Theorem ltm1d 12197

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12106	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  1c1 11153   < clt 11292   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  suprzcl  12695  fzsuc2  13618  fzm1  13643  m1modnnsub1  13954  cshwidxm1  14841  fsumm1  15783  isumsplit  15872  climcndslem1  15881  bitsfzolem  16467  fldivp1  16930  4sqlem12  16989  ram0  17055  sylow1lem1  19630  dgreq0  26319  atanlogsublem  26972  birthdaylem3  27010  wilthlem1  27125  ftalem5  27134  basellem5  27142  lgsval2lem  27365  lgsqrlem2  27405  gausslemma2dlem0c  27416  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  pntrsumbnd2  27625  axlowdimlem16  28986  pthdlem1  29798  clwwlkel  30074  clwwlknonex2lem2  30136  xlt2addrd  32768  chnub  32985  cycpmco2lem6  33133  cvmliftlem6  35274  cvmliftlem8  35276  cvmliftlem9  35277  cvmliftlem10  35278  bcprod  35717  iooelexlt  37344  poimirlem1  37607  poimirlem2  37608  poimirlem6  37612  poimirlem7  37613  poimirlem8  37614  poimirlem12  37618  poimirlem15  37621  poimirlem16  37622  poimirlem17  37623  poimirlem19  37625  poimirlem20  37626  poimirlem21  37627  poimirlem22  37628  poimirlem23  37629  poimirlem26  37632  mettrifi  37743  aks4d1p1  42057  primrootlekpowne0  42086  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  aks6d1c6lem3  42153  unitscyglem2  42177  metakunt18  42203  metakunt20  42205  metakunt24  42209  irrapxlem1  42809  rmspecsqrtnq  42893  acongeq  42971  monoords  45247  fzisoeu  45250  fzdifsuc2  45260  infleinflem2  45320  unb2ltle  45364  limsupre3lem  45687  xlimxrre  45786  xlimmnfv  45789  iblspltprt  45928  itgspltprt  45934  stoweidlem11  45966  stoweidlem14  45969  fourierdlem11  46073  fourierdlem12  46074  fourierdlem15  46077  fourierdlem41  46103  fourierdlem48  46109  fourierdlem49  46110  fourierdlem50  46111  fourierdlem79  46140  ioorrnopnxrlem  46261  iundjiun  46415  lswn0  47368  bgoldbtbndlem4  47732  gpgedgvtx0  47953  m1modmmod  48370  logbpw2m1  48416