Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinc 46835
Description: The reverse implication of islindeps2 46810 does not hold for arbitrary (left) modules, see note in [Roman] p. 112: "... if a nontrivial linear combination of the elements ... in an R-module M is 0, ... where not all of the coefficients are 0, then we cannot conclude ... that one of the elements ... is a linear combination of the others." This means that there is at least one left module having a linearly dependent subset in which there is at least one element which is not a linear combinantion of the other elements of this subset. Such a left module can be constructed by using zlmodzxzequa 46823 and zlmodzxznm 46824. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinc 𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
Distinct variable group:   𝑓,𝑚,𝑠,𝑣

Proof of Theorem ldepsnlinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 (ℤring freeLMod {0, 1}) = (ℤring freeLMod {0, 1})
21zlmodzxzlmod 46676 . . 3 ((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
32simpli 484 . 2 (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod
4 3z 12577 . . . . 5 3 ∈ ℤ
5 6nn 12283 . . . . . 6 6 ∈ ℕ
65nnzi 12568 . . . . 5 6 ∈ ℤ
71zlmodzxzel 46677 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
84, 6, 7mp2an 690 . . . 4 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))
9 2z 12576 . . . . 5 2 ∈ ℤ
10 4z 12578 . . . . 5 4 ∈ ℤ
111zlmodzxzel 46677 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
129, 10, 11mp2an 690 . . . 4 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))
13 prelpwi 5440 . . . 4 (({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
148, 12, 13mp2an 690 . . 3 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))
15 eqid 2731 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
16 eqid 2731 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
171, 15, 16zlmodzxzldep 46831 . . . 4 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1})
181, 15, 16ldepsnlinclem1 46832 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
2019eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})) = ℤring)
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})) = ℤring
2221fveq2i 6881 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) = (Base‘ℤring)
2322oveq1i 7403 . . . . . . . 8 ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = ((Base‘ℤring) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
2418, 23eleq2s 2850 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
2524a1d 25 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
2625rgen 3062 . . . . 5 𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
271, 15, 16ldepsnlinclem2 46833 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Base‘ℤring) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
2822oveq1i 7403 . . . . . . . 8 ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = ((Base‘ℤring) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
2927, 28eleq2s 2850 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
3029a1d 25 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
3130rgen 3062 . . . . 5 𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
32 prex 5425 . . . . . 6 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
33 prex 5425 . . . . . 6 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
34 sneq 4632 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → {𝑣} = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
3534difeq2d 4118 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
361, 15, 16zlmodzxzldeplem 46825 . . . . . . . . . 10 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
37 difprsn1 4796 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}
3935, 38eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
4039oveq2d 7409 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
4139oveq2d 7409 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
42 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → 𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
4341, 42neeq12d 3001 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ((𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
4443imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})))
4540, 44raleqbidv 3341 . . . . . 6 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})))
46 sneq 4632 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → {𝑣} = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
4746difeq2d 4118 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
48 difprsn2 4797 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
4936, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}
5047, 49eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
5150oveq2d 7409 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
5250oveq2d 7409 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
53 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → 𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
5452, 53neeq12d 3001 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ((𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
5554imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5651, 55raleqbidv 3341 . . . . . 6 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5732, 33, 45, 56ralpr 4697 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5826, 31, 57mpbir2an 709 . . . 4 𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)
5917, 58pm3.2i 471 . . 3 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
60 breq1 5144 . . . . 5 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ↔ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1})))
61 id 22 . . . . . 6 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → 𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
62 difeq1 4111 . . . . . . . 8 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (𝑠 ∖ {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))
6362oveq2d 7409 . . . . . . 7 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})))
6462oveq2d 7409 . . . . . . . . 9 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})))
6564neeq1d 2999 . . . . . . . 8 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
6665imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
6763, 66raleqbidv 3341 . . . . . 6 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
6861, 67raleqbidv 3341 . . . . 5 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
6960, 68anbi12d 631 . . . 4 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))))
7069rspcev 3609 . . 3 (({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})) ∧ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
7114, 59, 70mp2an 690 . 2 𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
72 fveq2 6878 . . . . 5 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (Base‘𝑚) = (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
7372pweqd 4613 . . . 4 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → 𝒫 (Base‘𝑚) = 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
74 breq2 5145 . . . . 5 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (𝑠 linDepS 𝑚𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1})))
75 2fveq3 6883 . . . . . . . 8 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (Base‘(Scalar‘𝑚)) = (Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))))
7675oveq1d 7408 . . . . . . 7 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣})))
77 2fveq3 6883 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (0g‘(Scalar‘𝑚)) = (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))))
7877breq2d 5153 . . . . . . . 8 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ↔ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))))
79 fveq2 6878 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ( linC ‘𝑚) = ( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
8079oveqd 7410 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})))
8180neeq1d 2999 . . . . . . . 8 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
8278, 81imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
8376, 82raleqbidv 3341 . . . . . 6 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
8483ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
8574, 84anbi12d 631 . . . 4 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ (𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))))
8673, 85rexeqbidv 3342 . . 3 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))))
8786rspcev 3609 . 2 (((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))) → ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
883, 71, 87mp2an 690 1 𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  cdif 3941  𝒫 cpw 4596  {csn 4622  {cpr 4624  cop 4628   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  m cmap 8803   finSupp cfsupp 9344  0cc0 11092  1c1 11093  2c2 12249  3c3 12250  4c4 12251  6c6 12253  cz 12540  Basecbs 17126  Scalarcsca 17182  0gc0g 17367  LModclmod 20420  ringczring 20951   freeLMod cfrlm 21234   linC clinc 46731   linDepS clindeps 46768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-prm 16591  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-cnfld 20879  df-zring 20952  df-dsmm 21220  df-frlm 21235  df-linc 46733  df-lininds 46769  df-lindeps 46771
This theorem is referenced by:  ldepslinc  46836
  Copyright terms: Public domain W3C validator