Theorem zlmodzxznm 48481

Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
zlmodzxzequa.m	⊢ − = (-g‘𝑍)
zlmodzxzequa.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxznm	⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem zlmodzxznm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3prm 16642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℙ
2		2prm 16640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		ztprmneprm 48330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
4	1, 2, 3	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
5		2re 12239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		2lt3 12332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	ltneii 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 3
8		eqneqall 2936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2))
9	7, 8	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
10	9	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 = 2 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
11	4, 10	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 3) = 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
12		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 3) ≠ 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
13	11, 12	pm2.61ine 3008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2)
14	13	olcd 874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2))
15		c0ex 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 · 3) ∈ V
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V)
18		opthneg 5436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
20	14, 19	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩)
21		0ne1 12236	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 0 ≠ 1)
23	22	orcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4))
24		opthneg 5436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
25	17, 24	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
26	23, 25	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
27	20, 26	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
28	27	orcd 873	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)))
29		opex 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V
30		opex 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V
31	29, 30	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V))
33		opex 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 2⟩ ∈ V
34		opex 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 4⟩ ∈ V
35	33, 34	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
37	22	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6)))
38		opthneg 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
39	17, 38	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
40	37, 39	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩)
41		prnebg 4816	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
42	41	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
43	32, 36, 40, 42	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
44	28, 43	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
45		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
46	45	oveq2i 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∙ 𝐴) = (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
47		3z 12545	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
48		6nn 12254	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
49	48	nnzi 12536	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
50		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
51		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
52	50, 51	zlmodzxzscm 48340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
53	47, 49, 52	mp3an23 1455	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
54	46, 53	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐴) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
55		zlmodzxzequa.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
57	44, 54, 56	3netr4d 3002	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵)
58		ztprmneprm 48330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
59	2, 1, 58	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
60		eqneqall 2936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3))
61	7, 60	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 = 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3)
62	59, 61	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 2) = 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
63		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 2) ≠ 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
64	62, 63	pm2.61ine 3008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3)
65	64	olcd 874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3))
66		ovex 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 · 2) ∈ V
67	15, 66	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V)
68		opthneg 5436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
69	67, 68	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
70	65, 69	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩)
71	22	orcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6))
72		opthneg 5436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
73	67, 72	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
74	71, 73	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)
75	70, 74	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))
76	75	orcd 873	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)))
77		opex 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V
78		opex 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V
79	77, 78	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V)
80	79	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V))
81		opex 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 3⟩ ∈ V
82		opex 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 6⟩ ∈ V
83	81, 82	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
84	83	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V))
85	22	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4)))
86		opthneg 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
87	67, 86	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
88	85, 87	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩)
89		prnebg 4816	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
90	89	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
91	80, 84, 88, 90	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
92	76, 91	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
93	55	oveq2i 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∙ 𝐵) = (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
94		2z 12544	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		4z 12546	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
96	50, 51	zlmodzxzscm 48340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
97	94, 95, 96	mp3an23 1455	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
98	93, 97	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐵) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
99	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
100	92, 98, 99	3netr4d 3002	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)
101	57, 100	jca 511	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴))
102	101	rgen 3046	1 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3444  {cpr 4587  ⟨cop 4591  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  0cc0 11047  1c1 11048   · cmul 11052  2c2 12220  3c3 12221  4c4 12222  6c6 12224  ℤcz 12508  ℙcprime 16619   ·_𝑠 cvsca 17202  -_gcsg 18851  ℤ_ringczring 21390   freeLMod cfrlm 21690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-supp 8118  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8649  df-map 8779  df-ixp 8849  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-fsupp 9290  df-sup 9370  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11815  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-4 12230  df-5 12231  df-6 12232  df-7 12233  df-8 12234  df-9 12235  df-n0 12422  df-z 12509  df-dec 12629  df-uz 12773  df-rp 12931  df-fz 13448  df-seq 13946  df-exp 14006  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16201  df-prm 16620  df-struct 17095  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-ress 17179  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17382  df-prds 17388  df-pws 17390  df-mgm 18551  df-sgrp 18630  df-mnd 18646  df-grp 18852  df-minusg 18853  df-subg 19039  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-cring 20158  df-subrng 20468  df-subrg 20492  df-sra 21114  df-rgmod 21115  df-cnfld 21299  df-zring 21391  df-dsmm 21676  df-frlm 21691

This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  48489  ldepsnlinclem2  48490