Theorem coskpi 15024

Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of π is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)

Proof of Theorem coskpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		2cn 9055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		picn 14963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
4		mul12 8150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
5	2, 3, 4	mp3an23 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
6	1, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
7	6	fveq2d 5559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = (cos‘(2 · (𝐾 · π))))
8		cos2kpi 14988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = 1)
9		zre 9324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		pire 14962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
11		remulcl 8002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
13	12	recnd 8050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
14		cos2t 11896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 · π) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
16	7, 8, 15	3eqtr3rd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1)
17	12	recoscld 11870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 8050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℂ)
19	18	sqcld 10745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ)
20		mulcl 8001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
21	2, 19, 20	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
22		ax-1cn 7967	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		subadd 8224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
24	22, 22, 23	mp3an23 1340	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
25	21, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
26	16, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)))
27		2t1e2 9138	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
28		df-2 9043	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
29	27, 28	eqtr2i 2215	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
30	26, 29	eqtr3di 2241	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1))
31		2ap0 9077	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
32	2, 31	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
33		mulcanap 8686	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
34	22, 32, 33	mp3an23 1340	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
35	19, 34	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
36	30, 35	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1)
37		sq1 10707	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
38	36, 37	eqtr4di 2244	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2))
39		1re 8020	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		sqabs 11229	. . . 4 ⊢ (((cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
41	17, 39, 40	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
42	38, 41	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1))
43		abs1 11219	. 2 ⊢ (abs‘1) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2242	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879   − cmin 8192   # cap 8602  2c2 9035  ℤcz 9320  ↑cexp 10612  abscabs 11144  cosccos 11791  πcpi 11793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-pre-suploc 7995  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-ioc 9962  df-ico 9963  df-icc 9964  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-shft 10962  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ef 11794  df-sin 11796  df-cos 11797  df-pi 11799  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836

This theorem is referenced by: (None)