Theorem nn0ge0d 9457

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  0cc0 8031   ≤ cle 8214  ℕ₀cn0 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-inn 9143  df-n0 9402

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10558  zmodfz  10607  addmodid  10633  modifeq2int  10647  modaddmodlo  10649  modsumfzodifsn  10657  addmodlteq  10659  expnnval  10803  nn0le2msqd  10980  facwordi  11001  faclbnd  11002  faclbnd6  11005  facavg  11007  geolim2  12072  mertenslemi1  12095  eftabs  12216  efcllemp  12218  efaddlem  12234  eftlub  12250  oexpneg  12437  divalglemnn  12478  divalglemnqt  12480  divalglemeunn  12481  divalg2  12486  bitsfzolem  12514  bitsmod  12516  dfgcd2  12584  gcdmultiple  12590  gcdmultiplez  12591  dvdssqlem  12600  nn0seqcvgd  12612  mulgcddvds  12665  isprm5lem  12712  nn0sqrtelqelz  12777  nonsq  12778  phibndlem  12787  dfphi2  12791  modprm0  12826  pythagtriplem3  12839  pythagtriplem10  12841  pythagtriplem6  12842  pythagtriplem7  12843  pythagtriplem12  12847  pythagtriplem14  12849  pcge0  12885  pcprmpw2  12905  pcmptdvds  12917  fldivp1  12920  pcbc  12923  qexpz  12924  pockthlem  12928  pockthg  12929  mul4sqlem  12965  4sqlem12  12974  4sqlem14  12976  4sqlem16  12978  2expltfac  13011  ennnfoneleminc  13031  logbgcd1irraplemexp  15691  wilthlem1  15703  perfectlem2  15723  lgsval2lem  15738  lgsval4a  15750  gausslemma2dlem0c  15779  gausslemma2dlem0d  15780  lgseisenlem1  15798  lgseisenlem2  15799  lgsquadlem1  15805  2lgslem1a1  15814  2sqlem3  15845  2sqlem7  15849  2sqlem8  15851  vtxd0nedgbfi  16149