Theorem nn0ge0d 9231

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9200	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  0cc0 7810   ≤ cle 7992  ℕ₀cn0 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-inn 8919  df-n0 9176

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10298  zmodfz  10345  addmodid  10371  modifeq2int  10385  modaddmodlo  10387  modsumfzodifsn  10395  addmodlteq  10397  expnnval  10522  nn0le2msqd  10698  facwordi  10719  faclbnd  10720  faclbnd6  10723  facavg  10725  geolim2  11519  mertenslemi1  11542  eftabs  11663  efcllemp  11665  efaddlem  11681  eftlub  11697  oexpneg  11881  divalglemnn  11922  divalglemnqt  11924  divalglemeunn  11925  divalg2  11930  dfgcd2  12014  gcdmultiple  12020  gcdmultiplez  12021  dvdssqlem  12030  nn0seqcvgd  12040  mulgcddvds  12093  isprm5lem  12140  nn0sqrtelqelz  12205  nonsq  12206  phibndlem  12215  dfphi2  12219  modprm0  12253  pythagtriplem3  12266  pythagtriplem10  12268  pythagtriplem6  12269  pythagtriplem7  12270  pythagtriplem12  12274  pythagtriplem14  12276  pcge0  12311  pcprmpw2  12331  pcmptdvds  12342  fldivp1  12345  pcbc  12348  qexpz  12349  pockthlem  12353  pockthg  12354  mul4sqlem  12390  ennnfoneleminc  12411  logbgcd1irraplemexp  14356  lgsval2lem  14381  lgsval4a  14393  lgseisenlem1  14420  lgseisenlem2  14421  2sqlem3  14434  2sqlem7  14438  2sqlem8  14440