Theorem clwwlkext2edg 16868

Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkext2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkext2edg	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlkext2edg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknnn 16858	. . 3 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		clwwlkext2edg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		clwwlkext2edg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlknx 16862	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
5		ige2m2fzo 10633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
6	5	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
9	8	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
10	9	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
12	7, 11	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)))
13		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)))
14		fvoveq1 6111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
15	13, 14	preq12d 3796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))})
16	15	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
17	16	rspcv 2925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
18	12, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸))
19		wrdlenccats1lenm1g 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (♯‘𝑊))
20	19	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1))
21	20, 8	sylan9eq 2291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1))
22	21	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
23	22	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
24		eluzelcn 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		1cnd 8348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
26	24, 25, 25	subsub4d 8675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
27		1p1e2 9430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 + 1) = 2
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) = 2)
29	28	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
30	26, 29	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
31	30	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
32		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
33	32	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 1) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	31, 33	sylan9eq 2291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
36	23, 35	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1)))
37	36	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑊) − 1))
38	37	fveq2d 5702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
39		simpl1 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
40		s1cl 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
41	40	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
43		eluz2 9943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
44		zre 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
45		1red 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
46		2re 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 2 ∈ ℝ
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
48		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
49		1lt2 9485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 < 2
50	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
52	45, 47, 48, 50, 51	ltletrd 8758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
53		1red 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
54		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
55	53, 54	posdifd 8867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
59	44, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))))
61	60	3imp 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
62	43, 61	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑁 − 1))
63	62	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
64		breq2 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
66	63, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
67		wrdfin 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
68		fihashneq0 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
71	70	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
72	66, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
73	72	3adantl2 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
74	39, 42, 73	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
75	74	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)))
76	23, 75	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)))
77	76	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
78		ccatval1lsw 11394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
80	38, 79	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = (lastS‘𝑊))
81		2m1e1 9431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 − 1) = 1
82	81	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1)
83	82	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (2 − 1))
84	83	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
85		2cnd 9386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
86	24, 85, 25	subsubd 8672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
87	84, 86	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
88	87	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
89		eqeq2 2248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
90	88, 89	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
91	23, 90	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊)))
92	91	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (♯‘𝑊))
93	92	fveq2d 5702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
94		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
95	94	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
96	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
97		ccatws1ls 11432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
99	93, 98	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍)
100	80, 99	preq12d 3796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(lastS‘𝑊), 𝑍})
101	100	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
102	18, 101	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))
103	102	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
104	103	com13 80	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
105	104	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)))
106	105	imp31 256	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)
107	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
108		lswccats1 11433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
110	62	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
112	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
113	111, 112	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
114		ccatfv0 11393	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
115	39, 42, 113, 114	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
116	109, 115	preq12d 3796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 − 1) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
118	23, 117	syld 45	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
119	118	impcom 125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
120	119	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
121	120	biimpcd 159	. . . . . . . 8 ⊢ ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
122	121	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) → (((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
123	122	impl 380	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
124	106, 123	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
125	124	ex 115	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
126	4, 125	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
127	1, 126	mpcom 36	. 2 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
128	127	impcom 125	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∅c0 3520  {cpr 3710   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   ≤ cle 8367   − cmin 8504  ℕcn 9313  2c2 9364  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326  lastSclsw 11371   ++ cconcat 11380  ⟨“cs1 11405  Vtxcvtx 16458  Edgcedg 16503   ClWWalksN cclwwlkn 16849

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-lsw 11372  df-concat 11381  df-s1 11406  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-vtx 16460  df-clwwlk 16838  df-clwwlkn 16850

This theorem is used by: (None)