Theorem x2times 13316

Description: Extended real version of 2times 12384. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
x2times	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))

Proof of Theorem x2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12311	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1re 11250	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rexadd 13249	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
4	2, 2, 3	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
5	1, 4	eqtr4i 2758	. . 3 ⊢ 2 = (1 +𝑒 1)
6	5	oveq1i 7434	. 2 ⊢ (2 ·e 𝐴) = ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴)
7		1xr 11309	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8		0le1 11773	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
9	7, 8	pm3.2i 469	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1)
10		xadddi2r 13315	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
11	9, 9, 10	mp3an12 1447	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
12		xmullid 13297	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
13	12, 12	oveq12d 7442	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
14	11, 13	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
15	6, 14	eqtrid 2779	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  ℝcr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147  ℝ^*cxr 11283   ≤ cle 11285  2c2 12303   +_𝑒 cxad 13128   ·_e cxmu 13129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-2 12311  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132

This theorem is referenced by:  psmetge0  24236  xmetge0  24268  metnrmlem3  24795