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Theorem mpomulcn 14745

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
mpomulcn.j	ℂ_fld

**Assertion**
Ref	Expression
mpomulcn

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem mpomulcn Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 ℂ_fld
2	1	cnfldtopn 14718	. 2
3		mpomulf 8011	. 2
4		mulcn2 11458	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
5		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	fvoveq1d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	fvoveq1d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
15	14	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
18	15, 17	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
20		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
21		tru 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
22		oveq1 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
23		oveq2 5927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
24	22, 23	cbvmpov 5999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
26		eqidd 2194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28	27	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
30	29	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
31	21, 30	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
32		df-ov 5922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
33	31, 32	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
34	19, 20, 33	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35	18, 34	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantllr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		df-ov 5922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38		oveq1 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39		oveq2 5927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
40	38, 39	cbvmpov 5999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42		eqidd 2194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
44	43	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
46	37, 45	eqtr2id 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
47	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	36, 47	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	fveq2d 5559	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	6, 51	rspcdv 2868	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	5, 52	rspcimdv 2866	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	ralrimdv 2573	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	ex 115	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	ralrimdv 2573	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	reximdv 2595	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	reximdv 2595	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	4, 61	mpd 13	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
63	2, 3, 62	addcncntoplem 14740	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wtru 1365

wcel 2164

wral 2472

wrex 2473

cop 3622 class class class wbr 4030

cfv 5255 (class class class)co 5919

cmpo 5921

cc 7872

cmul 7879

clt 8056

cmin 8192

crp 9722

cabs 11144

ctopn 12854 ℂ_fldccnfld 14055

ccn 14364

ctx 14431

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-tp 3627 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-isom 5264 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-frec 6446 df-map 6706 df-sup 7045 df-inf 7046 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-5 9046 df-6 9047 df-7 9048 df-8 9049 df-9 9050 df-n0 9244 df-z 9321 df-dec 9452 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-xneg 9841 df-xadd 9842 df-fz 10078 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991 df-rsqrt 11145 df-abs 11146 df-struct 12623 df-ndx 12624 df-slot 12625 df-base 12627 df-plusg 12711 df-mulr 12712 df-starv 12713 df-tset 12717 df-ple 12718 df-ds 12720 df-unif 12721 df-rest 12855 df-topn 12856 df-topgen 12874 df-psmet 14042 df-xmet 14043 df-met 14044 df-bl 14045 df-mopn 14046 df-fg 14048 df-metu 14049 df-cnfld 14056 df-top 14177 df-topon 14190 df-bases 14222 df-cn 14367 df-cnp 14368 df-tx 14432

This theorem is referenced by: expcn 14748 plycn 14932

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