Theorem x2times 13351

Description: Extended real version of 2times 12401. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
x2times	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))

Proof of Theorem x2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12328	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1re 11233	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rexadd 13284	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
4	2, 2, 3	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
5	1, 4	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ 2 = (1 +𝑒 1)
6	5	oveq1i 7426	. 2 ⊢ (2 ·e 𝐴) = ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴)
7		1xr 11293	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8		0le1 11762	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
9	7, 8	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1)
10		xadddi2r 13350	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
11	9, 9, 10	mp3an12 1480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
12		xmullid 13332	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
13	12, 12	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
14	11, 13	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
15	6, 14	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128  ℝ^*cxr 11267   ≤ cle 11269  2c2 12320   +_𝑒 cxad 13161   ·_e cxmu 13162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-2 12328  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165

This theorem is used by:  psmetge0  24537  xmetge0  24569  metnrmlem3  25087