Theorem mpomulcn 15283

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpomulcn.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
mpomulcn	|- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)

Proof of Theorem mpomulcn

Dummy variables a b c u v w z d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtopn 15256	. 2 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		mpomulf 8162	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) : ( CC X. CC ) --> CC
4		mulcn2 11866	. . 3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) )
5		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) -> u e. CC )
6		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) -> v e. CC )
7		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> d = u )
8	7	fvoveq1d 6035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( d - b ) ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
9	8	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( d - b ) ) < z <-> ( abs ` ( u - b ) ) < z ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> e = v )
11	10	fvoveq1d 6035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( e - c ) ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
12	11	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( e - c ) ) < w <-> ( abs ` ( v - c ) ) < w ) )
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) ) )
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> d = u )
15	14	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> u = d )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> e = v )
17	16	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> v = e )
18	15, 17	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( u x. v ) = ( d x. e ) )
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) -> u e. CC )
20		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> v e. CC )
21		tru 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- T.
22		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
23		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
24	22, 23	cbvmpov 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) )
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) )
26		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( T. -> <. u , v >. = <. u , v >. )
27		mulcl 8152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
28	27	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( u x. v ) )
30	29	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) )
31	21, 30	mp3an1 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) )
32		df-ov 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. )
33	31, 32	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
34	19, 20, 33	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( u x. v ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
35	18, 34	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( d x. e ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
36	35	adantllr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( d x. e ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
37		df-ov 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. b , c >. )
38		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = b -> ( x x. y ) = ( b x. y ) )
39		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = c -> ( b x. y ) = ( b x. c ) )
40	38, 39	cbvmpov 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( b e. CC , c e. CC |-> ( b x. c ) )
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. RR+ -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( b e. CC , c e. CC |-> ( b x. c ) ) )
42		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. RR+ -> <. b , c >. = <. b , c >. )
43		mulcl 8152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) e. CC )
44	43	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) e. CC )
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. b , c >. ) = ( b x. c ) )
46	37, 45	eqtr2id 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) = ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) )
47	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( b x. c ) = ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) )
48	36, 47	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) = ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) )
49	48	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) = ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) )
50	49	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a <-> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) )
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) <-> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
52	6, 51	rspcdv 2911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) -> ( A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
53	5, 52	rspcimdv 2909	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( v e. CC -> ( u e. CC -> ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( u e. CC -> ( v e. CC -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
57	56	ralrimdv 2609	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( u e. CC -> A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
58	57	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( u e. CC -> A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
59	58	ralrimdv 2609	. . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
60	59	reximdv 2631	. . . 4 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
61	60	reximdv 2631	. . 3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
62	4, 61	mpd 13	. 2 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) )
63	2, 3, 62	addcncntoplem 15278	1 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   <.cop 3670   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   e. cmpo 6015   CCcc 8023   x. cmul 8030   < clt 8207   - cmin 8343   RR+crp 9881   abscabs 11551   TopOpenctopn 13316  ℂ_fldccnfld 14563   Cn ccn 14902   tX ctx 14969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-xneg 10000  df-xadd 10001  df-fz 10237  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-starv 13168  df-tset 13172  df-ple 13173  df-ds 13175  df-unif 13176  df-rest 13317  df-topn 13318  df-topgen 13336  df-psmet 14550  df-xmet 14551  df-met 14552  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-fg 14556  df-metu 14557  df-cnfld 14564  df-top 14715  df-topon 14728  df-bases 14760  df-cn 14905  df-cnp 14906  df-tx 14970

This theorem is referenced by:  expcn  15286  plycn  15479