Theorem nn0ge0d 9232

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9201	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  0cc0 7811   ≤ cle 7993  ℕ₀cn0 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-inn 8920  df-n0 9177

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10299  zmodfz  10346  addmodid  10372  modifeq2int  10386  modaddmodlo  10388  modsumfzodifsn  10396  addmodlteq  10398  expnnval  10523  nn0le2msqd  10699  facwordi  10720  faclbnd  10721  faclbnd6  10724  facavg  10726  geolim2  11520  mertenslemi1  11543  eftabs  11664  efcllemp  11666  efaddlem  11682  eftlub  11698  oexpneg  11882  divalglemnn  11923  divalglemnqt  11925  divalglemeunn  11926  divalg2  11931  dfgcd2  12015  gcdmultiple  12021  gcdmultiplez  12022  dvdssqlem  12031  nn0seqcvgd  12041  mulgcddvds  12094  isprm5lem  12141  nn0sqrtelqelz  12206  nonsq  12207  phibndlem  12216  dfphi2  12220  modprm0  12254  pythagtriplem3  12267  pythagtriplem10  12269  pythagtriplem6  12270  pythagtriplem7  12271  pythagtriplem12  12275  pythagtriplem14  12277  pcge0  12312  pcprmpw2  12332  pcmptdvds  12343  fldivp1  12346  pcbc  12349  qexpz  12350  pockthlem  12354  pockthg  12355  mul4sqlem  12391  ennnfoneleminc  12412  logbgcd1irraplemexp  14389  lgsval2lem  14414  lgsval4a  14426  lgseisenlem1  14453  lgseisenlem2  14454  2sqlem3  14467  2sqlem7  14471  2sqlem8  14473