Theorem ltm1d 12230

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  1c1 11182   < clt 11324   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525

This theorem is used by:  suprzcl  12760  fzsuc2  13696  fzm1  13721  m1modnnsub1  14040  cshwidxm1  14938  fsumm1  15897  isumsplit  15989  climcndslem1  15998  bitsfzolem  16584  fldivp1  17055  4sqlem12  17114  ram0  17180  chnub  18776  chnccat  18780  sylow1lem1  19792  dgreq0  26564  atanlogsublem  27225  birthdaylem3  27263  wilthlem1  27377  ftalem5  27386  basellem5  27394  lgsval2lem  27616  lgsqrlem2  27656  gausslemma2dlem0c  27667  lgsquadlem1  27689  lgsquadlem2  27690  pntrsumbnd2  27876  axlowdimlem16  29517  pthdlem1  30334  clwwlkel  30619  clwwlknonex2lem2  30681  xlt2addrd  33333  cycpmco2lem6  33674  cvmliftlem6  36024  cvmliftlem8  36026  cvmliftlem9  36027  cvmliftlem10  36028  bcprod  36472  iooelexlt  38253  poimirlem1  38507  poimirlem2  38508  poimirlem6  38512  poimirlem7  38513  poimirlem8  38514  poimirlem12  38518  poimirlem15  38521  poimirlem16  38522  poimirlem17  38523  poimirlem19  38525  poimirlem20  38526  poimirlem21  38527  poimirlem22  38528  poimirlem23  38529  poimirlem26  38532  mettrifi  38659  aks4d1p1  43094  primrootlekpowne0  43123  sticksstones10  43173  sticksstones12a  43175  aks6d1c6lem3  43190  unitscyglem2  43214  irrapxlem1  43782  rmspecsqrtnq  43866  acongeq  43943  monoords  46256  fzisoeu  46259  fzdifsuc2  46269  infleinflem2  46326  unb2ltle  46369  limsupre3lem  46686  xlimxrre  46785  xlimmnfv  46788  iblspltprt  46927  itgspltprt  46933  stoweidlem11  46965  stoweidlem14  46968  fourierdlem11  47072  fourierdlem12  47073  fourierdlem15  47076  fourierdlem41  47102  fourierdlem48  47108  fourierdlem49  47109  fourierdlem50  47110  fourierdlem79  47139  ioorrnopnxrlem  47260  iundjiun  47414  chnsubseq  47834  m1modmmod  48378  lswn0  48470  bgoldbtbndlem4  48850  gpgedgvtx0  49103  logbpw2m1  49623