![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > x2times | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Extended real version of 2times 12297. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
x2times | โข (๐ด โ โ* โ (2 ยทe ๐ด) = (๐ด +๐ ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-2 12224 | . . . 4 โข 2 = (1 + 1) | |
2 | 1re 11163 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
3 | rexadd 13160 | . . . . 5 โข ((1 โ โ โง 1 โ โ) โ (1 +๐ 1) = (1 + 1)) | |
4 | 2, 2, 3 | mp2an 691 | . . . 4 โข (1 +๐ 1) = (1 + 1) |
5 | 1, 4 | eqtr4i 2764 | . . 3 โข 2 = (1 +๐ 1) |
6 | 5 | oveq1i 7371 | . 2 โข (2 ยทe ๐ด) = ((1 +๐ 1) ยทe ๐ด) |
7 | 1xr 11222 | . . . . 5 โข 1 โ โ* | |
8 | 0le1 11686 | . . . . 5 โข 0 โค 1 | |
9 | 7, 8 | pm3.2i 472 | . . . 4 โข (1 โ โ* โง 0 โค 1) |
10 | xadddi2r 13226 | . . . 4 โข (((1 โ โ* โง 0 โค 1) โง (1 โ โ* โง 0 โค 1) โง ๐ด โ โ*) โ ((1 +๐ 1) ยทe ๐ด) = ((1 ยทe ๐ด) +๐ (1 ยทe ๐ด))) | |
11 | 9, 9, 10 | mp3an12 1452 | . . 3 โข (๐ด โ โ* โ ((1 +๐ 1) ยทe ๐ด) = ((1 ยทe ๐ด) +๐ (1 ยทe ๐ด))) |
12 | xmulid2 13208 | . . . 4 โข (๐ด โ โ* โ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด) | |
13 | 12, 12 | oveq12d 7379 | . . 3 โข (๐ด โ โ* โ ((1 ยทe ๐ด) +๐ (1 ยทe ๐ด)) = (๐ด +๐ ๐ด)) |
14 | 11, 13 | eqtrd 2773 | . 2 โข (๐ด โ โ* โ ((1 +๐ 1) ยทe ๐ด) = (๐ด +๐ ๐ด)) |
15 | 6, 14 | eqtrid 2785 | 1 โข (๐ด โ โ* โ (2 ยทe ๐ด) = (๐ด +๐ ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5109 (class class class)co 7361 โcr 11058 0cc0 11059 1c1 11060 + caddc 11062 โ*cxr 11196 โค cle 11198 2c2 12216 +๐ cxad 13039 ยทe cxmu 13040 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-po 5549 df-so 5550 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-2 12224 df-xneg 13041 df-xadd 13042 df-xmul 13043 |
This theorem is referenced by: psmetge0 23688 xmetge0 23720 metnrmlem3 24247 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |