Theorem ltm1d 12091

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12000	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   < clt 11184   − cmin 11381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  suprzcl  12590  fzsuc2  13519  fzm1  13544  m1modnnsub1  13858  cshwidxm1  14748  fsumm1  15693  isumsplit  15782  climcndslem1  15791  bitsfzolem  16380  fldivp1  16844  4sqlem12  16903  ram0  16969  sylow1lem1  19504  dgreq0  26147  atanlogsublem  26801  birthdaylem3  26839  wilthlem1  26954  ftalem5  26963  basellem5  26971  lgsval2lem  27194  lgsqrlem2  27234  gausslemma2dlem0c  27245  lgsquadlem1  27267  lgsquadlem2  27268  pntrsumbnd2  27454  axlowdimlem16  28860  pthdlem1  29669  clwwlkel  29948  clwwlknonex2lem2  30010  xlt2addrd  32655  chnub  32911  cycpmco2lem6  33061  cvmliftlem6  35250  cvmliftlem8  35252  cvmliftlem9  35253  cvmliftlem10  35254  bcprod  35698  iooelexlt  37323  poimirlem1  37588  poimirlem2  37589  poimirlem6  37593  poimirlem7  37594  poimirlem8  37595  poimirlem12  37599  poimirlem15  37602  poimirlem16  37603  poimirlem17  37604  poimirlem19  37606  poimirlem20  37607  poimirlem21  37608  poimirlem22  37609  poimirlem23  37610  poimirlem26  37613  mettrifi  37724  aks4d1p1  42037  primrootlekpowne0  42066  sticksstones10  42116  sticksstones12a  42118  aks6d1c6lem3  42133  unitscyglem2  42157  irrapxlem1  42783  rmspecsqrtnq  42867  acongeq  42945  monoords  45268  fzisoeu  45271  fzdifsuc2  45281  infleinflem2  45340  unb2ltle  45384  limsupre3lem  45703  xlimxrre  45802  xlimmnfv  45805  iblspltprt  45944  itgspltprt  45950  stoweidlem11  45982  stoweidlem14  45985  fourierdlem11  46089  fourierdlem12  46090  fourierdlem15  46093  fourierdlem41  46119  fourierdlem48  46125  fourierdlem49  46126  fourierdlem50  46127  fourierdlem79  46156  ioorrnopnxrlem  46277  iundjiun  46431  m1modmmod  47332  lswn0  47418  bgoldbtbndlem4  47782  gpgedgvtx0  48025  logbpw2m1  48529