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Theorem mpomulcn 15480

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
mpomulcn.j	ℂ_fld

**Assertion**
Ref	Expression
mpomulcn

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem mpomulcn Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 ℂ_fld
2	1	cnfldtopn 15453	. 2
3		mpomulf 8269	. 2
4		mulcn2 12005	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
5		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplll 535	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	fvoveq1d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	breq1d 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	fvoveq1d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	breq1d 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
15	14	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
18	15, 17	oveq12d 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
19		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
20		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
21		tru 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
22		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
23		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
24	22, 23	cbvmpov 6135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
26		eqidd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27		mulcl 8259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28	27	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
30	29	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
31	21, 30	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
32		df-ov 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
33	31, 32	eqtr4di 2285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
34	19, 20, 33	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35	18, 34	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantllr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		df-ov 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
40	38, 39	cbvmpov 6135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42		eqidd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43		mulcl 8259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
44	43	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
46	37, 45	eqtr2id 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
47	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	36, 47	oveq12d 6070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	fveq2d 5676	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	breq1d 4121	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	6, 51	rspcdv 2926	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	5, 52	rspcimdv 2924	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	ralrimdv 2623	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	ex 115	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	ralrimdv 2623	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	reximdv 2645	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	reximdv 2645	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	4, 61	mpd 13	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
63	2, 3, 62	addcncntoplem 15475	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wtru 1399

wcel 2205

wral 2522

wrex 2523

cop 3694 class class class wbr 4111

cfv 5354 (class class class)co 6052

cmpo 6054

cc 8130

cmul 8137

clt 8313

cmin 8449

crp 9992

cabs 11690

ctopn 13474 ℂ_fldccnfld 14753

ccn 15099

ctx 15166

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4227 ax-sep 4230 ax-nul 4238 ax-pow 4289 ax-pr 4324 ax-un 4556 ax-setind 4661 ax-iinf 4712 ax-cnex 8223 ax-resscn 8224 ax-1cn 8225 ax-1re 8226 ax-icn 8227 ax-addcl 8228 ax-addrcl 8229 ax-mulcl 8230 ax-mulrcl 8231 ax-addcom 8232 ax-mulcom 8233 ax-addass 8234 ax-mulass 8235 ax-distr 8236 ax-i2m1 8237 ax-0lt1 8238 ax-1rid 8239 ax-0id 8240 ax-rnegex 8241 ax-precex 8242 ax-cnre 8243 ax-pre-ltirr 8244 ax-pre-ltwlin 8245 ax-pre-lttrn 8246 ax-pre-apti 8247 ax-pre-ltadd 8248 ax-pre-mulgt0 8249 ax-pre-mulext 8250 ax-arch 8251 ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3045 df-csb 3141 df-dif 3215 df-un 3217 df-in 3219 df-ss 3226 df-nul 3511 df-if 3623 df-pw 3673 df-sn 3697 df-pr 3698 df-tp 3699 df-op 3700 df-uni 3917 df-int 3952 df-iun 3995 df-br 4112 df-opab 4174 df-mpt 4175 df-tr 4211 df-id 4416 df-po 4419 df-iso 4420 df-iord 4489 df-on 4491 df-ilim 4492 df-suc 4494 df-iom 4715 df-xp 4757 df-rel 4758 df-cnv 4759 df-co 4760 df-dm 4761 df-rn 4762 df-res 4763 df-ima 4764 df-iota 5314 df-fun 5356 df-fn 5357 df-f 5358 df-f1 5359 df-fo 5360 df-f1o 5361 df-fv 5362 df-isom 5363 df-riota 6005 df-ov 6055 df-oprab 6056 df-mpo 6057 df-1st 6336 df-2nd 6337 df-recs 6538 df-frec 6624 df-map 6886 df-sup 7277 df-inf 7278 df-pnf 8315 df-mnf 8316 df-xr 8317 df-ltxr 8318 df-le 8319 df-sub 8451 df-neg 8452 df-reap 8854 df-ap 8861 df-div 8952 df-inn 9243 df-2 9301 df-3 9302 df-4 9303 df-5 9304 df-6 9305 df-7 9306 df-8 9307 df-9 9308 df-n0 9502 df-z 9583 df-dec 9716 df-uz 9860 df-q 9958 df-rp 9993 df-xneg 10111 df-xadd 10112 df-fz 10349 df-seqfrec 10817 df-exp 10908 df-cj 11535 df-re 11536 df-im 11537 df-rsqrt 11691 df-abs 11692 df-struct 13235 df-ndx 13236 df-slot 13237 df-base 13239 df-plusg 13324 df-mulr 13325 df-starv 13326 df-tset 13330 df-ple 13331 df-ds 13333 df-unif 13334 df-rest 13475 df-topn 13476 df-topgen 13494 df-psmet 14740 df-xmet 14741 df-met 14742 df-bl 14743 df-mopn 14744 df-fg 14746 df-metu 14747 df-cnfld 14754 df-top 14912 df-topon 14925 df-bases 14957 df-cn 15102 df-cnp 15103 df-tx 15167

This theorem is referenced by: expcn 15483 plycn 15676

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