Theorem mpomulcn 15650

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpomulcn.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
mpomulcn	|- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)

Proof of Theorem mpomulcn

Dummy variables a b c u v w z d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtopn 15623	. 2 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		mpomulf 8310	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) : ( CC X. CC ) --> CC
4		mulcn2 12061	. . 3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) )
5		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) -> u e. CC )
6		simplll 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) -> v e. CC )
7		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> d = u )
8	7	fvoveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( d - b ) ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
9	8	breq1d 4138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( d - b ) ) < z <-> ( abs ` ( u - b ) ) < z ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> e = v )
11	10	fvoveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( e - c ) ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
12	11	breq1d 4138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( e - c ) ) < w <-> ( abs ` ( v - c ) ) < w ) )
13	9, 12	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) ) )
14		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> d = u )
15	14	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> u = d )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> e = v )
17	16	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> v = e )
18	15, 17	oveq12d 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( u x. v ) = ( d x. e ) )
19		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) -> u e. CC )
20		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> v e. CC )
21		tru 1406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- T.
22		oveq1 6086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
23		oveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
24	22, 23	cbvmpov 6162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) )
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) )
26		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( T. -> <. u , v >. = <. u , v >. )
27		mulcl 8300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
28	27	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( u x. v ) )
30	29	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) )
31	21, 30	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) )
32		df-ov 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. )
33	31, 32	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
34	19, 20, 33	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( u x. v ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
35	18, 34	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( d x. e ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
36	35	adantllr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( d x. e ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
37		df-ov 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. b , c >. )
38		oveq1 6086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = b -> ( x x. y ) = ( b x. y ) )
39		oveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = c -> ( b x. y ) = ( b x. c ) )
40	38, 39	cbvmpov 6162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( b e. CC , c e. CC |-> ( b x. c ) )
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. RR+ -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( b e. CC , c e. CC |-> ( b x. c ) ) )
42		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. RR+ -> <. b , c >. = <. b , c >. )
43		mulcl 8300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) e. CC )
44	43	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) e. CC )
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. b , c >. ) = ( b x. c ) )
46	37, 45	eqtr2id 2284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) = ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) )
47	46	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( b x. c ) = ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) )
48	36, 47	oveq12d 6097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) = ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) )
49	48	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) = ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) )
50	49	breq1d 4138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a <-> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) )
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) <-> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
52	6, 51	rspcdv 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) -> ( A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
53	5, 52	rspcimdv 2930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( v e. CC -> ( u e. CC -> ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( u e. CC -> ( v e. CC -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
57	56	ralrimdv 2629	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( u e. CC -> A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
58	57	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( u e. CC -> A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
59	58	ralrimdv 2629	. . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
60	59	reximdv 2651	. . . 4 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
61	60	reximdv 2651	. . 3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
62	4, 61	mpd 13	. 2 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) )
63	2, 3, 62	addcncntoplem 15645	1 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   <.cop 3711   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   e. cmpo 6081   CCcc 8171   x. cmul 8178   < clt 8354   - cmin 8491   RR+crp 10037   abscabs 11746   TopOpenctopn 13577  ℂ_fldccnfld 14876   Cn ccn 15269   tX ctx 15336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-map 6918  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-fz 10395  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-starv 13429  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-unif 13437  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-fg 14869  df-metu 14870  df-cnfld 14877  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-tx 15337

This theorem is referenced by:  expcn  15653  plycn  15846