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Theorem zlmodzxznm 48414
Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t = ( ·𝑠𝑍)
zlmodzxzequa.m = (-g𝑍)
zlmodzxzequa.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxznm 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem zlmodzxznm
StepHypRef Expression
1 3prm 16731 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℙ
2 2prm 16729 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℙ
3 ztprmneprm 48263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
41, 2, 3mp3an23 1455 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
5 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
6 2lt3 12438 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
75, 6ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 3
8 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2))
97, 8mpi 20 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
109eqcoms 2745 . . . . . . . . . . 11 (3 = 2 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
114, 10syl6com 37 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 3) = 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
12 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 3) ≠ 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
1311, 12pm2.61ine 3025 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2)
1413olcd 875 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2))
15 c0ex 11255 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
16 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑖 · 3) ∈ V
1715, 16pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V)
18 opthneg 5486 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
2014, 19mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩)
21 0ne1 12337 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 1
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → 0 ≠ 1)
2322orcd 874 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4))
24 opthneg 5486 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
2517, 24mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
2623, 25mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
2720, 26jca 511 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
2827orcd 874 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)))
29 opex 5469 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V
30 opex 5469 . . . . . . . 8 ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V
3129, 30pm3.2i 470 . . . . . . 7 (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V)
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V))
33 opex 5469 . . . . . . . 8 ⟨0, 2⟩ ∈ V
34 opex 5469 . . . . . . . 8 ⟨1, 4⟩ ∈ V
3533, 34pm3.2i 470 . . . . . . 7 (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
3722orcd 874 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6)))
38 opthneg 5486 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
3917, 38mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
4037, 39mpbird 257 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩)
41 prnebg 4856 . . . . . . 7 (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
4241bicomd 223 . . . . . 6 (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
4332, 36, 40, 42syl3anc 1373 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
4428, 43mpbird 257 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
45 zlmodzxzequa.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4645oveq2i 7442 . . . . 5 (𝑖 𝐴) = (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
47 3z 12650 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
48 6nn 12355 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
4948nnzi 12641 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
50 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
51 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑍)
5250, 51zlmodzxzscm 48273 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
5347, 49, 52mp3an23 1455 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
5446, 53eqtrid 2789 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐴) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
55 zlmodzxzequa.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5655a1i 11 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
5744, 54, 563netr4d 3018 . . 3 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐴) ≠ 𝐵)
58 ztprmneprm 48263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
592, 1, 58mp3an23 1455 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
60 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3))
617, 60mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (2 = 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3)
6259, 61syl6com 37 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 2) = 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
63 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 2) ≠ 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
6462, 63pm2.61ine 3025 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3)
6564olcd 875 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3))
66 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑖 · 2) ∈ V
6715, 66pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V)
68 opthneg 5486 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
6967, 68mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
7065, 69mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩)
7122orcd 874 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6))
72 opthneg 5486 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
7367, 72mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
7471, 73mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)
7570, 74jca 511 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))
7675orcd 874 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)))
77 opex 5469 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V
78 opex 5469 . . . . . . . 8 ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V
7977, 78pm3.2i 470 . . . . . . 7 (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V)
8079a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V))
81 opex 5469 . . . . . . . 8 ⟨0, 3⟩ ∈ V
82 opex 5469 . . . . . . . 8 ⟨1, 6⟩ ∈ V
8381, 82pm3.2i 470 . . . . . . 7 (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
8483a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V))
8522orcd 874 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4)))
86 opthneg 5486 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
8767, 86mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
8885, 87mpbird 257 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩)
89 prnebg 4856 . . . . . . 7 (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
9089bicomd 223 . . . . . 6 (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
9180, 84, 88, 90syl3anc 1373 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
9276, 91mpbird 257 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
9355oveq2i 7442 . . . . 5 (𝑖 𝐵) = (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
94 2z 12649 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
95 4z 12651 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
9650, 51zlmodzxzscm 48273 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9794, 95, 96mp3an23 1455 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9893, 97eqtrid 2789 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐵) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9945a1i 11 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
10092, 98, 993netr4d 3018 . . 3 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)
10157, 100jca 511 . 2 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴))
102101rgen 3063 1 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  {cpr 4628  cop 4632  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  cz 12613  cprime 16708   ·𝑠 cvsca 17301  -gcsg 18953  ringczring 21457   freeLMod cfrlm 21766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-dsmm 21752  df-frlm 21767
This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  48422  ldepsnlinclem2  48423
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