Theorem ltm1d 11837

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11747	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   < clt 10940   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  suprzcl  12330  fzsuc2  13243  fzm1  13265  m1modnnsub1  13565  cshwidxm1  14448  fsumm1  15391  isumsplit  15480  climcndslem1  15489  bitsfzolem  16069  fldivp1  16526  4sqlem12  16585  ram0  16651  sylow1lem1  19118  dgreq0  25331  atanlogsublem  25970  birthdaylem3  26008  wilthlem1  26122  ftalem5  26131  basellem5  26139  lgsval2lem  26360  lgsqrlem2  26400  gausslemma2dlem0c  26411  lgsquadlem1  26433  lgsquadlem2  26434  pntrsumbnd2  26620  axlowdimlem16  27228  pthdlem1  28035  clwwlkel  28311  clwwlknonex2lem2  28373  xlt2addrd  30983  cycpmco2lem6  31300  cvmliftlem6  33152  cvmliftlem8  33154  cvmliftlem9  33155  cvmliftlem10  33156  bcprod  33610  iooelexlt  35460  poimirlem1  35705  poimirlem2  35706  poimirlem6  35710  poimirlem7  35711  poimirlem8  35712  poimirlem12  35716  poimirlem15  35719  poimirlem16  35720  poimirlem17  35721  poimirlem19  35723  poimirlem20  35724  poimirlem21  35725  poimirlem22  35726  poimirlem23  35727  poimirlem26  35730  mettrifi  35842  aks4d1p1  40012  sticksstones10  40039  sticksstones12a  40041  metakunt18  40070  metakunt20  40072  metakunt24  40076  irrapxlem1  40560  rmspecsqrtnq  40644  acongeq  40721  monoords  42726  fzisoeu  42729  fzdifsuc2  42739  infleinflem2  42800  unb2ltle  42845  limsupre3lem  43163  xlimxrre  43262  xlimmnfv  43265  iblspltprt  43404  itgspltprt  43410  stoweidlem11  43442  stoweidlem14  43445  fourierdlem11  43549  fourierdlem12  43550  fourierdlem15  43553  fourierdlem41  43579  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem50  43587  fourierdlem79  43616  ioorrnopnxrlem  43737  iundjiun  43888  lswn0  44784  bgoldbtbndlem4  45148  m1modmmod  45755  logbpw2m1  45801