Theorem coskpi 14983

Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of π is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)

Proof of Theorem coskpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		2cn 9053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		picn 14922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
4		mul12 8148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
5	2, 3, 4	mp3an23 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
7	6	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = (cos‘(2 · (𝐾 · π))))
8		cos2kpi 14947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = 1)
9		zre 9321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		pire 14921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
11		remulcl 8000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
13	12	recnd 8048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
14		cos2t 11893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 · π) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
16	7, 8, 15	3eqtr3rd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1)
17	12	recoscld 11867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℂ)
19	18	sqcld 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ)
20		mulcl 7999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
21	2, 19, 20	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
22		ax-1cn 7965	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		subadd 8222	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
24	22, 22, 23	mp3an23 1340	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
25	21, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
26	16, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)))
27		2t1e2 9135	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
28		df-2 9041	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
29	27, 28	eqtr2i 2215	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
30	26, 29	eqtr3di 2241	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1))
31		2ap0 9075	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
32	2, 31	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
33		mulcanap 8684	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
34	22, 32, 33	mp3an23 1340	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
35	19, 34	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
36	30, 35	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1)
37		sq1 10704	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
38	36, 37	eqtr4di 2244	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2))
39		1re 8018	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		sqabs 11226	. . . 4 ⊢ (((cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
41	17, 39, 40	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
42	38, 41	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1))
43		abs1 11216	. 2 ⊢ (abs‘1) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2242	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   − cmin 8190   # cap 8600  2c2 9033  ℤcz 9317  ↑cexp 10609  abscabs 11141  cosccos 11788  πcpi 11790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-pre-suploc 7993  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-map 6704  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-ioo 9958  df-ioc 9959  df-ico 9960  df-icc 9961  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-sin 11793  df-cos 11794  df-pi 11796  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811

This theorem is referenced by: (None)