![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > x2times | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Extended real version of 2times 12349. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
x2times | โข (๐ด โ โ* โ (2 ยทe ๐ด) = (๐ด +๐ ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-2 12276 | . . . 4 โข 2 = (1 + 1) | |
2 | 1re 11215 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
3 | rexadd 13214 | . . . . 5 โข ((1 โ โ โง 1 โ โ) โ (1 +๐ 1) = (1 + 1)) | |
4 | 2, 2, 3 | mp2an 689 | . . . 4 โข (1 +๐ 1) = (1 + 1) |
5 | 1, 4 | eqtr4i 2757 | . . 3 โข 2 = (1 +๐ 1) |
6 | 5 | oveq1i 7414 | . 2 โข (2 ยทe ๐ด) = ((1 +๐ 1) ยทe ๐ด) |
7 | 1xr 11274 | . . . . 5 โข 1 โ โ* | |
8 | 0le1 11738 | . . . . 5 โข 0 โค 1 | |
9 | 7, 8 | pm3.2i 470 | . . . 4 โข (1 โ โ* โง 0 โค 1) |
10 | xadddi2r 13280 | . . . 4 โข (((1 โ โ* โง 0 โค 1) โง (1 โ โ* โง 0 โค 1) โง ๐ด โ โ*) โ ((1 +๐ 1) ยทe ๐ด) = ((1 ยทe ๐ด) +๐ (1 ยทe ๐ด))) | |
11 | 9, 9, 10 | mp3an12 1447 | . . 3 โข (๐ด โ โ* โ ((1 +๐ 1) ยทe ๐ด) = ((1 ยทe ๐ด) +๐ (1 ยทe ๐ด))) |
12 | xmullid 13262 | . . . 4 โข (๐ด โ โ* โ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด) | |
13 | 12, 12 | oveq12d 7422 | . . 3 โข (๐ด โ โ* โ ((1 ยทe ๐ด) +๐ (1 ยทe ๐ด)) = (๐ด +๐ ๐ด)) |
14 | 11, 13 | eqtrd 2766 | . 2 โข (๐ด โ โ* โ ((1 +๐ 1) ยทe ๐ด) = (๐ด +๐ ๐ด)) |
15 | 6, 14 | eqtrid 2778 | 1 โข (๐ด โ โ* โ (2 ยทe ๐ด) = (๐ด +๐ ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5141 (class class class)co 7404 โcr 11108 0cc0 11109 1c1 11110 + caddc 11112 โ*cxr 11248 โค cle 11250 2c2 12268 +๐ cxad 13093 ยทe cxmu 13094 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-2 12276 df-xneg 13095 df-xadd 13096 df-xmul 13097 |
This theorem is referenced by: psmetge0 24169 xmetge0 24201 metnrmlem3 24728 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |