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Theorem mpomulcn 15248

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
mpomulcn.j	ℂ_fld

**Assertion**
Ref	Expression
mpomulcn

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem mpomulcn Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 ℂ_fld
2	1	cnfldtopn 15221	. 2
3		mpomulf 8144	. 2
4		mulcn2 11831	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
5		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	fvoveq1d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	fvoveq1d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
15	14	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
18	15, 17	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
20		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
21		tru 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
22		oveq1 6014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
23		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
24	22, 23	cbvmpov 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
26		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27		mulcl 8134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28	27	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
30	29	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
31	21, 30	mp3an1 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
32		df-ov 6010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
33	31, 32	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
34	19, 20, 33	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35	18, 34	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantllr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		df-ov 6010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38		oveq1 6014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
40	38, 39	cbvmpov 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43		mulcl 8134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
44	43	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
46	37, 45	eqtr2id 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
47	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	36, 47	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	fveq2d 5633	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	6, 51	rspcdv 2910	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	5, 52	rspcimdv 2908	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	ralrimdv 2609	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	ex 115	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	ralrimdv 2609	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	reximdv 2631	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	reximdv 2631	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	4, 61	mpd 13	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
63	2, 3, 62	addcncntoplem 15243	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wtru 1396

wcel 2200

wral 2508

wrex 2509

cop 3669 class class class wbr 4083

cfv 5318 (class class class)co 6007

cmpo 6009

cc 8005

cmul 8012

clt 8189

cmin 8325

crp 9857

cabs 11516

ctopn 13281 ℂ_fldccnfld 14528

ccn 14867

ctx 14934

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8098 ax-resscn 8099 ax-1cn 8100 ax-1re 8101 ax-icn 8102 ax-addcl 8103 ax-addrcl 8104 ax-mulcl 8105 ax-mulrcl 8106 ax-addcom 8107 ax-mulcom 8108 ax-addass 8109 ax-mulass 8110 ax-distr 8111 ax-i2m1 8112 ax-0lt1 8113 ax-1rid 8114 ax-0id 8115 ax-rnegex 8116 ax-precex 8117 ax-cnre 8118 ax-pre-ltirr 8119 ax-pre-ltwlin 8120 ax-pre-lttrn 8121 ax-pre-apti 8122 ax-pre-ltadd 8123 ax-pre-mulgt0 8124 ax-pre-mulext 8125 ax-arch 8126 ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-tp 3674 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-frec 6543 df-map 6805 df-sup 7159 df-inf 7160 df-pnf 8191 df-mnf 8192 df-xr 8193 df-ltxr 8194 df-le 8195 df-sub 8327 df-neg 8328 df-reap 8730 df-ap 8737 df-div 8828 df-inn 9119 df-2 9177 df-3 9178 df-4 9179 df-5 9180 df-6 9181 df-7 9182 df-8 9183 df-9 9184 df-n0 9378 df-z 9455 df-dec 9587 df-uz 9731 df-q 9823 df-rp 9858 df-xneg 9976 df-xadd 9977 df-fz 10213 df-seqfrec 10678 df-exp 10769 df-cj 11361 df-re 11362 df-im 11363 df-rsqrt 11517 df-abs 11518 df-struct 13042 df-ndx 13043 df-slot 13044 df-base 13046 df-plusg 13131 df-mulr 13132 df-starv 13133 df-tset 13137 df-ple 13138 df-ds 13140 df-unif 13141 df-rest 13282 df-topn 13283 df-topgen 13301 df-psmet 14515 df-xmet 14516 df-met 14517 df-bl 14518 df-mopn 14519 df-fg 14521 df-metu 14522 df-cnfld 14529 df-top 14680 df-topon 14693 df-bases 14725 df-cn 14870 df-cnp 14871 df-tx 14935

This theorem is referenced by: expcn 15251 plycn 15444

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