Theorem nn0ge0d 9448

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  0cc0 8022   ≤ cle 8205  ℕ₀cn0 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-inn 9134  df-n0 9393

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10549  zmodfz  10598  addmodid  10624  modifeq2int  10638  modaddmodlo  10640  modsumfzodifsn  10648  addmodlteq  10650  expnnval  10794  nn0le2msqd  10971  facwordi  10992  faclbnd  10993  faclbnd6  10996  facavg  10998  geolim2  12063  mertenslemi1  12086  eftabs  12207  efcllemp  12209  efaddlem  12225  eftlub  12241  oexpneg  12428  divalglemnn  12469  divalglemnqt  12471  divalglemeunn  12472  divalg2  12477  bitsfzolem  12505  bitsmod  12507  dfgcd2  12575  gcdmultiple  12581  gcdmultiplez  12582  dvdssqlem  12591  nn0seqcvgd  12603  mulgcddvds  12656  isprm5lem  12703  nn0sqrtelqelz  12768  nonsq  12769  phibndlem  12778  dfphi2  12782  modprm0  12817  pythagtriplem3  12830  pythagtriplem10  12832  pythagtriplem6  12833  pythagtriplem7  12834  pythagtriplem12  12838  pythagtriplem14  12840  pcge0  12876  pcprmpw2  12896  pcmptdvds  12908  fldivp1  12911  pcbc  12914  qexpz  12915  pockthlem  12919  pockthg  12920  mul4sqlem  12956  4sqlem12  12965  4sqlem14  12967  4sqlem16  12969  2expltfac  13002  ennnfoneleminc  13022  logbgcd1irraplemexp  15682  wilthlem1  15694  perfectlem2  15714  lgsval2lem  15729  lgsval4a  15741  gausslemma2dlem0c  15770  gausslemma2dlem0d  15771  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgsquadlem1  15796  2lgslem1a1  15805  2sqlem3  15836  2sqlem7  15840  2sqlem8  15842  vtxd0nedgbfi  16105