Theorem zlmodzxznm 49310

Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
zlmodzxzequa.m	⊢ − = (-g‘𝑍)
zlmodzxzequa.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxznm	⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem zlmodzxznm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3prm 16777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℙ
2		2prm 16775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		ztprmneprm 49160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
4	1, 2, 3	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
5		2re 12333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		2lt3 12432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	ltneii 11341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 3
8		eqneqall 2972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2))
9	7, 8	mpi 21	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
10	9	eqcoms 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 = 2 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
11	4, 10	syl6com 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 3) = 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
12		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 3) ≠ 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
13	11, 12	pm2.61ine 3044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2)
14	13	olcd 888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2))
15		c0ex 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 · 3) ∈ V
17	15, 16	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V)
18		opthneg 5468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
19	17, 18	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
20	14, 19	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩)
21		0ne1 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 0 ≠ 1)
23	22	orcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4))
24		opthneg 5468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
25	17, 24	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
26	23, 25	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
27	20, 26	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
28	27	orcd 887	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)))
29		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V
30		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V
31	29, 30	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V))
33		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 2⟩ ∈ V
34		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 4⟩ ∈ V
35	33, 34	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
37	22	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6)))
38		opthneg 5468	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
39	17, 38	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
40	37, 39	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩)
41		prnebg 4826	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
42	41	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
43	32, 36, 40, 42	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
44	28, 43	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
45		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
46	45	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∙ 𝐴) = (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
47		3z 12645	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
48		6nn 12348	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
49	48	nnzi 12636	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
50		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
51		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
52	50, 51	zlmodzxzscm 49170	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
53	47, 49, 52	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
54	46, 53	eqtrid 2813	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐴) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
55		zlmodzxzequa.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
57	44, 54, 56	3netr4d 3038	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵)
58		ztprmneprm 49160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
59	2, 1, 58	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
60		eqneqall 2972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3))
61	7, 60	mpi 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 = 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3)
62	59, 61	syl6com 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 2) = 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
63		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 2) ≠ 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
64	62, 63	pm2.61ine 3044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3)
65	64	olcd 888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3))
66		ovex 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 · 2) ∈ V
67	15, 66	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V)
68		opthneg 5468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
69	67, 68	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
70	65, 69	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩)
71	22	orcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6))
72		opthneg 5468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
73	67, 72	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
74	71, 73	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)
75	70, 74	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))
76	75	orcd 887	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)))
77		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V
78		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V
79	77, 78	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V)
80	79	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V))
81		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 3⟩ ∈ V
82		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 6⟩ ∈ V
83	81, 82	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
84	83	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V))
85	22	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4)))
86		opthneg 5468	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
87	67, 86	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
88	85, 87	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩)
89		prnebg 4826	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
90	89	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
91	80, 84, 88, 90	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
92	76, 91	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
93	55	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∙ 𝐵) = (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
94		2z 12644	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		4z 12646	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
96	50, 51	zlmodzxzscm 49170	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
97	94, 95, 96	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
98	93, 97	eqtrid 2813	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐵) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
99	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
100	92, 98, 99	3netr4d 3038	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)
101	57, 100	jca 521	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴))
102	101	rgen 3084	1 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  Vcvv 3458  {cpr 4596  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  6c6 12317  ℤcz 12609  ℙcprime 16754   ·_𝑠 cvsca 17339  -_gcsg 19027  ℤ_ringczring 21626   freeLMod cfrlm 21926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-prm 16755  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-grp 19028  df-minusg 19029  df-subg 19214  df-cmn 19877  df-abl 19878  df-mgp 20242  df-rng 20256  df-ur 20289  df-ring 20342  df-cring 20343  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-cnfld 21553  df-zring 21627  df-dsmm 21912  df-frlm 21927

This theorem is used by:  ldepsnlinclem1  49318  ldepsnlinclem2  49319