Theorem ltm1d 12279

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12189	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  1c1 11231   < clt 11373   − cmin 11571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574

This theorem is used by:  suprzcl  12809  fzsuc2  13746  fzm1  13771  m1modnnsub1  14090  cshwidxm1  14989  fsumm1  15949  isumsplit  16041  climcndslem1  16050  bitsfzolem  16636  fldivp1  17107  4sqlem12  17166  ram0  17232  chnub  18828  chnccat  18832  sylow1lem1  19845  dgreq0  26617  atanlogsublem  27276  birthdaylem3  27314  wilthlem1  27428  ftalem5  27437  basellem5  27445  lgsval2lem  27667  lgsqrlem2  27707  gausslemma2dlem0c  27718  lgsquadlem1  27740  lgsquadlem2  27741  pntrsumbnd2  27927  axlowdimlem16  29568  pthdlem1  30385  clwwlkel  30670  clwwlknonex2lem2  30732  xlt2addrd  33424  cycpmco2lem6  33768  cvmliftlem6  36235  cvmliftlem8  36237  cvmliftlem9  36238  cvmliftlem10  36239  bcprod  36694  iooelexlt  38490  poimirlem1  38744  poimirlem2  38745  poimirlem6  38749  poimirlem7  38750  poimirlem8  38751  poimirlem12  38755  poimirlem15  38758  poimirlem16  38759  poimirlem17  38760  poimirlem19  38762  poimirlem20  38763  poimirlem21  38764  poimirlem22  38765  poimirlem23  38766  poimirlem26  38769  mettrifi  38894  aks4d1p1  43329  primrootlekpowne0  43358  sticksstones10  43408  sticksstones12a  43410  aks6d1c6lem3  43425  unitscyglem2  43449  irrapxlem1  44033  rmspecsqrtnq  44117  acongeq  44194  monoords  46528  fzisoeu  46531  fzdifsuc2  46541  infleinflem2  46597  unb2ltle  46640  limsupre3lem  46957  xlimxrre  47056  xlimmnfv  47059  iblspltprt  47198  itgspltprt  47204  stoweidlem11  47236  stoweidlem14  47239  fourierdlem11  47343  fourierdlem12  47344  fourierdlem15  47347  fourierdlem41  47373  fourierdlem48  47379  fourierdlem49  47380  fourierdlem50  47381  fourierdlem79  47410  ioorrnopnxrlem  47531  iundjiun  47685  chnsubseq  48105  m1modmmod  48649  lswn0  48741  bgoldbtbndlem4  49121  gpgedgvtx0  49374  logbpw2m1  49894