Theorem mpomulcn 15319

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpomulcn.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
mpomulcn	|- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)

Proof of Theorem mpomulcn

Dummy variables a b c u v w z d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtopn 15292	. 2 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		mpomulf 8174	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) : ( CC X. CC ) --> CC
4		mulcn2 11895	. . 3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) )
5		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) -> u e. CC )
6		simplll 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) -> v e. CC )
7		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> d = u )
8	7	fvoveq1d 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( d - b ) ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
9	8	breq1d 4099	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( d - b ) ) < z <-> ( abs ` ( u - b ) ) < z ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> e = v )
11	10	fvoveq1d 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( e - c ) ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
12	11	breq1d 4099	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( e - c ) ) < w <-> ( abs ` ( v - c ) ) < w ) )
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) ) )
14		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> d = u )
15	14	eqcomd 2236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> u = d )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> e = v )
17	16	eqcomd 2236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> v = e )
18	15, 17	oveq12d 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( u x. v ) = ( d x. e ) )
19		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) -> u e. CC )
20		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> v e. CC )
21		tru 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- T.
22		oveq1 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
23		oveq2 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
24	22, 23	cbvmpov 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) )
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) )
26		eqidd 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( T. -> <. u , v >. = <. u , v >. )
27		mulcl 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
28	27	3adant1 1041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( u x. v ) )
30	29	eqcomd 2236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) )
31	21, 30	mp3an1 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) )
32		df-ov 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. )
33	31, 32	eqtr4di 2281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
34	19, 20, 33	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( u x. v ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
35	18, 34	eqtr3d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( d x. e ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
36	35	adantllr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( d x. e ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
37		df-ov 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. b , c >. )
38		oveq1 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = b -> ( x x. y ) = ( b x. y ) )
39		oveq2 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = c -> ( b x. y ) = ( b x. c ) )
40	38, 39	cbvmpov 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( b e. CC , c e. CC |-> ( b x. c ) )
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. RR+ -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( b e. CC , c e. CC |-> ( b x. c ) ) )
42		eqidd 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. RR+ -> <. b , c >. = <. b , c >. )
43		mulcl 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) e. CC )
44	43	3adant1 1041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) e. CC )
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. b , c >. ) = ( b x. c ) )
46	37, 45	eqtr2id 2276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) = ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) )
47	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( b x. c ) = ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) )
48	36, 47	oveq12d 6041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) = ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) )
49	48	fveq2d 5646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) = ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) )
50	49	breq1d 4099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a <-> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) )
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) <-> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
52	6, 51	rspcdv 2912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) -> ( A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
53	5, 52	rspcimdv 2910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( v e. CC -> ( u e. CC -> ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( u e. CC -> ( v e. CC -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
57	56	ralrimdv 2610	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( u e. CC -> A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
58	57	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( u e. CC -> A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
59	58	ralrimdv 2610	. . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
60	59	reximdv 2632	. . . 4 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
61	60	reximdv 2632	. . 3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
62	4, 61	mpd 13	. 2 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) )
63	2, 3, 62	addcncntoplem 15314	1 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2201   A.wral 2509   E.wrex 2510   <.cop 3673   class class class wbr 4089   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   e. cmpo 6025   CCcc 8035   x. cmul 8042   < clt 8219   - cmin 8355   RR+crp 9893   abscabs 11580   TopOpenctopn 13346  ℂ_fldccnfld 14594   Cn ccn 14938   tX ctx 15005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-map 6824  df-sup 7188  df-inf 7189  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-xneg 10012  df-xadd 10013  df-fz 10249  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-starv 13198  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-unif 13206  df-rest 13347  df-topn 13348  df-topgen 13366  df-psmet 14581  df-xmet 14582  df-met 14583  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-fg 14587  df-metu 14588  df-cnfld 14595  df-top 14751  df-topon 14764  df-bases 14796  df-cn 14941  df-cnp 14942  df-tx 15006

This theorem is referenced by:  expcn  15322  plycn  15515