Theorem ltm1d 12119

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12028	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7390  ℝcr 11067  1c1 11069   < clt 11211   − cmin 11409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412

This theorem is referenced by:  suprzcl  12648  fzsuc2  13582  fzm1  13607  m1modnnsub1  13925  cshwidxm1  14815  fsumm1  15759  isumsplit  15851  climcndslem1  15860  bitsfzolem  16449  fldivp1  16914  4sqlem12  16973  ram0  17039  chnub  18635  chnccat  18639  sylow1lem1  19619  dgreq0  26303  atanlogsublem  26955  birthdaylem3  26993  wilthlem1  27107  ftalem5  27116  basellem5  27124  lgsval2lem  27346  lgsqrlem2  27386  gausslemma2dlem0c  27397  lgsquadlem1  27419  lgsquadlem2  27420  pntrsumbnd2  27606  axlowdimlem16  29102  pthdlem1  29910  clwwlkel  30192  clwwlknonex2lem2  30254  xlt2addrd  32909  cycpmco2lem6  33270  cvmliftlem6  35593  cvmliftlem8  35595  cvmliftlem9  35596  cvmliftlem10  35597  bcprod  36041  iooelexlt  37809  poimirlem1  38073  poimirlem2  38074  poimirlem6  38078  poimirlem7  38079  poimirlem8  38080  poimirlem12  38084  poimirlem15  38087  poimirlem16  38088  poimirlem17  38089  poimirlem19  38091  poimirlem20  38092  poimirlem21  38093  poimirlem22  38094  poimirlem23  38095  poimirlem26  38098  mettrifi  38209  aks4d1p1  42646  primrootlekpowne0  42675  sticksstones10  42725  sticksstones12a  42727  aks6d1c6lem3  42742  unitscyglem2  42766  irrapxlem1  43352  rmspecsqrtnq  43436  acongeq  43513  monoords  45829  fzisoeu  45832  fzdifsuc2  45842  infleinflem2  45899  unb2ltle  45942  limsupre3lem  46259  xlimxrre  46358  xlimmnfv  46361  iblspltprt  46500  itgspltprt  46506  stoweidlem11  46538  stoweidlem14  46541  fourierdlem11  46645  fourierdlem12  46646  fourierdlem15  46649  fourierdlem41  46675  fourierdlem48  46681  fourierdlem49  46682  fourierdlem50  46683  fourierdlem79  46712  ioorrnopnxrlem  46833  iundjiun  46987  chnsubseq  47409  m1modmmod  47911  lswn0  48003  bgoldbtbndlem4  48383  gpgedgvtx0  48636  logbpw2m1  49142