Theorem nn0ge0d 9305

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9274	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  0cc0 7879   ≤ cle 8062  ℕ₀cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-inn 8991  df-n0 9250

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10389  zmodfz  10438  addmodid  10464  modifeq2int  10478  modaddmodlo  10480  modsumfzodifsn  10488  addmodlteq  10490  expnnval  10634  nn0le2msqd  10811  facwordi  10832  faclbnd  10833  faclbnd6  10836  facavg  10838  geolim2  11677  mertenslemi1  11700  eftabs  11821  efcllemp  11823  efaddlem  11839  eftlub  11855  oexpneg  12042  divalglemnn  12083  divalglemnqt  12085  divalglemeunn  12086  divalg2  12091  bitsfzolem  12118  dfgcd2  12181  gcdmultiple  12187  gcdmultiplez  12188  dvdssqlem  12197  nn0seqcvgd  12209  mulgcddvds  12262  isprm5lem  12309  nn0sqrtelqelz  12374  nonsq  12375  phibndlem  12384  dfphi2  12388  modprm0  12423  pythagtriplem3  12436  pythagtriplem10  12438  pythagtriplem6  12439  pythagtriplem7  12440  pythagtriplem12  12444  pythagtriplem14  12446  pcge0  12482  pcprmpw2  12502  pcmptdvds  12514  fldivp1  12517  pcbc  12520  qexpz  12521  pockthlem  12525  pockthg  12526  mul4sqlem  12562  4sqlem12  12571  4sqlem14  12573  4sqlem16  12575  2expltfac  12608  ennnfoneleminc  12628  logbgcd1irraplemexp  15204  wilthlem1  15216  perfectlem2  15236  lgsval2lem  15251  lgsval4a  15263  gausslemma2dlem0c  15292  gausslemma2dlem0d  15293  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem2  15312  lgsquadlem1  15318  2lgslem1a1  15327  2sqlem3  15358  2sqlem7  15362  2sqlem8  15364