Theorem ltm1d 12086

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11995	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   < clt 11178   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  suprzcl  12584  fzsuc2  13510  fzm1  13535  m1modnnsub1  13852  cshwidxm1  14742  fsumm1  15686  isumsplit  15775  climcndslem1  15784  bitsfzolem  16373  fldivp1  16837  4sqlem12  16896  ram0  16962  chnub  18557  chnccat  18561  sylow1lem1  19539  dgreq0  26239  atanlogsublem  26893  birthdaylem3  26931  wilthlem1  27046  ftalem5  27055  basellem5  27063  lgsval2lem  27286  lgsqrlem2  27326  gausslemma2dlem0c  27337  lgsquadlem1  27359  lgsquadlem2  27360  pntrsumbnd2  27546  axlowdimlem16  29042  pthdlem1  29851  clwwlkel  30133  clwwlknonex2lem2  30195  xlt2addrd  32849  cycpmco2lem6  33224  cvmliftlem6  35503  cvmliftlem8  35505  cvmliftlem9  35506  cvmliftlem10  35507  bcprod  35951  iooelexlt  37614  poimirlem1  37869  poimirlem2  37870  poimirlem6  37874  poimirlem7  37875  poimirlem8  37876  poimirlem12  37880  poimirlem15  37883  poimirlem16  37884  poimirlem17  37885  poimirlem19  37887  poimirlem20  37888  poimirlem21  37889  poimirlem22  37890  poimirlem23  37891  poimirlem26  37894  mettrifi  38005  aks4d1p1  42443  primrootlekpowne0  42472  sticksstones10  42522  sticksstones12a  42524  aks6d1c6lem3  42539  unitscyglem2  42563  irrapxlem1  43176  rmspecsqrtnq  43260  acongeq  43337  monoords  45656  fzisoeu  45659  fzdifsuc2  45669  infleinflem2  45726  unb2ltle  45770  limsupre3lem  46087  xlimxrre  46186  xlimmnfv  46189  iblspltprt  46328  itgspltprt  46334  stoweidlem11  46366  stoweidlem14  46369  fourierdlem11  46473  fourierdlem12  46474  fourierdlem15  46477  fourierdlem41  46503  fourierdlem48  46509  fourierdlem49  46510  fourierdlem50  46511  fourierdlem79  46540  ioorrnopnxrlem  46661  iundjiun  46815  chnsubseq  47235  m1modmmod  47715  lswn0  47801  bgoldbtbndlem4  48165  gpgedgvtx0  48418  logbpw2m1  48924