Theorem ltm1d 12074

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11983	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   < clt 11166   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  suprzcl  12572  fzsuc2  13498  fzm1  13523  m1modnnsub1  13840  cshwidxm1  14730  fsumm1  15674  isumsplit  15763  climcndslem1  15772  bitsfzolem  16361  fldivp1  16825  4sqlem12  16884  ram0  16950  chnub  18545  chnccat  18549  sylow1lem1  19527  dgreq0  26227  atanlogsublem  26881  birthdaylem3  26919  wilthlem1  27034  ftalem5  27043  basellem5  27051  lgsval2lem  27274  lgsqrlem2  27314  gausslemma2dlem0c  27325  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  pntrsumbnd2  27534  axlowdimlem16  29030  pthdlem1  29839  clwwlkel  30121  clwwlknonex2lem2  30183  xlt2addrd  32839  cycpmco2lem6  33213  cvmliftlem6  35484  cvmliftlem8  35486  cvmliftlem9  35487  cvmliftlem10  35488  bcprod  35932  iooelexlt  37567  poimirlem1  37822  poimirlem2  37823  poimirlem6  37827  poimirlem7  37828  poimirlem8  37829  poimirlem12  37833  poimirlem15  37836  poimirlem16  37837  poimirlem17  37838  poimirlem19  37840  poimirlem20  37841  poimirlem21  37842  poimirlem22  37843  poimirlem23  37844  poimirlem26  37847  mettrifi  37958  aks4d1p1  42330  primrootlekpowne0  42359  sticksstones10  42409  sticksstones12a  42411  aks6d1c6lem3  42426  unitscyglem2  42450  irrapxlem1  43064  rmspecsqrtnq  43148  acongeq  43225  monoords  45545  fzisoeu  45548  fzdifsuc2  45558  infleinflem2  45615  unb2ltle  45659  limsupre3lem  45976  xlimxrre  46075  xlimmnfv  46078  iblspltprt  46217  itgspltprt  46223  stoweidlem11  46255  stoweidlem14  46258  fourierdlem11  46362  fourierdlem12  46363  fourierdlem15  46366  fourierdlem41  46392  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem50  46400  fourierdlem79  46429  ioorrnopnxrlem  46550  iundjiun  46704  chnsubseq  47124  m1modmmod  47604  lswn0  47690  bgoldbtbndlem4  48054  gpgedgvtx0  48307  logbpw2m1  48813