Theorem zlmodzxznm 49128

Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
zlmodzxzequa.m	⊢ − = (-g‘𝑍)
zlmodzxzequa.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxznm	⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem zlmodzxznm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3prm 16742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℙ
2		2prm 16740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		ztprmneprm 48978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
4	1, 2, 3	mp3an23 1477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
5		2re 12306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		2lt3 12405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	ltneii 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 3
8		eqneqall 2971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2))
9	7, 8	mpi 21	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
10	9	eqcoms 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 = 2 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
11	4, 10	syl6com 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 3) = 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
12		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 3) ≠ 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
13	11, 12	pm2.61ine 3043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2)
14	13	olcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2))
15		c0ex 11188	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 · 3) ∈ V
17	15, 16	pm3.2i 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V)
18		opthneg 5454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
19	17, 18	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
20	14, 19	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩)
21		0ne1 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 0 ≠ 1)
23	22	orcd 886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4))
24		opthneg 5454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
25	17, 24	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
26	23, 25	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
27	20, 26	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
28	27	orcd 886	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)))
29		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V
30		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V
31	29, 30	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V))
33		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 2⟩ ∈ V
34		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 4⟩ ∈ V
35	33, 34	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
37	22	orcd 886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6)))
38		opthneg 5454	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
39	17, 38	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
40	37, 39	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩)
41		prnebg 4817	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
42	41	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
43	32, 36, 40, 42	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
44	28, 43	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
45		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
46	45	oveq2i 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∙ 𝐴) = (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
47		3z 12618	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
48		6nn 12321	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
49	48	nnzi 12609	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
50		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
51		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
52	50, 51	zlmodzxzscm 48988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
53	47, 49, 52	mp3an23 1477	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
54	46, 53	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐴) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
55		zlmodzxzequa.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
57	44, 54, 56	3netr4d 3037	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵)
58		ztprmneprm 48978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
59	2, 1, 58	mp3an23 1477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
60		eqneqall 2971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3))
61	7, 60	mpi 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 = 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3)
62	59, 61	syl6com 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 2) = 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
63		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 2) ≠ 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
64	62, 63	pm2.61ine 3043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3)
65	64	olcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3))
66		ovex 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 · 2) ∈ V
67	15, 66	pm3.2i 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V)
68		opthneg 5454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
69	67, 68	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
70	65, 69	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩)
71	22	orcd 886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6))
72		opthneg 5454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
73	67, 72	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
74	71, 73	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)
75	70, 74	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))
76	75	orcd 886	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)))
77		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V
78		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V
79	77, 78	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V)
80	79	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V))
81		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 3⟩ ∈ V
82		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 6⟩ ∈ V
83	81, 82	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
84	83	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V))
85	22	orcd 886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4)))
86		opthneg 5454	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
87	67, 86	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
88	85, 87	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩)
89		prnebg 4817	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
90	89	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
91	80, 84, 88, 90	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
92	76, 91	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
93	55	oveq2i 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∙ 𝐵) = (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
94		2z 12617	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		4z 12619	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
96	50, 51	zlmodzxzscm 48988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
97	94, 95, 96	mp3an23 1477	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
98	93, 97	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐵) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
99	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
100	92, 98, 99	3netr4d 3037	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)
101	57, 100	jca 520	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴))
102	101	rgen 3081	1 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  Vcvv 3457  {cpr 4587  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  6c6 12290  ℤcz 12582  ℙcprime 16719   ·_𝑠 cvsca 17304  -_gcsg 18992  ℤ_ringczring 21556   freeLMod cfrlm 21856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301  df-prm 16720  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-subg 19180  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-cnfld 21483  df-zring 21557  df-dsmm 21842  df-frlm 21857

This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  49136  ldepsnlinclem2  49137