Theorem ltm1d 12253

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  1c1 11205   < clt 11347   − cmin 11545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  suprzcl  12783  fzsuc2  13720  fzm1  13745  m1modnnsub1  14064  cshwidxm1  14963  fsumm1  15923  isumsplit  16015  climcndslem1  16024  bitsfzolem  16610  fldivp1  17081  4sqlem12  17140  ram0  17206  chnub  18802  chnccat  18806  sylow1lem1  19818  dgreq0  26590  atanlogsublem  27249  birthdaylem3  27287  wilthlem1  27401  ftalem5  27410  basellem5  27418  lgsval2lem  27640  lgsqrlem2  27680  gausslemma2dlem0c  27691  lgsquadlem1  27713  lgsquadlem2  27714  pntrsumbnd2  27900  axlowdimlem16  29541  pthdlem1  30358  clwwlkel  30643  clwwlknonex2lem2  30705  xlt2addrd  33398  cycpmco2lem6  33739  cvmliftlem6  36142  cvmliftlem8  36144  cvmliftlem9  36145  cvmliftlem10  36146  bcprod  36596  iooelexlt  38379  poimirlem1  38633  poimirlem2  38634  poimirlem6  38638  poimirlem7  38639  poimirlem8  38640  poimirlem12  38644  poimirlem15  38647  poimirlem16  38648  poimirlem17  38649  poimirlem19  38651  poimirlem20  38652  poimirlem21  38653  poimirlem22  38654  poimirlem23  38655  poimirlem26  38658  mettrifi  38785  aks4d1p1  43220  primrootlekpowne0  43249  sticksstones10  43299  sticksstones12a  43301  aks6d1c6lem3  43316  unitscyglem2  43340  irrapxlem1  43923  rmspecsqrtnq  44007  acongeq  44084  monoords  46407  fzisoeu  46410  fzdifsuc2  46420  infleinflem2  46476  unb2ltle  46519  limsupre3lem  46836  xlimxrre  46935  xlimmnfv  46938  iblspltprt  47077  itgspltprt  47083  stoweidlem11  47115  stoweidlem14  47118  fourierdlem11  47222  fourierdlem12  47223  fourierdlem15  47226  fourierdlem41  47252  fourierdlem48  47258  fourierdlem49  47259  fourierdlem50  47260  fourierdlem79  47289  ioorrnopnxrlem  47410  iundjiun  47564  chnsubseq  47984  m1modmmod  48528  lswn0  48620  bgoldbtbndlem4  49000  gpgedgvtx0  49253  logbpw2m1  49773