Theorem nn0ge0d 9161

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  0cc0 7744   ≤ cle 7925  ℕ₀cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-cnv 4606  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-inn 8849  df-n0 9106

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10224  zmodfz  10271  addmodid  10297  modifeq2int  10311  modaddmodlo  10313  modsumfzodifsn  10321  addmodlteq  10323  expnnval  10448  nn0le2msqd  10621  facwordi  10642  faclbnd  10643  faclbnd6  10646  facavg  10648  geolim2  11439  mertenslemi1  11462  eftabs  11583  efcllemp  11585  efaddlem  11601  eftlub  11617  oexpneg  11799  divalglemnn  11840  divalglemnqt  11842  divalglemeunn  11843  divalg2  11848  dfgcd2  11932  gcdmultiple  11938  gcdmultiplez  11939  dvdssqlem  11948  nn0seqcvgd  11952  mulgcddvds  12005  nn0sqrtelqelz  12115  nonsq  12116  phibndlem  12125  dfphi2  12129  modprm0  12163  pythagtriplem3  12176  pythagtriplem10  12178  pythagtriplem6  12179  pythagtriplem7  12180  pythagtriplem12  12184  pythagtriplem14  12186  pcge0  12221  pcprmpw2  12241  pcmptdvds  12252  fldivp1  12255  pcbc  12258  qexpz  12259  ennnfoneleminc  12281  logbgcd1irraplemexp  13427