirlem6  36799  poimirlem7  36800  poimirlem8  36801  poimirlem12  36805  poimirlem15  36808  poimirlem16  36809  poimirlem17  36810  poimirlem19  36812  poimirlem20  36813  poimirlem21  36814  poimirlem22  36815  poimirlem23  36816  poimirlem26  36819  mettrifi  36930  aks4d1p1  41249  sticksstones10  41279  sticksstones12a  41281  metakunt18  41310  metakunt20  41312  metakunt24  41316  irrapxlem1  41864  rmspecsqrtnq  41948  acongeq  42026  monoords  44307  fzisoeu  44310  fzdifsuc2  44320  infleinflem2  44381  unb2ltle  44425  limsupre3lem  44748  xlimxrre  44847  xlimmnfv  44850  iblspltprt  44989  itgspltprt  44995  stoweidlem11  45027  stoweidlem14  45030  fourierdlem11  45134  fourierdlem12  45135  fourierdlem15  45138  fourierdlem41  45164  fourierdlem48  45170  fourierdlem49  45171  fourierdlem50  45172  fourierdlem79  45201  ioorrnopnxrlem  45322  iundjiun  45476  lswn0  46412  bgoldbtbndlem4  46776  m1modmmod  47296  logbpw2m1  47342