MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  x2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem x2times 13281
Description: Extended real version of 2times 12349. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
x2times (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (2 ยทe ๐ด) = (๐ด +๐‘’ ๐ด))

Proof of Theorem x2times
StepHypRef Expression
1 df-2 12276 . . . 4 2 = (1 + 1)
2 1re 11215 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
3 rexadd 13214 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (1 +๐‘’ 1) = (1 + 1))
42, 2, 3mp2an 689 . . . 4 (1 +๐‘’ 1) = (1 + 1)
51, 4eqtr4i 2757 . . 3 2 = (1 +๐‘’ 1)
65oveq1i 7414 . 2 (2 ยทe ๐ด) = ((1 +๐‘’ 1) ยทe ๐ด)
7 1xr 11274 . . . . 5 1 โˆˆ โ„*
8 0le1 11738 . . . . 5 0 โ‰ค 1
97, 8pm3.2i 470 . . . 4 (1 โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค 1)
10 xadddi2r 13280 . . . 4 (((1 โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง (1 โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ ((1 +๐‘’ 1) ยทe ๐ด) = ((1 ยทe ๐ด) +๐‘’ (1 ยทe ๐ด)))
119, 9, 10mp3an12 1447 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ((1 +๐‘’ 1) ยทe ๐ด) = ((1 ยทe ๐ด) +๐‘’ (1 ยทe ๐ด)))
12 xmullid 13262 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด)
1312, 12oveq12d 7422 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ((1 ยทe ๐ด) +๐‘’ (1 ยทe ๐ด)) = (๐ด +๐‘’ ๐ด))
1411, 13eqtrd 2766 . 2 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ((1 +๐‘’ 1) ยทe ๐ด) = (๐ด +๐‘’ ๐ด))
156, 14eqtrid 2778 1 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (2 ยทe ๐ด) = (๐ด +๐‘’ ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  โ„*cxr 11248   โ‰ค cle 11250  2c2 12268   +๐‘’ cxad 13093   ยทe cxmu 13094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-2 12276  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097
This theorem is referenced by:  psmetge0  24169  xmetge0  24201  metnrmlem3  24728
  Copyright terms: Public domain W3C validator