Theorem ltm1d 12135

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12045	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  1c1 11089   < clt 11231   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432

This theorem is referenced by:  suprzcl  12664  fzsuc2  13598  fzm1  13623  m1modnnsub1  13941  cshwidxm1  14832  fsumm1  15790  isumsplit  15882  climcndslem1  15891  bitsfzolem  16480  fldivp1  16945  4sqlem12  17004  ram0  17070  chnub  18666  chnccat  18670  sylow1lem1  19656  dgreq0  26379  atanlogsublem  27034  birthdaylem3  27072  wilthlem1  27186  ftalem5  27195  basellem5  27203  lgsval2lem  27425  lgsqrlem2  27465  gausslemma2dlem0c  27476  lgsquadlem1  27498  lgsquadlem2  27499  pntrsumbnd2  27685  axlowdimlem16  29212  pthdlem1  30020  clwwlkel  30302  clwwlknonex2lem2  30364  xlt2addrd  33012  cycpmco2lem6  33359  cvmliftlem6  35648  cvmliftlem8  35650  cvmliftlem9  35651  cvmliftlem10  35652  bcprod  36096  iooelexlt  37863  poimirlem1  38127  poimirlem2  38128  poimirlem6  38132  poimirlem7  38133  poimirlem8  38134  poimirlem12  38138  poimirlem15  38141  poimirlem16  38142  poimirlem17  38143  poimirlem19  38145  poimirlem20  38146  poimirlem21  38147  poimirlem22  38148  poimirlem23  38149  poimirlem26  38152  mettrifi  38263  aks4d1p1  42700  primrootlekpowne0  42729  sticksstones10  42779  sticksstones12a  42781  aks6d1c6lem3  42796  unitscyglem2  42820  irrapxlem1  43406  rmspecsqrtnq  43490  acongeq  43567  monoords  45875  fzisoeu  45878  fzdifsuc2  45888  infleinflem2  45945  unb2ltle  45988  limsupre3lem  46305  xlimxrre  46404  xlimmnfv  46407  iblspltprt  46546  itgspltprt  46552  stoweidlem11  46584  stoweidlem14  46587  fourierdlem11  46691  fourierdlem12  46692  fourierdlem15  46695  fourierdlem41  46721  fourierdlem48  46727  fourierdlem49  46728  fourierdlem50  46729  fourierdlem79  46758  ioorrnopnxrlem  46879  iundjiun  47033  chnsubseq  47455  m1modmmod  47957  lswn0  48049  bgoldbtbndlem4  48429  gpgedgvtx0  48682  logbpw2m1  49199