Theorem ltm1d 12227

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12136	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   < clt 11324   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  suprzcl  12723  fzsuc2  13642  fzm1  13664  m1modnnsub1  13968  cshwidxm1  14855  fsumm1  15799  isumsplit  15888  climcndslem1  15897  bitsfzolem  16480  fldivp1  16944  4sqlem12  17003  ram0  17069  sylow1lem1  19640  dgreq0  26325  atanlogsublem  26976  birthdaylem3  27014  wilthlem1  27129  ftalem5  27138  basellem5  27146  lgsval2lem  27369  lgsqrlem2  27409  gausslemma2dlem0c  27420  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  pntrsumbnd2  27629  axlowdimlem16  28990  pthdlem1  29802  clwwlkel  30078  clwwlknonex2lem2  30140  xlt2addrd  32765  chnub  32984  cycpmco2lem6  33124  cvmliftlem6  35258  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem9  35261  cvmliftlem10  35262  bcprod  35700  iooelexlt  37328  poimirlem1  37581  poimirlem2  37582  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem8  37588  poimirlem12  37592  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem21  37601  poimirlem22  37602  poimirlem23  37603  poimirlem26  37606  mettrifi  37717  aks4d1p1  42033  primrootlekpowne0  42062  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  aks6d1c6lem3  42129  unitscyglem2  42153  metakunt18  42179  metakunt20  42181  metakunt24  42185  irrapxlem1  42778  rmspecsqrtnq  42862  acongeq  42940  monoords  45212  fzisoeu  45215  fzdifsuc2  45225  infleinflem2  45286  unb2ltle  45330  limsupre3lem  45653  xlimxrre  45752  xlimmnfv  45755  iblspltprt  45894  itgspltprt  45900  stoweidlem11  45932  stoweidlem14  45935  fourierdlem11  46039  fourierdlem12  46040  fourierdlem15  46043  fourierdlem41  46069  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem50  46077  fourierdlem79  46106  ioorrnopnxrlem  46227  iundjiun  46381  lswn0  47318  bgoldbtbndlem4  47682  m1modmmod  48255  logbpw2m1  48301