MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  x2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem x2times 12689
Description: Extended real version of 2times 11770. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
x2times (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))

Proof of Theorem x2times
StepHypRef Expression
1 df-2 11697 . . . 4 2 = (1 + 1)
2 1re 10639 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 rexadd 12622 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
42, 2, 3mp2an 691 . . . 4 (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
51, 4eqtr4i 2850 . . 3 2 = (1 +𝑒 1)
65oveq1i 7159 . 2 (2 ·e 𝐴) = ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴)
7 1xr 10698 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
8 0le1 11161 . . . . 5 0 ≤ 1
97, 8pm3.2i 474 . . . 4 (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1)
10 xadddi2r 12688 . . . 4 (((1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
119, 9, 10mp3an12 1448 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
12 xmulid2 12670 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
1312, 12oveq12d 7167 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
1411, 13eqtrd 2859 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
156, 14syl5eq 2871 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538  *cxr 10672  cle 10674  2c2 11689   +𝑒 cxad 12502   ·e cxmu 12503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-2 11697  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506
This theorem is referenced by:  psmetge0  22926  xmetge0  22958  metnrmlem3  23473
  Copyright terms: Public domain W3C validator