Theorem ltm1d 12200

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12109	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   < clt 11295   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  suprzcl  12698  fzsuc2  13622  fzm1  13647  m1modnnsub1  13958  cshwidxm1  14845  fsumm1  15787  isumsplit  15876  climcndslem1  15885  bitsfzolem  16471  fldivp1  16935  4sqlem12  16994  ram0  17060  sylow1lem1  19616  dgreq0  26305  atanlogsublem  26958  birthdaylem3  26996  wilthlem1  27111  ftalem5  27120  basellem5  27128  lgsval2lem  27351  lgsqrlem2  27391  gausslemma2dlem0c  27402  lgsquadlem1  27424  lgsquadlem2  27425  pntrsumbnd2  27611  axlowdimlem16  28972  pthdlem1  29786  clwwlkel  30065  clwwlknonex2lem2  30127  xlt2addrd  32762  chnub  33002  cycpmco2lem6  33151  cvmliftlem6  35295  cvmliftlem8  35297  cvmliftlem9  35298  cvmliftlem10  35299  bcprod  35738  iooelexlt  37363  poimirlem1  37628  poimirlem2  37629  poimirlem6  37633  poimirlem7  37634  poimirlem8  37635  poimirlem12  37639  poimirlem15  37642  poimirlem16  37643  poimirlem17  37644  poimirlem19  37646  poimirlem20  37647  poimirlem21  37648  poimirlem22  37649  poimirlem23  37650  poimirlem26  37653  mettrifi  37764  aks4d1p1  42077  primrootlekpowne0  42106  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  aks6d1c6lem3  42173  unitscyglem2  42197  metakunt18  42223  metakunt20  42225  metakunt24  42229  irrapxlem1  42833  rmspecsqrtnq  42917  acongeq  42995  monoords  45309  fzisoeu  45312  fzdifsuc2  45322  infleinflem2  45382  unb2ltle  45426  limsupre3lem  45747  xlimxrre  45846  xlimmnfv  45849  iblspltprt  45988  itgspltprt  45994  stoweidlem11  46026  stoweidlem14  46029  fourierdlem11  46133  fourierdlem12  46134  fourierdlem15  46137  fourierdlem41  46163  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem50  46171  fourierdlem79  46200  ioorrnopnxrlem  46321  iundjiun  46475  lswn0  47431  bgoldbtbndlem4  47795  gpgedgvtx0  48019  m1modmmod  48442  logbpw2m1  48488