MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltm1d 11246
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltm1d (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltm1 11153 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157   class class class wbr 4841  (class class class)co 6876  cr 10221  1c1 10223   < clt 10361  cmin 10554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557
This theorem is referenced by:  suprzcl  11743  fzsuc2  12648  fzm1  12670  m1modnnsub1  12967  cshwidxm1  13889  fsumm1  14818  isumsplit  14907  climcndslem1  14916  bitsfzolem  15488  fldivp1  15931  4sqlem12  15990  ram0  16056  sylow1lem1  18323  dgreq0  24359  atanlogsublem  24991  birthdaylem3  25029  wilthlem1  25143  ftalem5  25152  basellem5  25160  lgsval2lem  25381  lgsqrlem2  25421  gausslemma2dlem0c  25432  lgsquadlem1  25454  lgsquadlem2  25455  pntrsumbnd2  25605  axlowdimlem16  26186  pthdlem1  27012  clwwlkel  27347  clwwlknonex2lem2  27440  xlt2addrd  30033  cvmliftlem6  31781  cvmliftlem8  31783  cvmliftlem9  31784  cvmliftlem10  31785  bcprod  32130  iooelexlt  33700  poimirlem1  33891  poimirlem2  33892  poimirlem6  33896  poimirlem7  33897  poimirlem8  33898  poimirlem12  33902  poimirlem15  33905  poimirlem16  33906  poimirlem17  33907  poimirlem19  33909  poimirlem20  33910  poimirlem21  33911  poimirlem22  33912  poimirlem23  33913  poimirlem26  33916  mettrifi  34032  irrapxlem1  38160  rmspecsqrtnq  38244  acongeq  38323  monoords  40244  fzisoeu  40247  fzdifsuc2  40257  infleinflem2  40319  unb2ltle  40373  limsupre3lem  40696  xlimxrre  40789  xlimmnfv  40792  iblspltprt  40920  itgspltprt  40926  stoweidlem11  40959  stoweidlem14  40962  fourierdlem11  41066  fourierdlem12  41067  fourierdlem15  41070  fourierdlem41  41096  fourierdlem48  41102  fourierdlem49  41103  fourierdlem50  41104  fourierdlem79  41133  ioorrnopnxrlem  41257  iundjiun  41408  lswn0  42208  bgoldbtbndlem4  42466  m1modmmod  43103  logbpw2m1  43148
  Copyright terms: Public domain W3C validator