Theorem nn0ge0d 9170

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  0cc0 7753   ≤ cle 7934  ℕ₀cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10234  zmodfz  10281  addmodid  10307  modifeq2int  10321  modaddmodlo  10323  modsumfzodifsn  10331  addmodlteq  10333  expnnval  10458  nn0le2msqd  10632  facwordi  10653  faclbnd  10654  faclbnd6  10657  facavg  10659  geolim2  11453  mertenslemi1  11476  eftabs  11597  efcllemp  11599  efaddlem  11615  eftlub  11631  oexpneg  11814  divalglemnn  11855  divalglemnqt  11857  divalglemeunn  11858  divalg2  11863  dfgcd2  11947  gcdmultiple  11953  gcdmultiplez  11954  dvdssqlem  11963  nn0seqcvgd  11973  mulgcddvds  12026  isprm5lem  12073  nn0sqrtelqelz  12138  nonsq  12139  phibndlem  12148  dfphi2  12152  modprm0  12186  pythagtriplem3  12199  pythagtriplem10  12201  pythagtriplem6  12202  pythagtriplem7  12203  pythagtriplem12  12207  pythagtriplem14  12209  pcge0  12244  pcprmpw2  12264  pcmptdvds  12275  fldivp1  12278  pcbc  12281  qexpz  12282  pockthlem  12286  pockthg  12287  mul4sqlem  12323  ennnfoneleminc  12344  logbgcd1irraplemexp  13526  lgsval2lem  13551  lgsval4a  13563  2sqlem3  13593  2sqlem7  13597  2sqlem8  13599