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Theorem mpomulcn 15357

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
mpomulcn.j	ℂ_fld

**Assertion**
Ref	Expression
mpomulcn

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem mpomulcn Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 ℂ_fld
2	1	cnfldtopn 15330	. 2
3		mpomulf 8212	. 2
4		mulcn2 11933	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
5		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplll 535	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	fvoveq1d 6050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	fvoveq1d 6050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
15	14	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
18	15, 17	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
19		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
20		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
21		tru 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
22		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
23		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
24	22, 23	cbvmpov 6111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
26		eqidd 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28	27	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
30	29	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
31	21, 30	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
32		df-ov 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
33	31, 32	eqtr4di 2282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
34	19, 20, 33	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35	18, 34	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantllr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		df-ov 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
40	38, 39	cbvmpov 6111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42		eqidd 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
44	43	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
46	37, 45	eqtr2id 2277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
47	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	36, 47	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	6, 51	rspcdv 2914	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	5, 52	rspcimdv 2912	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	ralrimdv 2612	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	ex 115	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	ralrimdv 2612	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	reximdv 2634	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	reximdv 2634	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	4, 61	mpd 13	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
63	2, 3, 62	addcncntoplem 15352	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wtru 1399

wcel 2202

wral 2511

wrex 2512

cop 3676 class class class wbr 4093

cfv 5333 (class class class)co 6028

cmpo 6030

cc 8073

cmul 8080

clt 8257

cmin 8393

crp 9931

cabs 11618

ctopn 13384 ℂ_fldccnfld 14632

ccn 14976

ctx 15043

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194 ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-tp 3681 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-isom 5342 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-map 6862 df-sup 7226 df-inf 7227 df-pnf 8259 df-mnf 8260 df-xr 8261 df-ltxr 8262 df-le 8263 df-sub 8395 df-neg 8396 df-reap 8798 df-ap 8805 df-div 8896 df-inn 9187 df-2 9245 df-3 9246 df-4 9247 df-5 9248 df-6 9249 df-7 9250 df-8 9251 df-9 9252 df-n0 9446 df-z 9523 df-dec 9655 df-uz 9799 df-q 9897 df-rp 9932 df-xneg 10050 df-xadd 10051 df-fz 10287 df-seqfrec 10754 df-exp 10845 df-cj 11463 df-re 11464 df-im 11465 df-rsqrt 11619 df-abs 11620 df-struct 13145 df-ndx 13146 df-slot 13147 df-base 13149 df-plusg 13234 df-mulr 13235 df-starv 13236 df-tset 13240 df-ple 13241 df-ds 13243 df-unif 13244 df-rest 13385 df-topn 13386 df-topgen 13404 df-psmet 14619 df-xmet 14620 df-met 14621 df-bl 14622 df-mopn 14623 df-fg 14625 df-metu 14626 df-cnfld 14633 df-top 14789 df-topon 14802 df-bases 14834 df-cn 14979 df-cnp 14980 df-tx 15044

This theorem is referenced by: expcn 15360 plycn 15553

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