Theorem ltm1d 12054

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11963	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   < clt 11146   − cmin 11344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  suprzcl  12553  fzsuc2  13482  fzm1  13507  m1modnnsub1  13824  cshwidxm1  14714  fsumm1  15658  isumsplit  15747  climcndslem1  15756  bitsfzolem  16345  fldivp1  16809  4sqlem12  16868  ram0  16934  chnub  18528  chnccat  18532  sylow1lem1  19511  dgreq0  26199  atanlogsublem  26853  birthdaylem3  26891  wilthlem1  27006  ftalem5  27015  basellem5  27023  lgsval2lem  27246  lgsqrlem2  27286  gausslemma2dlem0c  27297  lgsquadlem1  27319  lgsquadlem2  27320  pntrsumbnd2  27506  axlowdimlem16  28936  pthdlem1  29745  clwwlkel  30024  clwwlknonex2lem2  30086  xlt2addrd  32740  cycpmco2lem6  33098  cvmliftlem6  35332  cvmliftlem8  35334  cvmliftlem9  35335  cvmliftlem10  35336  bcprod  35780  iooelexlt  37402  poimirlem1  37667  poimirlem2  37668  poimirlem6  37672  poimirlem7  37673  poimirlem8  37674  poimirlem12  37678  poimirlem15  37681  poimirlem16  37682  poimirlem17  37683  poimirlem19  37685  poimirlem20  37686  poimirlem21  37687  poimirlem22  37688  poimirlem23  37689  poimirlem26  37692  mettrifi  37803  aks4d1p1  42115  primrootlekpowne0  42144  sticksstones10  42194  sticksstones12a  42196  aks6d1c6lem3  42211  unitscyglem2  42235  irrapxlem1  42861  rmspecsqrtnq  42945  acongeq  43022  monoords  45344  fzisoeu  45347  fzdifsuc2  45357  infleinflem2  45415  unb2ltle  45459  limsupre3lem  45776  xlimxrre  45875  xlimmnfv  45878  iblspltprt  46017  itgspltprt  46023  stoweidlem11  46055  stoweidlem14  46058  fourierdlem11  46162  fourierdlem12  46163  fourierdlem15  46166  fourierdlem41  46192  fourierdlem48  46198  fourierdlem49  46199  fourierdlem50  46200  fourierdlem79  46229  ioorrnopnxrlem  46350  iundjiun  46504  m1modmmod  47395  lswn0  47481  bgoldbtbndlem4  47845  gpgedgvtx0  48098  logbpw2m1  48605