Theorem x2times 13218

Description: Extended real version of 2times 12280. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
x2times	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))

Proof of Theorem x2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12212	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1re 11136	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rexadd 13151	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
4	2, 2, 3	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
5	1, 4	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ 2 = (1 +𝑒 1)
6	5	oveq1i 7370	. 2 ⊢ (2 ·e 𝐴) = ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴)
7		1xr 11195	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8		0le1 11664	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
9	7, 8	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1)
10		xadddi2r 13217	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
11	9, 9, 10	mp3an12 1454	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
12		xmullid 13199	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
13	12, 12	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
14	11, 13	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
15	6, 14	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  2c2 12204   +_𝑒 cxad 13028   ·_e cxmu 13029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-2 12212  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032

This theorem is referenced by:  psmetge0  24260  xmetge0  24292  metnrmlem3  24810