Theorem ltm1d 12153

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12063	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  1c1 11117   < clt 11255   − cmin 11451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454

This theorem is referenced by:  suprzcl  12649  fzsuc2  13566  fzm1  13588  m1modnnsub1  13889  cshwidxm1  14764  fsumm1  15704  isumsplit  15793  climcndslem1  15802  bitsfzolem  16382  fldivp1  16837  4sqlem12  16896  ram0  16962  sylow1lem1  19514  dgreq0  26118  atanlogsublem  26761  birthdaylem3  26799  wilthlem1  26914  ftalem5  26923  basellem5  26931  lgsval2lem  27154  lgsqrlem2  27194  gausslemma2dlem0c  27205  lgsquadlem1  27227  lgsquadlem2  27228  pntrsumbnd2  27414  axlowdimlem16  28649  pthdlem1  29457  clwwlkel  29733  clwwlknonex2lem2  29795  xlt2addrd  32405  cycpmco2lem6  32727  cvmliftlem6  34746  cvmliftlem8  34748  cvmliftlem9  34749  cvmliftlem10  34750  bcprod  35179  iooelexlt  36709  poimirlem1  36955  poimirlem2  36956  poimirlem6  36960  poimirlem7  36961  poimirlem8  36962  poimirlem12  36966  poimirlem15  36969  poimirlem16  36970  poimirlem17  36971  poimirlem19  36973  poimirlem20  36974  poimirlem21  36975  poimirlem22  36976  poimirlem23  36977  poimirlem26  36980  mettrifi  37091  aks4d1p1  41410  sticksstones10  41440  sticksstones12a  41442  metakunt18  41471  metakunt20  41473  metakunt24  41477  irrapxlem1  42025  rmspecsqrtnq  42109  acongeq  42187  monoords  44468  fzisoeu  44471  fzdifsuc2  44481  infleinflem2  44542  unb2ltle  44586  limsupre3lem  44909  xlimxrre  45008  xlimmnfv  45011  iblspltprt  45150  itgspltprt  45156  stoweidlem11  45188  stoweidlem14  45191  fourierdlem11  45295  fourierdlem12  45296  fourierdlem15  45299  fourierdlem41  45325  fourierdlem48  45331  fourierdlem49  45332  fourierdlem50  45333  fourierdlem79  45362  ioorrnopnxrlem  45483  iundjiun  45637  lswn0  46573  bgoldbtbndlem4  46937  m1modmmod  47371  logbpw2m1  47417