Theorem nn0ge0d 9458

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9427	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  0cc0 8032   ≤ cle 8215  ℕ₀cn0 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-inn 9144  df-n0 9403

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10560  zmodfz  10609  addmodid  10635  modifeq2int  10649  modaddmodlo  10651  modsumfzodifsn  10659  addmodlteq  10661  expnnval  10805  nn0le2msqd  10982  facwordi  11003  faclbnd  11004  faclbnd6  11007  facavg  11009  geolim2  12078  mertenslemi1  12101  eftabs  12222  efcllemp  12224  efaddlem  12240  eftlub  12256  oexpneg  12443  divalglemnn  12484  divalglemnqt  12486  divalglemeunn  12487  divalg2  12492  bitsfzolem  12520  bitsmod  12522  dfgcd2  12590  gcdmultiple  12596  gcdmultiplez  12597  dvdssqlem  12606  nn0seqcvgd  12618  mulgcddvds  12671  isprm5lem  12718  nn0sqrtelqelz  12783  nonsq  12784  phibndlem  12793  dfphi2  12797  modprm0  12832  pythagtriplem3  12845  pythagtriplem10  12847  pythagtriplem6  12848  pythagtriplem7  12849  pythagtriplem12  12853  pythagtriplem14  12855  pcge0  12891  pcprmpw2  12911  pcmptdvds  12923  fldivp1  12926  pcbc  12929  qexpz  12930  pockthlem  12934  pockthg  12935  mul4sqlem  12971  4sqlem12  12980  4sqlem14  12982  4sqlem16  12984  2expltfac  13017  ennnfoneleminc  13037  logbgcd1irraplemexp  15698  wilthlem1  15710  perfectlem2  15730  lgsval2lem  15745  lgsval4a  15757  gausslemma2dlem0c  15786  gausslemma2dlem0d  15787  lgseisenlem1  15805  lgseisenlem2  15806  lgsquadlem1  15812  2lgslem1a1  15821  2sqlem3  15852  2sqlem7  15856  2sqlem8  15858  vtxd0nedgbfi  16156