Theorem mpomulcn 15082

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpomulcn.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
mpomulcn	|- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)

Proof of Theorem mpomulcn

Dummy variables a b c u v w z d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtopn 15055	. 2 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
3		mpomulf 8069	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) : ( CC X. CC ) --> CC
4		mulcn2 11667	. . 3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) )
5		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) -> u e. CC )
6		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) -> v e. CC )
7		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> d = u )
8	7	fvoveq1d 5973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( d - b ) ) = ( abs ` ( u - b ) ) )
9	8	breq1d 4057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( d - b ) ) < z <-> ( abs ` ( u - b ) ) < z ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> e = v )
11	10	fvoveq1d 5973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( e - c ) ) = ( abs ` ( v - c ) ) )
12	11	breq1d 4057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( e - c ) ) < w <-> ( abs ` ( v - c ) ) < w ) )
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) ) )
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> d = u )
15	14	eqcomd 2212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> u = d )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> e = v )
17	16	eqcomd 2212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> v = e )
18	15, 17	oveq12d 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( u x. v ) = ( d x. e ) )
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) -> u e. CC )
20		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> v e. CC )
21		tru 1377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- T.
22		oveq1 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
23		oveq2 5959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
24	22, 23	cbvmpov 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) )
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( T. -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) )
26		eqidd 2207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( T. -> <. u , v >. = <. u , v >. )
27		mulcl 8059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
28	27	3adant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) = ( u x. v ) )
30	29	eqcomd 2212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T. /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) )
31	21, 30	mp3an1 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. ) )
32		df-ov 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. u , v >. )
33	31, 32	eqtr4di 2257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
34	19, 20, 33	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( u x. v ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
35	18, 34	eqtr3d 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( d x. e ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
36	35	adantllr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( d x. e ) = ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) )
37		df-ov 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. b , c >. )
38		oveq1 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = b -> ( x x. y ) = ( b x. y ) )
39		oveq2 5959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = c -> ( b x. y ) = ( b x. c ) )
40	38, 39	cbvmpov 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( b e. CC , c e. CC |-> ( b x. c ) )
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. RR+ -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( b e. CC , c e. CC |-> ( b x. c ) ) )
42		eqidd 2207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. RR+ -> <. b , c >. = <. b , c >. )
43		mulcl 8059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) e. CC )
44	43	3adant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) e. CC )
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. b , c >. ) = ( b x. c ) )
46	37, 45	eqtr2id 2252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b x. c ) = ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) )
47	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( b x. c ) = ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) )
48	36, 47	oveq12d 5969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) = ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) )
49	48	fveq2d 5587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) = ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) )
50	49	breq1d 4057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a <-> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) )
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) /\ e = v ) -> ( ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) <-> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
52	6, 51	rspcdv 2881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) /\ d = u ) -> ( A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
53	5, 52	rspcimdv 2879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( v e. CC /\ u e. CC ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( v e. CC -> ( u e. CC -> ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( u e. CC -> ( v e. CC -> ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
57	56	ralrimdv 2586	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) /\ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) ) -> ( u e. CC -> A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
58	57	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> ( u e. CC -> A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) ) )
59	58	ralrimdv 2586	. . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
60	59	reximdv 2608	. . . 4 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
61	60	reximdv 2608	. . 3 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. d e. CC A. e e. CC ( ( ( abs ` ( d - b ) ) < z /\ ( abs ` ( e - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( d x. e ) - ( b x. c ) ) ) < a ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) ) )
62	4, 61	mpd 13	. 2 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> E. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - b ) ) < z /\ ( abs ` ( v - c ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( u ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) v ) - ( b ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) c ) ) ) < a ) )
63	2, 3, 62	addcncntoplem 15077	1 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   <.cop 3637   class class class wbr 4047   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   e. cmpo 5953   CCcc 7930   x. cmul 7937   < clt 8114   - cmin 8250   RR+crp 9782   abscabs 11352   TopOpenctopn 13116  ℂ_fldccnfld 14362   Cn ccn 14701   tX ctx 14768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-map 6744  df-sup 7093  df-inf 7094  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-xneg 9901  df-xadd 9902  df-fz 10138  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-starv 12968  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-unif 12976  df-rest 13117  df-topn 13118  df-topgen 13136  df-psmet 14349  df-xmet 14350  df-met 14351  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-fg 14355  df-metu 14356  df-cnfld 14363  df-top 14514  df-topon 14527  df-bases 14559  df-cn 14704  df-cnp 14705  df-tx 14769

This theorem is referenced by:  expcn  15085  plycn  15278