Theorem ltm1d 12115

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   < clt 11208   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  suprzcl  12614  fzsuc2  13543  fzm1  13568  m1modnnsub1  13882  cshwidxm1  14772  fsumm1  15717  isumsplit  15806  climcndslem1  15815  bitsfzolem  16404  fldivp1  16868  4sqlem12  16927  ram0  16993  sylow1lem1  19528  dgreq0  26171  atanlogsublem  26825  birthdaylem3  26863  wilthlem1  26978  ftalem5  26987  basellem5  26995  lgsval2lem  27218  lgsqrlem2  27258  gausslemma2dlem0c  27269  lgsquadlem1  27291  lgsquadlem2  27292  pntrsumbnd2  27478  axlowdimlem16  28884  pthdlem1  29696  clwwlkel  29975  clwwlknonex2lem2  30037  xlt2addrd  32682  chnub  32938  cycpmco2lem6  33088  cvmliftlem6  35277  cvmliftlem8  35279  cvmliftlem9  35280  cvmliftlem10  35281  bcprod  35725  iooelexlt  37350  poimirlem1  37615  poimirlem2  37616  poimirlem6  37620  poimirlem7  37621  poimirlem8  37622  poimirlem12  37626  poimirlem15  37629  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem21  37635  poimirlem22  37636  poimirlem23  37637  poimirlem26  37640  mettrifi  37751  aks4d1p1  42064  primrootlekpowne0  42093  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  aks6d1c6lem3  42160  unitscyglem2  42184  irrapxlem1  42810  rmspecsqrtnq  42894  acongeq  42972  monoords  45295  fzisoeu  45298  fzdifsuc2  45308  infleinflem2  45367  unb2ltle  45411  limsupre3lem  45730  xlimxrre  45829  xlimmnfv  45832  iblspltprt  45971  itgspltprt  45977  stoweidlem11  46009  stoweidlem14  46012  fourierdlem11  46116  fourierdlem12  46117  fourierdlem15  46120  fourierdlem41  46146  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem50  46154  fourierdlem79  46183  ioorrnopnxrlem  46304  iundjiun  46458  m1modmmod  47359  lswn0  47445  bgoldbtbndlem4  47809  gpgedgvtx0  48052  logbpw2m1  48556