MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul2 11470
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lemul2
StepHypRef Expression
1 lemul1 11469 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
2 recn 10604 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 recn 10604 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4 mulcom 10600 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
52, 3, 4syl2an 598 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
653adant2 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))
7 recn 10604 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8 mulcom 10600 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
97, 3, 8syl2an 598 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
1093adant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
116, 10breq12d 5052 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))
12113adant3r 1178 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))
131, 12bitrd 282 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5039  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514   · cmul 10519   < clt 10652  cle 10653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850
This theorem is referenced by:  lediv2  11507  lemul2i  11540  lemul2d  12453  nnlesq  13552  sqrlem6  14586  qexpz  16214  vdwlem3  16296  vdwlem9  16302  iihalf2  23517  tcphcphlem1  23818  csbren  23982  trirn  23983  minveclem2  24009  itg2monolem1  24333  itg2monolem3  24335  itgabs  24417  abelthlem2  25006  pilem2  25026  logdivlti  25190  atans2  25496  leibpi  25507  log2tlbnd  25510  jensenlem2  25552  zetacvg  25579  basellem1  25645  basellem2  25646  basellem3  25647  chtub  25775  logfaclbnd  25785  bpos1lem  25845  bposlem2  25848  bposlem3  25849  bposlem4  25850  bposlem5  25851  bposlem6  25852  lgsquadlem1  25943  chebbnd1lem1  26032  chebbnd1lem3  26034  dchrisumlem1  26052  dchrisum0lem3  26082  mulog2sumlem1  26097  mulog2sumlem2  26098  chpdifbndlem1  26116  pntlemj  26166  pntlemo  26170  ostth2lem2  26197  ostth2lem3  26198  ostth3  26201  minvecolem2  28637  cdj3lem1  30196  subfaclim  32443  itgabsnc  35008  fzmul  35061  bfp  35144  irrapxlem1  39570  irrapxlem3  39572  pellfundex  39634  jm2.17b  39709  jm2.17c  39710  stoweidlem11  42472  stoweidlem26  42487  stoweidlem38  42499  lighneallem4a  43945
  Copyright terms: Public domain W3C validator