Theorem ltm1d 12148

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12058	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  1c1 11102   < clt 11244   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  suprzcl  12677  fzsuc2  13612  fzm1  13637  m1modnnsub1  13955  cshwidxm1  14846  fsumm1  15804  isumsplit  15896  climcndslem1  15905  bitsfzolem  16493  fldivp1  16958  4sqlem12  17017  ram0  17083  chnub  18679  chnccat  18683  sylow1lem1  19669  dgreq0  26403  atanlogsublem  27061  birthdaylem3  27099  wilthlem1  27213  ftalem5  27222  basellem5  27230  lgsval2lem  27452  lgsqrlem2  27492  gausslemma2dlem0c  27503  lgsquadlem1  27525  lgsquadlem2  27526  pntrsumbnd2  27712  axlowdimlem16  29288  pthdlem1  30096  clwwlkel  30378  clwwlknonex2lem2  30440  xlt2addrd  33085  cycpmco2lem6  33432  cvmliftlem6  35763  cvmliftlem8  35765  cvmliftlem9  35766  cvmliftlem10  35767  bcprod  36211  iooelexlt  37989  poimirlem1  38253  poimirlem2  38254  poimirlem6  38258  poimirlem7  38259  poimirlem8  38260  poimirlem12  38264  poimirlem15  38267  poimirlem16  38268  poimirlem17  38269  poimirlem19  38271  poimirlem20  38272  poimirlem21  38273  poimirlem22  38274  poimirlem23  38275  poimirlem26  38278  mettrifi  38389  aks4d1p1  42824  primrootlekpowne0  42853  sticksstones10  42903  sticksstones12a  42905  aks6d1c6lem3  42920  unitscyglem2  42944  irrapxlem1  43532  rmspecsqrtnq  43616  acongeq  43693  monoords  45999  fzisoeu  46002  fzdifsuc2  46012  infleinflem2  46069  unb2ltle  46112  limsupre3lem  46429  xlimxrre  46528  xlimmnfv  46531  iblspltprt  46670  itgspltprt  46676  stoweidlem11  46708  stoweidlem14  46711  fourierdlem11  46815  fourierdlem12  46816  fourierdlem15  46819  fourierdlem41  46845  fourierdlem48  46851  fourierdlem49  46852  fourierdlem50  46853  fourierdlem79  46882  ioorrnopnxrlem  47003  iundjiun  47157  chnsubseq  47579  m1modmmod  48084  lswn0  48176  bgoldbtbndlem4  48556  gpgedgvtx0  48809  logbpw2m1  49330