Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinc 45906
Description: The reverse implication of islindeps2 45881 does not hold for arbitrary (left) modules, see note in [Roman] p. 112: "... if a nontrivial linear combination of the elements ... in an R-module M is 0, ... where not all of the coefficients are 0, then we cannot conclude ... that one of the elements ... is a linear combination of the others." This means that there is at least one left module having a linearly dependent subset in which there is at least one element which is not a linear combinantion of the other elements of this subset. Such a left module can be constructed by using zlmodzxzequa 45894 and zlmodzxznm 45895. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinc βˆƒπ‘š ∈ LMod βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š)(𝑠 linDepS π‘š ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
Distinct variable group:   𝑓,π‘š,𝑠,𝑣

Proof of Theorem ldepsnlinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (β„€ring freeLMod {0, 1}) = (β„€ring freeLMod {0, 1})
21zlmodzxzlmod 45747 . . 3 ((β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
32simpli 485 . 2 (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod
4 3z 12395 . . . . 5 3 ∈ β„€
5 6nn 12104 . . . . . 6 6 ∈ β„•
65nnzi 12386 . . . . 5 6 ∈ β„€
71zlmodzxzel 45748 . . . . 5 ((3 ∈ β„€ ∧ 6 ∈ β„€) β†’ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
84, 6, 7mp2an 690 . . . 4 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))
9 2z 12394 . . . . 5 2 ∈ β„€
10 4z 12396 . . . . 5 4 ∈ β„€
111zlmodzxzel 45748 . . . . 5 ((2 ∈ β„€ ∧ 4 ∈ β„€) β†’ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
129, 10, 11mp2an 690 . . . 4 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))
13 prelpwi 5372 . . . 4 (({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
148, 12, 13mp2an 690 . . 3 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))
15 eqid 2736 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
16 eqid 2736 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
171, 15, 16zlmodzxzldep 45902 . . . 4 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1})
181, 15, 16ldepsnlinclem1 45903 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
19 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ β„€ring = (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
2019eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (((β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})) = β„€ring)
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})) = β„€ring
2221fveq2i 6803 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) = (Baseβ€˜β„€ring)
2322oveq1i 7313 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
2418, 23eleq2s 2855 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
2524a1d 25 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β†’ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
2625rgen 3064 . . . . 5 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
271, 15, 16ldepsnlinclem2 45904 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
2822oveq1i 7313 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
2927, 28eleq2s 2855 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
3029a1d 25 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β†’ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
3130rgen 3064 . . . . 5 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
32 prex 5364 . . . . . 6 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
33 prex 5364 . . . . . 6 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
34 sneq 4575 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ {𝑣} = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
3534difeq2d 4063 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
361, 15, 16zlmodzxzldeplem 45896 . . . . . . . . . 10 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
37 difprsn1 4739 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}
3935, 38eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
4039oveq2d 7319 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
4139oveq2d 7319 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) = (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
42 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ 𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
4341, 42neeq12d 3003 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ ((𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣 ↔ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
4443imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})))
4540, 44raleqbidv 3348 . . . . . 6 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})))
46 sneq 4575 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ {𝑣} = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
4746difeq2d 4063 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
48 difprsn2 4740 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
4936, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}
5047, 49eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
5150oveq2d 7319 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
5250oveq2d 7319 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) = (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
53 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ 𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
5452, 53neeq12d 3003 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ((𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣 ↔ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
5554imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5651, 55raleqbidv 3348 . . . . . 6 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5732, 33, 45, 56ralpr 4640 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5826, 31, 57mpbir2an 709 . . . 4 βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)
5917, 58pm3.2i 472 . . 3 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
60 breq1 5084 . . . . 5 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ (𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ↔ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1})))
61 id 22 . . . . . 6 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ 𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
62 difeq1 4056 . . . . . . . 8 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ (𝑠 βˆ– {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))
6362oveq2d 7319 . . . . . . 7 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣})) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})))
6462oveq2d 7319 . . . . . . . . 9 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) = (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})))
6564neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ ((𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣 ↔ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
6665imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
6763, 66raleqbidv 3348 . . . . . 6 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
6861, 67raleqbidv 3348 . . . . 5 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
6960, 68anbi12d 632 . . . 4 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ ((𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)) ↔ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))))
7069rspcev 3566 . . 3 (({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})) ∧ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
7114, 59, 70mp2an 690 . 2 βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
72 fveq2 6800 . . . . 5 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (Baseβ€˜π‘š) = (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
7372pweqd 4556 . . . 4 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š) = 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
74 breq2 5085 . . . . 5 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (𝑠 linDepS π‘š ↔ 𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1})))
75 2fveq3 6805 . . . . . . . 8 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))))
7675oveq1d 7318 . . . . . . 7 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣})) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣})))
77 2fveq3 6805 . . . . . . . . 9 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))))
7877breq2d 5093 . . . . . . . 8 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↔ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))))
79 fveq2 6800 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ ( linC β€˜π‘š) = ( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
8079oveqd 7320 . . . . . . . . 9 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) = (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})))
8180neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣 ↔ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
8278, 81imbi12d 346 . . . . . . 7 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
8376, 82raleqbidv 3348 . . . . . 6 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
8483ralbidv 3171 . . . . 5 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
8574, 84anbi12d 632 . . . 4 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ ((𝑠 linDepS π‘š ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)) ↔ (𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))))
8673, 85rexeqbidv 3349 . . 3 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š)(𝑠 linDepS π‘š ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))))
8786rspcev 3566 . 2 (((β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ LMod βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š)(𝑠 linDepS π‘š ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
883, 71, 87mp2an 690 1 βˆƒπ‘š ∈ LMod βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š)(𝑠 linDepS π‘š ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3889  π’« cpw 4539  {csn 4565  {cpr 4567  βŸ¨cop 4571   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   ↑m cmap 8642   finSupp cfsupp 9168  0cc0 10913  1c1 10914  2c2 12070  3c3 12071  4c4 12072  6c6 12074  β„€cz 12361  Basecbs 16953  Scalarcsca 17006  0gc0g 17191  LModclmod 20164  β„€ringczring 20711   freeLMod cfrlm 20994   linC clinc 45802   linDepS clindeps 45839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991  ax-addf 10992  ax-mulf 10993
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-er 8525  df-map 8644  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-sup 9241  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-rp 12773  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-dvds 16005  df-prm 16418  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-starv 17018  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-ip 17021  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-unif 17026  df-hom 17027  df-cco 17028  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-prds 17199  df-pws 17201  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-submnd 18472  df-grp 18621  df-minusg 18622  df-sbg 18623  df-mulg 18742  df-subg 18793  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-abl 19430  df-mgp 19762  df-ur 19779  df-ring 19826  df-cring 19827  df-subrg 20063  df-lmod 20166  df-lss 20235  df-sra 20475  df-rgmod 20476  df-cnfld 20639  df-zring 20712  df-dsmm 20980  df-frlm 20995  df-linc 45804  df-lininds 45840  df-lindeps 45842
This theorem is referenced by:  ldepslinc  45907
  Copyright terms: Public domain W3C validator