ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  coskpi GIF version

Theorem coskpi 12975
Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of π is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
coskpi (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)

Proof of Theorem coskpi
StepHypRef Expression
1 2t1e2 8896 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
2 df-2 8802 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
31, 2eqtr2i 2162 . . . . . 6 (1 + 1) = (2 · 1)
4 zcn 9082 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
5 2cn 8814 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
6 picn 12914 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
7 mul12 7914 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
85, 6, 7mp3an23 1308 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
94, 8syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
109fveq2d 5432 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = (cos‘(2 · (𝐾 · π))))
11 cos2kpi 12939 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = 1)
12 zre 9081 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
13 pire 12913 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
14 remulcl 7771 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
1512, 13, 14sylancl 410 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
1615recnd 7817 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
17 cos2t 11491 . . . . . . . . 9 ((𝐾 · π) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
1816, 17syl 14 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
1910, 11, 183eqtr3rd 2182 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1)
2015recoscld 11465 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ)
2120recnd 7817 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℂ)
2221sqcld 10452 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ)
23 mulcl 7770 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
245, 22, 23sylancr 411 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
25 ax-1cn 7736 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
26 subadd 7988 . . . . . . . . 9 (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
2725, 25, 26mp3an23 1308 . . . . . . . 8 ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
2824, 27syl 14 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
2919, 28mpbid 146 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)))
303, 29syl5reqr 2188 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1))
31 2ap0 8836 . . . . . . . 8 2 # 0
325, 31pm3.2i 270 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
33 mulcanap 8449 . . . . . . 7 ((((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
3425, 32, 33mp3an23 1308 . . . . . 6 (((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
3522, 34syl 14 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
3630, 35mpbid 146 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1)
37 sq1 10416 . . . 4 (1↑2) = 1
3836, 37eqtr4di 2191 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2))
39 1re 7788 . . . 4 1 ∈ ℝ
40 sqabs 10885 . . . 4 (((cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
4120, 39, 40sylancl 410 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
4238, 41mpbid 146 . 2 (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1))
43 abs1 10875 . 2 (abs‘1) = 1
4442, 43eqtrdi 2189 1 (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  cc 7641  cr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646   · cmul 7648  cmin 7956   # cap 8366  2c2 8794  cz 9077  cexp 10322  abscabs 10800  cosccos 11386  πcpi 11388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763  ax-pre-suploc 7764  ax-addf 7765  ax-mulf 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-disj 3914  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-of 5989  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-frec 6295  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-er 6436  df-map 6551  df-pm 6552  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-5 8805  df-6 8806  df-7 8807  df-8 8808  df-9 8809  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-ioo 9704  df-ioc 9705  df-ico 9706  df-icc 9707  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-fac 10503  df-bc 10525  df-ihash 10553  df-shft 10618  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-clim 11079  df-sumdc 11154  df-ef 11389  df-sin 11391  df-cos 11392  df-pi 11394  df-rest 12159  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-met 12195  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-ntr 12302  df-cn 12394  df-cnp 12395  df-tx 12459  df-cncf 12764  df-limced 12831  df-dvap 12832
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator