Theorem ltm1d 11285

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11192	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4872  (class class class)co 6904  ℝcr 10250  1c1 10252   < clt 10390   − cmin 10584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587

This theorem is referenced by:  suprzcl  11784  fzsuc2  12691  fzm1  12713  m1modnnsub1  13010  cshwidxm1  13927  fsumm1  14856  isumsplit  14945  climcndslem1  14954  bitsfzolem  15528  fldivp1  15971  4sqlem12  16030  ram0  16096  sylow1lem1  18363  dgreq0  24419  atanlogsublem  25054  birthdaylem3  25092  wilthlem1  25206  ftalem5  25215  basellem5  25223  lgsval2lem  25444  lgsqrlem2  25484  gausslemma2dlem0c  25495  lgsquadlem1  25517  lgsquadlem2  25518  pntrsumbnd2  25668  axlowdimlem16  26255  pthdlem1  27067  clwwlkel  27390  clwwlknonex2lem2  27482  xlt2addrd  30069  cvmliftlem6  31817  cvmliftlem8  31819  cvmliftlem9  31820  cvmliftlem10  31821  bcprod  32165  iooelexlt  33754  poimirlem1  33953  poimirlem2  33954  poimirlem6  33958  poimirlem7  33959  poimirlem8  33960  poimirlem12  33964  poimirlem15  33967  poimirlem16  33968  poimirlem17  33969  poimirlem19  33971  poimirlem20  33972  poimirlem21  33973  poimirlem22  33974  poimirlem23  33975  poimirlem26  33978  mettrifi  34094  irrapxlem1  38229  rmspecsqrtnq  38313  acongeq  38392  monoords  40308  fzisoeu  40311  fzdifsuc2  40321  infleinflem2  40383  unb2ltle  40436  limsupre3lem  40758  xlimxrre  40851  xlimmnfv  40854  iblspltprt  40982  itgspltprt  40988  stoweidlem11  41021  stoweidlem14  41024  fourierdlem11  41128  fourierdlem12  41129  fourierdlem15  41132  fourierdlem41  41158  fourierdlem48  41164  fourierdlem49  41165  fourierdlem50  41166  fourierdlem79  41195  ioorrnopnxrlem  41316  iundjiun  41467  lswn0  42267  bgoldbtbndlem4  42525  m1modmmod  43162  logbpw2m1  43207