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Theorem mpomulcn 14910

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
mpomulcn.j	ℂ_fld

**Assertion**
Ref	Expression
mpomulcn

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem mpomulcn Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 ℂ_fld
2	1	cnfldtopn 14883	. 2
3		mpomulf 8035	. 2
4		mulcn2 11496	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
5		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	fvoveq1d 5947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	fvoveq1d 5947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
15	14	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
18	15, 17	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
20		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
21		tru 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
22		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
23		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
24	22, 23	cbvmpov 6006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
26		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27		mulcl 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28	27	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
30	29	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
31	21, 30	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
32		df-ov 5928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
33	31, 32	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
34	19, 20, 33	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35	18, 34	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantllr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		df-ov 5928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
40	38, 39	cbvmpov 6006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43		mulcl 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
44	43	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
46	37, 45	eqtr2id 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
47	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	36, 47	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	6, 51	rspcdv 2871	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	5, 52	rspcimdv 2869	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	ralrimdv 2576	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	ex 115	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	ralrimdv 2576	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	reximdv 2598	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	reximdv 2598	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	4, 61	mpd 13	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
63	2, 3, 62	addcncntoplem 14905	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wtru 1365

wcel 2167

wral 2475

wrex 2476

cop 3626 class class class wbr 4034

cfv 5259 (class class class)co 5925

cmpo 5927

cc 7896

cmul 7903

clt 8080

cmin 8216

crp 9747

cabs 11181

ctopn 12944 ℂ_fldccnfld 14190

ccn 14529

ctx 14596

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7989 ax-resscn 7990 ax-1cn 7991 ax-1re 7992 ax-icn 7993 ax-addcl 7994 ax-addrcl 7995 ax-mulcl 7996 ax-mulrcl 7997 ax-addcom 7998 ax-mulcom 7999 ax-addass 8000 ax-mulass 8001 ax-distr 8002 ax-i2m1 8003 ax-0lt1 8004 ax-1rid 8005 ax-0id 8006 ax-rnegex 8007 ax-precex 8008 ax-cnre 8009 ax-pre-ltirr 8010 ax-pre-ltwlin 8011 ax-pre-lttrn 8012 ax-pre-apti 8013 ax-pre-ltadd 8014 ax-pre-mulgt0 8015 ax-pre-mulext 8016 ax-arch 8017 ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-tp 3631 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-map 6718 df-sup 7059 df-inf 7060 df-pnf 8082 df-mnf 8083 df-xr 8084 df-ltxr 8085 df-le 8086 df-sub 8218 df-neg 8219 df-reap 8621 df-ap 8628 df-div 8719 df-inn 9010 df-2 9068 df-3 9069 df-4 9070 df-5 9071 df-6 9072 df-7 9073 df-8 9074 df-9 9075 df-n0 9269 df-z 9346 df-dec 9477 df-uz 9621 df-q 9713 df-rp 9748 df-xneg 9866 df-xadd 9867 df-fz 10103 df-seqfrec 10559 df-exp 10650 df-cj 11026 df-re 11027 df-im 11028 df-rsqrt 11182 df-abs 11183 df-struct 12707 df-ndx 12708 df-slot 12709 df-base 12711 df-plusg 12795 df-mulr 12796 df-starv 12797 df-tset 12801 df-ple 12802 df-ds 12804 df-unif 12805 df-rest 12945 df-topn 12946 df-topgen 12964 df-psmet 14177 df-xmet 14178 df-met 14179 df-bl 14180 df-mopn 14181 df-fg 14183 df-metu 14184 df-cnfld 14191 df-top 14342 df-topon 14355 df-bases 14387 df-cn 14532 df-cnp 14533 df-tx 14597

This theorem is referenced by: expcn 14913 plycn 15106

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