Theorem ltm1d 12075

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11984	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  1c1 11029   < clt 11168   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by:  suprzcl  12574  fzsuc2  13503  fzm1  13528  m1modnnsub1  13842  cshwidxm1  14731  fsumm1  15676  isumsplit  15765  climcndslem1  15774  bitsfzolem  16363  fldivp1  16827  4sqlem12  16886  ram0  16952  sylow1lem1  19495  dgreq0  26187  atanlogsublem  26841  birthdaylem3  26879  wilthlem1  26994  ftalem5  27003  basellem5  27011  lgsval2lem  27234  lgsqrlem2  27274  gausslemma2dlem0c  27285  lgsquadlem1  27307  lgsquadlem2  27308  pntrsumbnd2  27494  axlowdimlem16  28920  pthdlem1  29729  clwwlkel  30008  clwwlknonex2lem2  30070  xlt2addrd  32715  chnub  32967  cycpmco2lem6  33086  cvmliftlem6  35265  cvmliftlem8  35267  cvmliftlem9  35268  cvmliftlem10  35269  bcprod  35713  iooelexlt  37338  poimirlem1  37603  poimirlem2  37604  poimirlem6  37608  poimirlem7  37609  poimirlem8  37610  poimirlem12  37614  poimirlem15  37617  poimirlem16  37618  poimirlem17  37619  poimirlem19  37621  poimirlem20  37622  poimirlem21  37623  poimirlem22  37624  poimirlem23  37625  poimirlem26  37628  mettrifi  37739  aks4d1p1  42052  primrootlekpowne0  42081  sticksstones10  42131  sticksstones12a  42133  aks6d1c6lem3  42148  unitscyglem2  42172  irrapxlem1  42798  rmspecsqrtnq  42882  acongeq  42959  monoords  45282  fzisoeu  45285  fzdifsuc2  45295  infleinflem2  45354  unb2ltle  45398  limsupre3lem  45717  xlimxrre  45816  xlimmnfv  45819  iblspltprt  45958  itgspltprt  45964  stoweidlem11  45996  stoweidlem14  45999  fourierdlem11  46103  fourierdlem12  46104  fourierdlem15  46107  fourierdlem41  46133  fourierdlem48  46139  fourierdlem49  46140  fourierdlem50  46141  fourierdlem79  46170  ioorrnopnxrlem  46291  iundjiun  46445  m1modmmod  47346  lswn0  47432  bgoldbtbndlem4  47796  gpgedgvtx0  48049  logbpw2m1  48556