Theorem nn0ge0d 9502

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  0cc0 8075   ≤ cle 8257  ℕ₀cn0 9444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-inn 9186  df-n0 9445

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10605  zmodfz  10654  addmodid  10680  modifeq2int  10694  modaddmodlo  10696  modsumfzodifsn  10704  addmodlteq  10706  expnnval  10850  nn0le2msqd  11027  facwordi  11048  faclbnd  11049  faclbnd6  11052  facavg  11054  geolim2  12136  mertenslemi1  12159  eftabs  12280  efcllemp  12282  efaddlem  12298  eftlub  12314  oexpneg  12501  divalglemnn  12542  divalglemnqt  12544  divalglemeunn  12545  divalg2  12550  bitsfzolem  12578  bitsmod  12580  dfgcd2  12648  gcdmultiple  12654  gcdmultiplez  12655  dvdssqlem  12664  nn0seqcvgd  12676  mulgcddvds  12729  isprm5lem  12776  nn0sqrtelqelz  12841  nonsq  12842  phibndlem  12851  dfphi2  12855  modprm0  12890  pythagtriplem3  12903  pythagtriplem10  12905  pythagtriplem6  12906  pythagtriplem7  12907  pythagtriplem12  12911  pythagtriplem14  12913  pcge0  12949  pcprmpw2  12969  pcmptdvds  12981  fldivp1  12984  pcbc  12987  qexpz  12988  pockthlem  12992  pockthg  12993  mul4sqlem  13029  4sqlem12  13038  4sqlem14  13040  4sqlem16  13042  2expltfac  13075  ennnfoneleminc  13095  psrbagcon  14755  logbgcd1irraplemexp  15762  pellexlem1  15774  pellexlem2  15775  wilthlem1  15777  perfectlem2  15797  lgsval2lem  15812  lgsval4a  15824  gausslemma2dlem0c  15853  gausslemma2dlem0d  15854  lgseisenlem1  15872  lgseisenlem2  15873  lgsquadlem1  15879  2lgslem1a1  15888  2sqlem3  15919  2sqlem7  15923  2sqlem8  15925  vtxd0nedgbfi  16223