Theorem mpomulcn 15261

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpomulcn.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
mpomulcn	|- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)

Proof of Theorem mpomulcn

Dummy variables a b c u v w z d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtopn 15234	. 2 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		mpomulf 8152	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) : ( CC X. CC ) --> CC
4		mulcn2 11844	. . 3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) )
5		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) -> u e. CC )
6		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) -> v e. CC )
7		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> d = u )
8	7	fvoveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( d - b ) ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
9	8	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( d - b ) ) < z <-> ( abs ` ( u - b ) ) < z ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> e = v )
11	10	fvoveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( e - c ) ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
12	11	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( e - c ) ) < w <-> ( abs ` ( v - c ) ) < w ) )
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) ) )
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> d = u )
15	14	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> u = d )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> e = v )
17	16	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> v = e )
18	15, 17	oveq12d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( u x. v ) = ( d x. e ) )
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) -> u e. CC )
20		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> v e. CC )
21		tru 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- T.
22		oveq1 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
23		oveq2 6018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
24	22, 23	cbvmpov 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) )
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) )
26		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( T. -> <. u , v >. = <. u , v >. )
27		mulcl 8142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
28	27	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( u x. v ) )
30	29	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) )
31	21, 30	mp3an1 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) )
32		df-ov 6013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. )
33	31, 32	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
34	19, 20, 33	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( u x. v ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
35	18, 34	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( d x. e ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
36	35	adantllr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( d x. e ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
37		df-ov 6013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. b , c >. )
38		oveq1 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = b -> ( x x. y ) = ( b x. y ) )
39		oveq2 6018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = c -> ( b x. y ) = ( b x. c ) )
40	38, 39	cbvmpov 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( b e. CC , c e. CC |-> ( b x. c ) )
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. RR+ -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( b e. CC , c e. CC |-> ( b x. c ) ) )
42		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. RR+ -> <. b , c >. = <. b , c >. )
43		mulcl 8142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) e. CC )
44	43	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) e. CC )
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. b , c >. ) = ( b x. c ) )
46	37, 45	eqtr2id 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) = ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) )
47	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( b x. c ) = ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) )
48	36, 47	oveq12d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) = ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) )
49	48	fveq2d 5636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) = ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) )
50	49	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a <-> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) )
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) <-> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
52	6, 51	rspcdv 2910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) -> ( A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
53	5, 52	rspcimdv 2908	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( v e. CC -> ( u e. CC -> ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( u e. CC -> ( v e. CC -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
57	56	ralrimdv 2609	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( u e. CC -> A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
58	57	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( u e. CC -> A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
59	58	ralrimdv 2609	. . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
60	59	reximdv 2631	. . . 4 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
61	60	reximdv 2631	. . 3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
62	4, 61	mpd 13	. 2 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) )
63	2, 3, 62	addcncntoplem 15256	1 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   <.cop 3669   class class class wbr 4083   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   e. cmpo 6012   CCcc 8013   x. cmul 8020   < clt 8197   - cmin 8333   RR+crp 9866   abscabs 11529   TopOpenctopn 13294  ℂ_fldccnfld 14541   Cn ccn 14880   tX ctx 14947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-map 6810  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-xneg 9985  df-xadd 9986  df-fz 10222  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-starv 13146  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-unif 13154  df-rest 13295  df-topn 13296  df-topgen 13314  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-met 14530  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-fg 14534  df-metu 14535  df-cnfld 14542  df-top 14693  df-topon 14706  df-bases 14738  df-cn 14883  df-cnp 14884  df-tx 14948

This theorem is referenced by:  expcn  15264  plycn  15457