ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  coskpi GIF version

Theorem coskpi 13936
Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of π is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
coskpi (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)

Proof of Theorem coskpi
StepHypRef Expression
1 zcn 9247 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2 2cn 8979 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
3 picn 13875 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
4 mul12 8076 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
52, 3, 4mp3an23 1329 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
61, 5syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
76fveq2d 5515 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = (cos‘(2 · (𝐾 · π))))
8 cos2kpi 13900 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = 1)
9 zre 9246 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10 pire 13874 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
11 remulcl 7930 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
129, 10, 11sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
1312recnd 7976 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
14 cos2t 11742 . . . . . . . . 9 ((𝐾 · π) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
1513, 14syl 14 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
167, 8, 153eqtr3rd 2219 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1)
1712recoscld 11716 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ)
1817recnd 7976 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℂ)
1918sqcld 10637 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ)
20 mulcl 7929 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
212, 19, 20sylancr 414 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
22 ax-1cn 7895 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
23 subadd 8150 . . . . . . . . 9 (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
2422, 22, 23mp3an23 1329 . . . . . . . 8 ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
2521, 24syl 14 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
2616, 25mpbid 147 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)))
27 2t1e2 9061 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
28 df-2 8967 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
2927, 28eqtr2i 2199 . . . . . 6 (1 + 1) = (2 · 1)
3026, 29eqtr3di 2225 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1))
31 2ap0 9001 . . . . . . . 8 2 # 0
322, 31pm3.2i 272 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
33 mulcanap 8611 . . . . . . 7 ((((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
3422, 32, 33mp3an23 1329 . . . . . 6 (((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
3519, 34syl 14 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
3630, 35mpbid 147 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1)
37 sq1 10599 . . . 4 (1↑2) = 1
3836, 37eqtr4di 2228 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2))
39 1re 7947 . . . 4 1 ∈ ℝ
40 sqabs 11075 . . . 4 (((cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
4117, 39, 40sylancl 413 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
4238, 41mpbid 147 . 2 (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1))
43 abs1 11065 . 2 (abs‘1) = 1
4442, 43eqtrdi 2226 1 (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807  cmin 8118   # cap 8528  2c2 8959  cz 9242  cexp 10505  abscabs 10990  cosccos 11637  πcpi 11639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923  ax-addf 7924  ax-mulf 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-9 8974  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ioo 9879  df-ioc 9880  df-ico 9881  df-icc 9882  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-sin 11642  df-cos 11643  df-pi 11645  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator