Theorem coskpi 15932

Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of π is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)

Proof of Theorem coskpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		2cn 9358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		picn 15871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
4		mul12 8449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
5	2, 3, 4	mp3an23 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
7	6	fveq2d 5697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = (cos‘(2 · (𝐾 · π))))
8		cos2kpi 15896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = 1)
9		zre 9631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		pire 15870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
11		remulcl 8301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
13	12	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
14		cos2t 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 · π) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
16	7, 8, 15	3eqtr3rd 2280	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1)
17	12	recoscld 12474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 8348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℂ)
19	18	sqcld 11092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ)
20		mulcl 8300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
21	2, 19, 20	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
22		ax-1cn 8266	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		subadd 8523	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
24	22, 22, 23	mp3an23 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
25	21, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
26	16, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)))
27		2t1e2 9441	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
28		df-2 9346	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
29	27, 28	eqtr2i 2260	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
30	26, 29	eqtr3di 2286	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1))
31		2ap0 9380	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
32	2, 31	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
33		mulcanap 8987	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
34	22, 32, 33	mp3an23 1370	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
35	19, 34	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
36	30, 35	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1)
37		sq1 11053	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
38	36, 37	eqtr4di 2289	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2))
39		1re 8319	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		sqabs 11831	. . . 4 ⊢ (((cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
41	17, 39, 40	sylancl 417	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
42	38, 41	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1))
43		abs1 11821	. 2 ⊢ (abs‘1) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2287	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178   − cmin 8491   # cap 8903  2c2 9338  ℤcz 9627  ↑cexp 10958  abscabs 11746  cosccos 12395  πcpi 12397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-pre-suploc 8294  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-pm 6919  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-ioc 10278  df-ico 10279  df-icc 10280  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-bc 11169  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-sin 12400  df-cos 12401  df-pi 12403  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-tx 15337  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741

This theorem is referenced by: (None)