Theorem zlmodzxznm 44906

Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
zlmodzxzequa.m	⊢ − = (-g‘𝑍)
zlmodzxzequa.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxznm	⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem zlmodzxznm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3prm 16028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℙ
2		2prm 16026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		ztprmneprm 44749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
4	1, 2, 3	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
5		2re 11699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		2lt3 11797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 3
8		eqneqall 2998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2))
9	7, 8	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
10	9	eqcoms 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 = 2 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
11	4, 10	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 3) = 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
12		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 3) ≠ 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
13	11, 12	pm2.61ine 3070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2)
14	13	olcd 871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2))
15		c0ex 10624	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 · 3) ∈ V
17	15, 16	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V)
18		opthneg 5338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
20	14, 19	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩)
21		0ne1 11696	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 0 ≠ 1)
23	22	orcd 870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4))
24		opthneg 5338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
25	17, 24	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
26	23, 25	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
27	20, 26	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
28	27	orcd 870	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)))
29		opex 5321	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V
30		opex 5321	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V
31	29, 30	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V))
33		opex 5321	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 2⟩ ∈ V
34		opex 5321	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 4⟩ ∈ V
35	33, 34	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
37	22	orcd 870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6)))
38		opthneg 5338	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
39	17, 38	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
40	37, 39	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩)
41		prnebg 4746	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
42	41	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
43	32, 36, 40, 42	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
44	28, 43	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
45		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
46	45	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∙ 𝐴) = (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
47		3z 12003	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
48		6nn 11714	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
49	48	nnzi 11994	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
50		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
51		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
52	50, 51	zlmodzxzscm 44759	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
53	47, 49, 52	mp3an23 1450	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
54	46, 53	syl5eq 2845	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐴) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
55		zlmodzxzequa.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
57	44, 54, 56	3netr4d 3064	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵)
58		ztprmneprm 44749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
59	2, 1, 58	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
60		eqneqall 2998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3))
61	7, 60	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 = 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3)
62	59, 61	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 2) = 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
63		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 2) ≠ 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
64	62, 63	pm2.61ine 3070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3)
65	64	olcd 871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3))
66		ovex 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 · 2) ∈ V
67	15, 66	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V)
68		opthneg 5338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
69	67, 68	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
70	65, 69	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩)
71	22	orcd 870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6))
72		opthneg 5338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
73	67, 72	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
74	71, 73	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)
75	70, 74	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))
76	75	orcd 870	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)))
77		opex 5321	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V
78		opex 5321	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V
79	77, 78	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V)
80	79	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V))
81		opex 5321	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 3⟩ ∈ V
82		opex 5321	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 6⟩ ∈ V
83	81, 82	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
84	83	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V))
85	22	orcd 870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4)))
86		opthneg 5338	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
87	67, 86	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
88	85, 87	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩)
89		prnebg 4746	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
90	89	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
91	80, 84, 88, 90	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
92	76, 91	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
93	55	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∙ 𝐵) = (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
94		2z 12002	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		4z 12004	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
96	50, 51	zlmodzxzscm 44759	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
97	94, 95, 96	mp3an23 1450	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
98	93, 97	syl5eq 2845	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐵) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
99	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
100	92, 98, 99	3netr4d 3064	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)
101	57, 100	jca 515	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴))
102	101	rgen 3116	1 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441  {cpr 4527  ⟨cop 4531  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684  ℤcz 11969  ℙcprime 16005   ·_𝑠 cvsca 16561  -_gcsg 18097  ℤ_ringzring 20163   freeLMod cfrlm 20435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-prm 16006  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-dsmm 20421  df-frlm 20436

This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  44914  ldepsnlinclem2  44915