Theorem ltm1d 12122

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12031	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   < clt 11215   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  suprzcl  12621  fzsuc2  13550  fzm1  13575  m1modnnsub1  13889  cshwidxm1  14779  fsumm1  15724  isumsplit  15813  climcndslem1  15822  bitsfzolem  16411  fldivp1  16875  4sqlem12  16934  ram0  17000  sylow1lem1  19535  dgreq0  26178  atanlogsublem  26832  birthdaylem3  26870  wilthlem1  26985  ftalem5  26994  basellem5  27002  lgsval2lem  27225  lgsqrlem2  27265  gausslemma2dlem0c  27276  lgsquadlem1  27298  lgsquadlem2  27299  pntrsumbnd2  27485  axlowdimlem16  28891  pthdlem1  29703  clwwlkel  29982  clwwlknonex2lem2  30044  xlt2addrd  32689  chnub  32945  cycpmco2lem6  33095  cvmliftlem6  35284  cvmliftlem8  35286  cvmliftlem9  35287  cvmliftlem10  35288  bcprod  35732  iooelexlt  37357  poimirlem1  37622  poimirlem2  37623  poimirlem6  37627  poimirlem7  37628  poimirlem8  37629  poimirlem12  37633  poimirlem15  37636  poimirlem16  37637  poimirlem17  37638  poimirlem19  37640  poimirlem20  37641  poimirlem21  37642  poimirlem22  37643  poimirlem23  37644  poimirlem26  37647  mettrifi  37758  aks4d1p1  42071  primrootlekpowne0  42100  sticksstones10  42150  sticksstones12a  42152  aks6d1c6lem3  42167  unitscyglem2  42191  irrapxlem1  42817  rmspecsqrtnq  42901  acongeq  42979  monoords  45302  fzisoeu  45305  fzdifsuc2  45315  infleinflem2  45374  unb2ltle  45418  limsupre3lem  45737  xlimxrre  45836  xlimmnfv  45839  iblspltprt  45978  itgspltprt  45984  stoweidlem11  46016  stoweidlem14  46019  fourierdlem11  46123  fourierdlem12  46124  fourierdlem15  46127  fourierdlem41  46153  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem50  46161  fourierdlem79  46190  ioorrnopnxrlem  46311  iundjiun  46465  m1modmmod  47363  lswn0  47449  bgoldbtbndlem4  47813  gpgedgvtx0  48056  logbpw2m1  48560