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Theorem zlmodzxznm 44480
Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t = ( ·𝑠𝑍)
zlmodzxzequa.m = (-g𝑍)
zlmodzxzequa.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxznm 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem zlmodzxznm
StepHypRef Expression
1 3prm 16026 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℙ
2 2prm 16024 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℙ
3 ztprmneprm 44323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
41, 2, 3mp3an23 1444 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
5 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
6 2lt3 11797 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
75, 6ltneii 10741 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 3
8 eqneqall 3024 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2))
97, 8mpi 20 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
109eqcoms 2826 . . . . . . . . . . 11 (3 = 2 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
114, 10syl6com 37 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 3) = 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
12 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 3) ≠ 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
1311, 12pm2.61ine 3097 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2)
1413olcd 870 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2))
15 c0ex 10623 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
16 ovex 7178 . . . . . . . . . 10 (𝑖 · 3) ∈ V
1715, 16pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V)
18 opthneg 5364 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
2014, 19mpbird 258 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩)
21 0ne1 11696 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 1
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → 0 ≠ 1)
2322orcd 869 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4))
24 opthneg 5364 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
2517, 24mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
2623, 25mpbird 258 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
2720, 26jca 512 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
2827orcd 869 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)))
29 opex 5347 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V
30 opex 5347 . . . . . . . 8 ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V
3129, 30pm3.2i 471 . . . . . . 7 (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V)
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V))
33 opex 5347 . . . . . . . 8 ⟨0, 2⟩ ∈ V
34 opex 5347 . . . . . . . 8 ⟨1, 4⟩ ∈ V
3533, 34pm3.2i 471 . . . . . . 7 (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
3722orcd 869 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6)))
38 opthneg 5364 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
3917, 38mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
4037, 39mpbird 258 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩)
41 prnebg 4778 . . . . . . 7 (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
4241bicomd 224 . . . . . 6 (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
4332, 36, 40, 42syl3anc 1363 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
4428, 43mpbird 258 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
45 zlmodzxzequa.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4645oveq2i 7156 . . . . 5 (𝑖 𝐴) = (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
47 3z 12003 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
48 6nn 11714 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
4948nnzi 11994 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
50 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
51 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑍)
5250, 51zlmodzxzscm 44333 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
5347, 49, 52mp3an23 1444 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
5446, 53syl5eq 2865 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐴) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
55 zlmodzxzequa.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5655a1i 11 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
5744, 54, 563netr4d 3090 . . 3 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐴) ≠ 𝐵)
58 ztprmneprm 44323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
592, 1, 58mp3an23 1444 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
60 eqneqall 3024 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3))
617, 60mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (2 = 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3)
6259, 61syl6com 37 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 2) = 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
63 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 2) ≠ 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
6462, 63pm2.61ine 3097 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3)
6564olcd 870 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3))
66 ovex 7178 . . . . . . . . . 10 (𝑖 · 2) ∈ V
6715, 66pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V)
68 opthneg 5364 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
6967, 68mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
7065, 69mpbird 258 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩)
7122orcd 869 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6))
72 opthneg 5364 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
7367, 72mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
7471, 73mpbird 258 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)
7570, 74jca 512 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))
7675orcd 869 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)))
77 opex 5347 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V
78 opex 5347 . . . . . . . 8 ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V
7977, 78pm3.2i 471 . . . . . . 7 (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V)
8079a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V))
81 opex 5347 . . . . . . . 8 ⟨0, 3⟩ ∈ V
82 opex 5347 . . . . . . . 8 ⟨1, 6⟩ ∈ V
8381, 82pm3.2i 471 . . . . . . 7 (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
8483a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V))
8522orcd 869 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4)))
86 opthneg 5364 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
8767, 86mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
8885, 87mpbird 258 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩)
89 prnebg 4778 . . . . . . 7 (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
9089bicomd 224 . . . . . 6 (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
9180, 84, 88, 90syl3anc 1363 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
9276, 91mpbird 258 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
9355oveq2i 7156 . . . . 5 (𝑖 𝐵) = (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
94 2z 12002 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
95 4z 12004 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
9650, 51zlmodzxzscm 44333 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9794, 95, 96mp3an23 1444 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9893, 97syl5eq 2865 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐵) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9945a1i 11 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
10092, 98, 993netr4d 3090 . . 3 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)
10157, 100jca 512 . 2 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴))
102101rgen 3145 1 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  Vcvv 3492  {cpr 4559  cop 4563  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684  cz 11969  cprime 16003   ·𝑠 cvsca 16557  -gcsg 18043  ringzring 20545   freeLMod cfrlm 20818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-prm 16004  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-subrg 19462  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-dsmm 20804  df-frlm 20819
This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  44488  ldepsnlinclem2  44489
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