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Theorem zlmodzxznm 47178
Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t = ( ·𝑠𝑍)
zlmodzxzequa.m = (-g𝑍)
zlmodzxzequa.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxznm 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem zlmodzxznm
StepHypRef Expression
1 3prm 16631 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℙ
2 2prm 16629 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℙ
3 ztprmneprm 47023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
41, 2, 3mp3an23 1454 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
5 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
6 2lt3 12384 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
75, 6ltneii 11327 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 3
8 eqneqall 2952 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2))
97, 8mpi 20 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
109eqcoms 2741 . . . . . . . . . . 11 (3 = 2 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
114, 10syl6com 37 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 3) = 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
12 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 3) ≠ 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
1311, 12pm2.61ine 3026 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2)
1413olcd 873 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2))
15 c0ex 11208 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
16 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑖 · 3) ∈ V
1715, 16pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V)
18 opthneg 5482 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
2014, 19mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩)
21 0ne1 12283 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 1
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → 0 ≠ 1)
2322orcd 872 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4))
24 opthneg 5482 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
2517, 24mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
2623, 25mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
2720, 26jca 513 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
2827orcd 872 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)))
29 opex 5465 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V
30 opex 5465 . . . . . . . 8 ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V
3129, 30pm3.2i 472 . . . . . . 7 (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V)
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V))
33 opex 5465 . . . . . . . 8 ⟨0, 2⟩ ∈ V
34 opex 5465 . . . . . . . 8 ⟨1, 4⟩ ∈ V
3533, 34pm3.2i 472 . . . . . . 7 (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
3722orcd 872 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6)))
38 opthneg 5482 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
3917, 38mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
4037, 39mpbird 257 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩)
41 prnebg 4857 . . . . . . 7 (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
4241bicomd 222 . . . . . 6 (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
4332, 36, 40, 42syl3anc 1372 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
4428, 43mpbird 257 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
45 zlmodzxzequa.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4645oveq2i 7420 . . . . 5 (𝑖 𝐴) = (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
47 3z 12595 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
48 6nn 12301 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
4948nnzi 12586 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
50 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
51 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑍)
5250, 51zlmodzxzscm 47033 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
5347, 49, 52mp3an23 1454 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
5446, 53eqtrid 2785 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐴) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
55 zlmodzxzequa.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5655a1i 11 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
5744, 54, 563netr4d 3019 . . 3 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐴) ≠ 𝐵)
58 ztprmneprm 47023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
592, 1, 58mp3an23 1454 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
60 eqneqall 2952 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3))
617, 60mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (2 = 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3)
6259, 61syl6com 37 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 2) = 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
63 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 2) ≠ 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
6462, 63pm2.61ine 3026 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3)
6564olcd 873 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3))
66 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑖 · 2) ∈ V
6715, 66pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V)
68 opthneg 5482 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
6967, 68mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
7065, 69mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩)
7122orcd 872 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6))
72 opthneg 5482 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
7367, 72mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
7471, 73mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)
7570, 74jca 513 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))
7675orcd 872 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)))
77 opex 5465 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V
78 opex 5465 . . . . . . . 8 ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V
7977, 78pm3.2i 472 . . . . . . 7 (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V)
8079a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V))
81 opex 5465 . . . . . . . 8 ⟨0, 3⟩ ∈ V
82 opex 5465 . . . . . . . 8 ⟨1, 6⟩ ∈ V
8381, 82pm3.2i 472 . . . . . . 7 (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
8483a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V))
8522orcd 872 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4)))
86 opthneg 5482 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
8767, 86mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
8885, 87mpbird 257 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩)
89 prnebg 4857 . . . . . . 7 (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
9089bicomd 222 . . . . . 6 (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
9180, 84, 88, 90syl3anc 1372 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
9276, 91mpbird 257 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
9355oveq2i 7420 . . . . 5 (𝑖 𝐵) = (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
94 2z 12594 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
95 4z 12596 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
9650, 51zlmodzxzscm 47033 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9794, 95, 96mp3an23 1454 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9893, 97eqtrid 2785 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐵) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9945a1i 11 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
10092, 98, 993netr4d 3019 . . 3 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)
10157, 100jca 513 . 2 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴))
102101rgen 3064 1 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3475  {cpr 4631  cop 4635  cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  6c6 12271  cz 12558  cprime 16608   ·𝑠 cvsca 17201  -gcsg 18821  ringczring 21017   freeLMod cfrlm 21301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-dsmm 21287  df-frlm 21302
This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  47186  ldepsnlinclem2  47187
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