Theorem nn0ge0d 9556

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  0cc0 8127   ≤ cle 8309  ℕ₀cn0 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-inn 9238  df-n0 9497

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10659  zmodfz  10708  addmodid  10734  modifeq2int  10748  modaddmodlo  10750  modsumfzodifsn  10758  addmodlteq  10760  expnnval  10904  nn0le2msqd  11081  facwordi  11102  faclbnd  11103  faclbnd6  11106  facavg  11108  sshashneg  11205  geolim2  12198  mertenslemi1  12221  eftabs  12342  efcllemp  12344  efaddlem  12360  eftlub  12376  oexpneg  12563  divalglemnn  12604  divalglemnqt  12606  divalglemeunn  12607  divalg2  12612  bitsfzolem  12640  bitsmod  12642  dfgcd2  12710  gcdmultiple  12716  gcdmultiplez  12717  dvdssqlem  12726  nn0seqcvgd  12738  mulgcddvds  12791  isprm5lem  12838  nn0sqrtelqelz  12903  nonsq  12904  phibndlem  12913  dfphi2  12917  modprm0  12952  pythagtriplem3  12965  pythagtriplem10  12967  pythagtriplem6  12968  pythagtriplem7  12969  pythagtriplem12  12973  pythagtriplem14  12975  pcge0  13011  pcprmpw2  13031  pcmptdvds  13043  fldivp1  13046  pcbc  13049  qexpz  13050  pockthlem  13054  pockthg  13055  mul4sqlem  13091  4sqlem12  13100  4sqlem14  13102  4sqlem16  13104  2expltfac  13137  ennnfoneleminc  13162  psrbagcon  14826  logbgcd1irraplemexp  15833  pellexlem1  15845  pellexlem2  15846  wilthlem1  15848  perfectlem2  15868  lgsval2lem  15883  lgsval4a  15895  gausslemma2dlem0c  15924  gausslemma2dlem0d  15925  lgseisenlem1  15943  lgseisenlem2  15944  lgsquadlem1  15950  2lgslem1a1  15959  2sqlem3  15990  2sqlem7  15994  2sqlem8  15996  vtxd0nedgbfi  16294