Theorem mpomulcn 14745

Description: Complex number multiplication is a continuous function. (Contributed by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpomulcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
mpomulcn	⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpomulcn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopn 14718	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		mpomulf 8011	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
4		mulcn2 11458	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎))
5		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
6		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) → 𝑣 ∈ ℂ)
7		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑑 = 𝑢)
8	7	fvoveq1d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (abs‘(𝑑 − 𝑏)) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
9	8	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧))
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑒 = 𝑣)
11	10	fvoveq1d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (abs‘(𝑒 − 𝑐)) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
12	11	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤))
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤)))
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑑 = 𝑢)
15	14	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑢 = 𝑑)
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑒 = 𝑣)
17	16	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑣 = 𝑒)
18	15, 17	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑑 · 𝑒))
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) → 𝑢 ∈ ℂ)
20		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → 𝑣 ∈ ℂ)
21		tru 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ⊤
22		oveq1 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑦))
23		oveq2 5927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
24	22, 23	cbvmpov 5999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)))
26		eqidd 2194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → ⟨𝑢, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
27		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
28	27	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
29	25, 26, 28	fvmpopr2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = (𝑢 · 𝑣))
30	29	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
31	21, 30	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
32		df-ov 5922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
33	31, 32	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
34	19, 20, 33	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
35	18, 34	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑑 · 𝑒) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
36	35	adantllr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑑 · 𝑒) = (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣))
37		df-ov 5922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑏, 𝑐⟩)
38		oveq1 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑏 · 𝑦))
39		oveq2 5927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑏 · 𝑦) = (𝑏 · 𝑐))
40	38, 39	cbvmpov 5999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑏 ∈ ℂ, 𝑐 ∈ ℂ ↦ (𝑏 · 𝑐))
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑏 ∈ ℂ, 𝑐 ∈ ℂ ↦ (𝑏 · 𝑐)))
42		eqidd 2194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → ⟨𝑏, 𝑐⟩ = ⟨𝑏, 𝑐⟩)
43		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑐) ∈ ℂ)
44	43	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑐) ∈ ℂ)
45	41, 42, 44	fvmpopr2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))‘⟨𝑏, 𝑐⟩) = (𝑏 · 𝑐))
46	37, 45	eqtr2id 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑐) = (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))
47	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (𝑏 · 𝑐) = (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))
48	36, 47	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐)))
49	48	fveq2d 5559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) = (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))))
50	49	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))
51	13, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) ∧ 𝑒 = 𝑣) → ((((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
52	6, 51	rspcdv 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) ∧ 𝑑 = 𝑢) → (∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
53	5, 52	rspcimdv 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → (∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
54	53	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
55	54	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (𝑢 ∈ ℂ → (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))))
56	55	com13 80	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (𝑢 ∈ ℂ → (𝑣 ∈ ℂ → (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))))
57	56	ralrimdv 2573	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎)) → (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
58	57	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → (𝑢 ∈ ℂ → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))))
59	58	ralrimdv 2573	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
60	59	reximdv 2595	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
61	60	reximdv 2595	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℂ ∀𝑒 ∈ ℂ (((abs‘(𝑑 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑒 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑑 · 𝑒) − (𝑏 · 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎)))
62	4, 61	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) − (𝑏(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑐))) < 𝑎))
63	2, 3, 62	addcncntoplem 14740	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ∈ cmpo 5921  ℂcc 7872   · cmul 7879   < clt 8056   − cmin 8192  ℝ⁺crp 9722  abscabs 11144  TopOpenctopn 12854  ℂ_fldccnfld 14055   Cn ccn 14364   ×_t ctx 14431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-starv 12713  df-tset 12717  df-ple 12718  df-ds 12720  df-unif 12721  df-rest 12855  df-topn 12856  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-fg 14048  df-metu 14049  df-cnfld 14056  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432

This theorem is referenced by:  expcn  14748  plycn  14932