Theorem nn0ge0d 9350

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9319	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  0cc0 7924   ≤ cle 8107  ℕ₀cn0 9294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-inn 9036  df-n0 9295

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10440  zmodfz  10489  addmodid  10515  modifeq2int  10529  modaddmodlo  10531  modsumfzodifsn  10539  addmodlteq  10541  expnnval  10685  nn0le2msqd  10862  facwordi  10883  faclbnd  10884  faclbnd6  10887  facavg  10889  geolim2  11765  mertenslemi1  11788  eftabs  11909  efcllemp  11911  efaddlem  11927  eftlub  11943  oexpneg  12130  divalglemnn  12171  divalglemnqt  12173  divalglemeunn  12174  divalg2  12179  bitsfzolem  12207  bitsmod  12209  dfgcd2  12277  gcdmultiple  12283  gcdmultiplez  12284  dvdssqlem  12293  nn0seqcvgd  12305  mulgcddvds  12358  isprm5lem  12405  nn0sqrtelqelz  12470  nonsq  12471  phibndlem  12480  dfphi2  12484  modprm0  12519  pythagtriplem3  12532  pythagtriplem10  12534  pythagtriplem6  12535  pythagtriplem7  12536  pythagtriplem12  12540  pythagtriplem14  12542  pcge0  12578  pcprmpw2  12598  pcmptdvds  12610  fldivp1  12613  pcbc  12616  qexpz  12617  pockthlem  12621  pockthg  12622  mul4sqlem  12658  4sqlem12  12667  4sqlem14  12669  4sqlem16  12671  2expltfac  12704  ennnfoneleminc  12724  logbgcd1irraplemexp  15382  wilthlem1  15394  perfectlem2  15414  lgsval2lem  15429  lgsval4a  15441  gausslemma2dlem0c  15470  gausslemma2dlem0d  15471  lgseisenlem1  15489  lgseisenlem2  15490  lgsquadlem1  15496  2lgslem1a1  15505  2sqlem3  15536  2sqlem7  15540  2sqlem8  15542