Theorem ltm1d 12088

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11997	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   < clt 11179   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  suprzcl  12609  fzsuc2  13536  fzm1  13561  m1modnnsub1  13879  cshwidxm1  14769  fsumm1  15713  isumsplit  15805  climcndslem1  15814  bitsfzolem  16403  fldivp1  16868  4sqlem12  16927  ram0  16993  chnub  18588  chnccat  18592  sylow1lem1  19573  dgreq0  26230  atanlogsublem  26879  birthdaylem3  26917  wilthlem1  27031  ftalem5  27040  basellem5  27048  lgsval2lem  27270  lgsqrlem2  27310  gausslemma2dlem0c  27321  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  pntrsumbnd2  27530  axlowdimlem16  29026  pthdlem1  29834  clwwlkel  30116  clwwlknonex2lem2  30178  xlt2addrd  32832  cycpmco2lem6  33192  cvmliftlem6  35472  cvmliftlem8  35474  cvmliftlem9  35475  cvmliftlem10  35476  bcprod  35920  iooelexlt  37678  poimirlem1  37942  poimirlem2  37943  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem8  37949  poimirlem12  37953  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem21  37962  poimirlem22  37963  poimirlem23  37964  poimirlem26  37967  mettrifi  38078  aks4d1p1  42515  primrootlekpowne0  42544  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  aks6d1c6lem3  42611  unitscyglem2  42635  irrapxlem1  43250  rmspecsqrtnq  43334  acongeq  43411  monoords  45730  fzisoeu  45733  fzdifsuc2  45743  infleinflem2  45800  unb2ltle  45843  limsupre3lem  46160  xlimxrre  46259  xlimmnfv  46262  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  stoweidlem11  46439  stoweidlem14  46442  fourierdlem11  46546  fourierdlem12  46547  fourierdlem15  46550  fourierdlem41  46576  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem50  46584  fourierdlem79  46613  ioorrnopnxrlem  46734  iundjiun  46888  chnsubseq  47310  m1modmmod  47812  lswn0  47904  bgoldbtbndlem4  48284  gpgedgvtx0  48537  logbpw2m1  49043