Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinc 47277
Description: The reverse implication of islindeps2 47252 does not hold for arbitrary (left) modules, see note in [Roman] p. 112: "... if a nontrivial linear combination of the elements ... in an R-module M is 0, ... where not all of the coefficients are 0, then we cannot conclude ... that one of the elements ... is a linear combination of the others." This means that there is at least one left module having a linearly dependent subset in which there is at least one element which is not a linear combinantion of the other elements of this subset. Such a left module can be constructed by using zlmodzxzequa 47265 and zlmodzxznm 47266. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinc βˆƒπ‘š ∈ LMod βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š)(𝑠 linDepS π‘š ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
Distinct variable group:   𝑓,π‘š,𝑠,𝑣

Proof of Theorem ldepsnlinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 (β„€ring freeLMod {0, 1}) = (β„€ring freeLMod {0, 1})
21zlmodzxzlmod 47119 . . 3 ((β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
32simpli 483 . 2 (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod
4 3z 12600 . . . . 5 3 ∈ β„€
5 6nn 12306 . . . . . 6 6 ∈ β„•
65nnzi 12591 . . . . 5 6 ∈ β„€
71zlmodzxzel 47120 . . . . 5 ((3 ∈ β„€ ∧ 6 ∈ β„€) β†’ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
84, 6, 7mp2an 689 . . . 4 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))
9 2z 12599 . . . . 5 2 ∈ β„€
10 4z 12601 . . . . 5 4 ∈ β„€
111zlmodzxzel 47120 . . . . 5 ((2 ∈ β„€ ∧ 4 ∈ β„€) β†’ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
129, 10, 11mp2an 689 . . . 4 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))
13 prelpwi 5447 . . . 4 (({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
148, 12, 13mp2an 689 . . 3 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))
15 eqid 2731 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
16 eqid 2731 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
171, 15, 16zlmodzxzldep 47273 . . . 4 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1})
181, 15, 16ldepsnlinclem1 47274 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ β„€ring = (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
2019eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (((β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ β„€ring = (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})) = β„€ring)
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})) = β„€ring
2221fveq2i 6894 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) = (Baseβ€˜β„€ring)
2322oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
2418, 23eleq2s 2850 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
2524a1d 25 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β†’ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
2625rgen 3062 . . . . 5 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
271, 15, 16ldepsnlinclem2 47275 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
2822oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = ((Baseβ€˜β„€ring) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
2927, 28eleq2s 2850 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
3029a1d 25 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β†’ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
3130rgen 3062 . . . . 5 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
32 prex 5432 . . . . . 6 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
33 prex 5432 . . . . . 6 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
34 sneq 4638 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ {𝑣} = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
3534difeq2d 4122 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
361, 15, 16zlmodzxzldeplem 47267 . . . . . . . . . 10 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
37 difprsn1 4803 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}
3935, 38eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
4039oveq2d 7428 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
4139oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) = (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
42 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ 𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
4341, 42neeq12d 3001 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ ((𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣 ↔ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
4443imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})))
4540, 44raleqbidv 3341 . . . . . 6 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})))
46 sneq 4638 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ {𝑣} = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
4746difeq2d 4122 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
48 difprsn2 4804 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
4936, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}
5047, 49eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
5150oveq2d 7428 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
5250oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) = (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
53 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ 𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
5452, 53neeq12d 3001 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ((𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣 ↔ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
5554imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5651, 55raleqbidv 3341 . . . . . 6 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5732, 33, 45, 56ralpr 4704 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) β‰  {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) β‰  {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5826, 31, 57mpbir2an 708 . . . 4 βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)
5917, 58pm3.2i 470 . . 3 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
60 breq1 5151 . . . . 5 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ (𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ↔ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1})))
61 id 22 . . . . . 6 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ 𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
62 difeq1 4115 . . . . . . . 8 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ (𝑠 βˆ– {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))
6362oveq2d 7428 . . . . . . 7 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣})) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})))
6462oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) = (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})))
6564neeq1d 2999 . . . . . . . 8 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ ((𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣 ↔ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
6665imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
6763, 66raleqbidv 3341 . . . . . 6 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
6861, 67raleqbidv 3341 . . . . 5 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
6960, 68anbi12d 630 . . . 4 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} β†’ ((𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)) ↔ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))))
7069rspcev 3612 . . 3 (({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})) ∧ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
7114, 59, 70mp2an 689 . 2 βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
72 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (Baseβ€˜π‘š) = (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
7372pweqd 4619 . . . 4 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š) = 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
74 breq2 5152 . . . . 5 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (𝑠 linDepS π‘š ↔ 𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1})))
75 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))))
7675oveq1d 7427 . . . . . . 7 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣})) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣})))
77 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))))
7877breq2d 5160 . . . . . . . 8 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↔ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))))
79 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ ( linC β€˜π‘š) = ( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1})))
8079oveqd 7429 . . . . . . . . 9 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) = (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})))
8180neeq1d 2999 . . . . . . . 8 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣 ↔ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
8278, 81imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
8376, 82raleqbidv 3341 . . . . . 6 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
8483ralbidv 3176 . . . . 5 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
8574, 84anbi12d 630 . . . 4 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ ((𝑠 linDepS π‘š ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)) ↔ (𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))))
8673, 85rexeqbidv 3342 . . 3 (π‘š = (β„€ring freeLMod {0, 1}) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š)(𝑠 linDepS π‘š ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))))
8786rspcev 3612 . 2 (((β„€ring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (β„€ring freeLMod {0, 1}) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))) β†’ (𝑓( linC β€˜(β„€ring freeLMod {0, 1}))(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ LMod βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š)(𝑠 linDepS π‘š ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣)))
883, 71, 87mp2an 689 1 βˆƒπ‘š ∈ LMod βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š)(𝑠 linDepS π‘š ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) ↑m (𝑠 βˆ– {𝑣}))(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘š)) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘š)(𝑠 βˆ– {𝑣})) β‰  𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3945  π’« cpw 4602  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8824   finSupp cfsupp 9365  0cc0 11114  1c1 11115  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  6c6 12276  β„€cz 12563  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  0gc0g 17390  LModclmod 20615  β„€ringczring 21218   freeLMod cfrlm 21521   linC clinc 47173   linDepS clindeps 47210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-prm 16614  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-linc 47175  df-lininds 47211  df-lindeps 47213
This theorem is referenced by:  ldepslinc  47278
  Copyright terms: Public domain W3C validator