Theorem ltm1d 12172

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 12081	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  1c1 11128   < clt 11267   − cmin 11464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467

This theorem is referenced by:  suprzcl  12671  fzsuc2  13597  fzm1  13622  m1modnnsub1  13933  cshwidxm1  14823  fsumm1  15765  isumsplit  15854  climcndslem1  15863  bitsfzolem  16451  fldivp1  16915  4sqlem12  16974  ram0  17040  sylow1lem1  19577  dgreq0  26221  atanlogsublem  26875  birthdaylem3  26913  wilthlem1  27028  ftalem5  27037  basellem5  27045  lgsval2lem  27268  lgsqrlem2  27308  gausslemma2dlem0c  27319  lgsquadlem1  27341  lgsquadlem2  27342  pntrsumbnd2  27528  axlowdimlem16  28882  pthdlem1  29694  clwwlkel  29973  clwwlknonex2lem2  30035  xlt2addrd  32682  chnub  32938  cycpmco2lem6  33088  cvmliftlem6  35258  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem9  35261  cvmliftlem10  35262  bcprod  35701  iooelexlt  37326  poimirlem1  37591  poimirlem2  37592  poimirlem6  37596  poimirlem7  37597  poimirlem8  37598  poimirlem12  37602  poimirlem15  37605  poimirlem16  37606  poimirlem17  37607  poimirlem19  37609  poimirlem20  37610  poimirlem21  37611  poimirlem22  37612  poimirlem23  37613  poimirlem26  37616  mettrifi  37727  aks4d1p1  42035  primrootlekpowne0  42064  sticksstones10  42114  sticksstones12a  42116  aks6d1c6lem3  42131  unitscyglem2  42155  metakunt18  42181  metakunt20  42183  metakunt24  42187  irrapxlem1  42792  rmspecsqrtnq  42876  acongeq  42954  monoords  45274  fzisoeu  45277  fzdifsuc2  45287  infleinflem2  45346  unb2ltle  45390  limsupre3lem  45709  xlimxrre  45808  xlimmnfv  45811  iblspltprt  45950  itgspltprt  45956  stoweidlem11  45988  stoweidlem14  45991  fourierdlem11  46095  fourierdlem12  46096  fourierdlem15  46099  fourierdlem41  46125  fourierdlem48  46131  fourierdlem49  46132  fourierdlem50  46133  fourierdlem79  46162  ioorrnopnxrlem  46283  iundjiun  46437  lswn0  47406  bgoldbtbndlem4  47770  gpgedgvtx0  48013  m1modmmod  48449  logbpw2m1  48495