MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltm1d 12095
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltm1d (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltm1 12005 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  cr 11058  1c1 11060   < clt 11197  cmin 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  suprzcl  12591  fzsuc2  13508  fzm1  13530  m1modnnsub1  13831  cshwidxm1  14704  fsumm1  15644  isumsplit  15733  climcndslem1  15742  bitsfzolem  16322  fldivp1  16777  4sqlem12  16836  ram0  16902  sylow1lem1  19388  dgreq0  25649  atanlogsublem  26288  birthdaylem3  26326  wilthlem1  26440  ftalem5  26449  basellem5  26457  lgsval2lem  26678  lgsqrlem2  26718  gausslemma2dlem0c  26729  lgsquadlem1  26751  lgsquadlem2  26752  pntrsumbnd2  26938  axlowdimlem16  27955  pthdlem1  28763  clwwlkel  29039  clwwlknonex2lem2  29101  xlt2addrd  31717  cycpmco2lem6  32036  cvmliftlem6  33948  cvmliftlem8  33950  cvmliftlem9  33951  cvmliftlem10  33952  bcprod  34374  iooelexlt  35883  poimirlem1  36129  poimirlem2  36130  poimirlem6  36134  poimirlem7  36135  poimirlem8  36136  poimirlem12  36140  poimirlem15  36143  poimirlem16  36144  poimirlem17  36145  poimirlem19  36147  poimirlem20  36148  poimirlem21  36149  poimirlem22  36150  poimirlem23  36151  poimirlem26  36154  mettrifi  36266  aks4d1p1  40583  sticksstones10  40613  sticksstones12a  40615  metakunt18  40644  metakunt20  40646  metakunt24  40650  irrapxlem1  41192  rmspecsqrtnq  41276  acongeq  41354  monoords  43622  fzisoeu  43625  fzdifsuc2  43635  infleinflem2  43696  unb2ltle  43740  limsupre3lem  44063  xlimxrre  44162  xlimmnfv  44165  iblspltprt  44304  itgspltprt  44310  stoweidlem11  44342  stoweidlem14  44345  fourierdlem11  44449  fourierdlem12  44450  fourierdlem15  44453  fourierdlem41  44479  fourierdlem48  44485  fourierdlem49  44486  fourierdlem50  44487  fourierdlem79  44516  ioorrnopnxrlem  44637  iundjiun  44791  lswn0  45726  bgoldbtbndlem4  46090  m1modmmod  46697  logbpw2m1  46743
  Copyright terms: Public domain W3C validator