Theorem clwwlkext2edg 16417

Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkext2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkext2edg	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlkext2edg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknnn 16407	. . 3 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		clwwlkext2edg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		clwwlkext2edg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlknx 16411	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
5		ige2m2fzo 10543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
6	5	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
9	8	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
10	9	eleq2d 2302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
12	7, 11	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)))
13		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)))
14		fvoveq1 6073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
15	13, 14	preq12d 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))})
16	15	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
17	16	rspcv 2917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
18	12, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
19		wrdlenccats1lenm1g 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (♯‘𝑊))
20	19	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
21	20, 8	sylan9eq 2285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1))
22	21	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
23	22	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
24		eluzelcn 9865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		1cnd 8290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
26	24, 25, 25	subsub4d 8615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
27		1p1e2 9354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 + 1) = 2
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) = 2)
29	28	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
30	26, 29	eqtr2d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
31	30	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
32		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
33	32	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	31, 33	sylan9eq 2285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
36	23, 35	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
37	36	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
38	37	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
39		simpl1 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
40		s1cl 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
41	40	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
43		eluz2 9859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
44		zre 9581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
45		1red 8289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
46		2re 9307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 2 ∈ ℝ
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
48		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
49		1lt2 9407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 < 2
50	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
52	45, 47, 48, 50, 51	ltletrd 8697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
53		1red 8289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
54		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
55	53, 54	posdifd 8806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
59	44, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))))
61	60	3imp 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
62	43, 61	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑁 − 1))
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
64		breq2 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
66	63, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
67		wrdfin 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
68		fihashneq0 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
71	70	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
72	66, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
73	72	3adantl2 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
74	39, 42, 73	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
75	74	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)))
76	23, 75	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)))
77	76	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
78		ccatval1lsw 11292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
80	38, 79	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = (lastS‘𝑊))
81		2m1e1 9355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 − 1) = 1
82	81	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1)
83	82	eqcomd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (2 − 1))
84	83	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
85		2cnd 9310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
86	24, 85, 25	subsubd 8612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
87	84, 86	eqtr2d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
88	87	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
89		eqeq2 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
90	88, 89	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
91	23, 90	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
92	91	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊))
93	92	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
94		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
95	94	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
96	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
97		ccatws1ls 11330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
99	93, 98	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍)
100	80, 99	preq12d 3776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(lastS‘𝑊), 𝑍})
101	100	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
102	18, 101	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
103	102	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
104	103	com13 80	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
105	104	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
106	105	imp31 256	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)
107	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
108		lswccats1 11331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
110	62	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
112	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
113	111, 112	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
114		ccatfv0 11291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
115	39, 42, 113, 114	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
116	109, 115	preq12d 3776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
118	23, 117	syld 45	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
119	118	impcom 125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
120	119	eleq1d 2301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
121	120	biimpcd 159	. . . . . . . 8 ⊢ ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
122	121	3ad2ant3 1047	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
123	122	impl 380	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
124	106, 123	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
125	124	ex 115	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
126	4, 125	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
127	1, 126	mpcom 36	. 2 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
128	127	impcom 125	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∀wral 2520  ∅c0 3508  {cpr 3690   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Fincfn 6975  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   ≤ cle 8309   − cmin 8444  ℕcn 9237  2c2 9288  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224  lastSclsw 11269   ++ cconcat 11278  ⟨“cs1 11303  Vtxcvtx 16007  Edgcedg 16052   ClWWalksN cclwwlkn 16398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-lsw 11270  df-concat 11279  df-s1 11304  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-vtx 16009  df-clwwlk 16387  df-clwwlkn 16399

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