Theorem lemul2 12035

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lemul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemul1 12034	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
2		recn 11158	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 11158	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mulcom 11154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
6	5	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
7		recn 11158	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		mulcom 11154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
9	7, 3, 8	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
10	9	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
11	6, 10	breq12d 5120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))
12	11	3adant3r 1182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))
13	1, 12	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  lediv2  12073  lemul2i  12106  lemul2d  13039  nnlesq  14170  01sqrexlem6  15213  qexpz  16872  vdwlem3  16954  vdwlem9  16960  iihalf2  24828  tcphcphlem1  25135  csbren  25299  trirn  25300  minveclem2  25326  itg2monolem1  25651  itg2monolem3  25653  itgabs  25736  abelthlem2  26342  pilem2  26362  logdivlti  26529  atans2  26841  leibpi  26852  log2tlbnd  26855  jensenlem2  26898  zetacvg  26925  basellem1  26991  basellem2  26992  basellem3  26993  chtub  27123  logfaclbnd  27133  bpos1lem  27193  bposlem2  27196  bposlem3  27197  bposlem4  27198  bposlem5  27199  bposlem6  27200  lgsquadlem1  27291  chebbnd1lem1  27380  chebbnd1lem3  27382  dchrisumlem1  27400  dchrisum0lem3  27430  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem2  27446  chpdifbndlem1  27464  pntlemj  27514  pntlemo  27518  ostth2lem2  27545  ostth2lem3  27546  ostth3  27549  minvecolem2  30804  cdj3lem1  32363  subfaclim  35175  itgabsnc  37683  fzmul  37735  bfp  37818  irrapxlem1  42810  irrapxlem3  42812  pellfundex  42874  jm2.17b  42950  jm2.17c  42951  stoweidlem11  46009  stoweidlem26  46024  stoweidlem38  46036  lighneallem4a  47609  gpg3kgrtriexlem3  48076  gpg3kgrtriexlem6  48079