Theorem ltm1d 12079

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11988	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  1c1 11030   < clt 11170   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  suprzcl  12600  fzsuc2  13527  fzm1  13552  m1modnnsub1  13870  cshwidxm1  14760  fsumm1  15704  isumsplit  15796  climcndslem1  15805  bitsfzolem  16394  fldivp1  16859  4sqlem12  16918  ram0  16984  chnub  18579  chnccat  18583  sylow1lem1  19564  dgreq0  26240  atanlogsublem  26892  birthdaylem3  26930  wilthlem1  27045  ftalem5  27054  basellem5  27062  lgsval2lem  27284  lgsqrlem2  27324  gausslemma2dlem0c  27335  lgsquadlem1  27357  lgsquadlem2  27358  pntrsumbnd2  27544  axlowdimlem16  29040  pthdlem1  29849  clwwlkel  30131  clwwlknonex2lem2  30193  xlt2addrd  32847  cycpmco2lem6  33207  cvmliftlem6  35488  cvmliftlem8  35490  cvmliftlem9  35491  cvmliftlem10  35492  bcprod  35936  iooelexlt  37692  poimirlem1  37956  poimirlem2  37957  poimirlem6  37961  poimirlem7  37962  poimirlem8  37963  poimirlem12  37967  poimirlem15  37970  poimirlem16  37971  poimirlem17  37972  poimirlem19  37974  poimirlem20  37975  poimirlem21  37976  poimirlem22  37977  poimirlem23  37978  poimirlem26  37981  mettrifi  38092  aks4d1p1  42529  primrootlekpowne0  42558  sticksstones10  42608  sticksstones12a  42610  aks6d1c6lem3  42625  unitscyglem2  42649  irrapxlem1  43268  rmspecsqrtnq  43352  acongeq  43429  monoords  45748  fzisoeu  45751  fzdifsuc2  45761  infleinflem2  45818  unb2ltle  45861  limsupre3lem  46178  xlimxrre  46277  xlimmnfv  46280  iblspltprt  46419  itgspltprt  46425  stoweidlem11  46457  stoweidlem14  46460  fourierdlem11  46564  fourierdlem12  46565  fourierdlem15  46568  fourierdlem41  46594  fourierdlem48  46600  fourierdlem49  46601  fourierdlem50  46602  fourierdlem79  46631  ioorrnopnxrlem  46752  iundjiun  46906  chnsubseq  47326  m1modmmod  47824  lswn0  47916  bgoldbtbndlem4  48296  gpgedgvtx0  48549  logbpw2m1  49055