Theorem nn0ge0d 9632

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  0cc0 8185   ≤ cle 8367  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  flqmulnn0  10754  zmodfz  10803  addmodid  10829  modifeq2int  10843  modaddmodlo  10845  modsumfzodifsn  10853  addmodlteq  10855  expnnval  10999  nn0le2msqd  11178  facwordi  11199  faclbnd  11200  faclbnd6  11203  facavg  11205  sshashneg  11302  geolim2  12303  mertenslemi1  12326  eftabs  12447  efcllemp  12449  efaddlem  12465  eftlub  12481  oexpneg  12668  divalglemnn  12709  divalglemnqt  12711  divalglemeunn  12712  divalg2  12717  bitsfzolem  12745  bitsmod  12747  dfgcd2  12815  gcdmultiple  12821  gcdmultiplez  12822  dvdssqlem  12831  nn0seqcvgd  12843  mulgcddvds  12896  isprm5lem  12944  nn0sqrtelqelz  13010  nonsq  13011  phibndlem  13022  dfphi2  13026  modprm0  13061  pythagtriplem3  13074  pythagtriplem10  13076  pythagtriplem6  13077  pythagtriplem7  13078  pythagtriplem12  13082  pythagtriplem14  13084  pcge0  13120  pcprmpw2  13140  pcmptdvds  13152  fldivp1  13155  pcbc  13158  qexpz  13159  pockthlem  13163  pockthg  13164  mul4sqlem  13200  4sqlem12  13209  4sqlem14  13211  4sqlem16  13213  2expltfac  13247  ennnfoneleminc  13359  psrbagcon  15174  psrbaglefifi  15175  psrlidmfi  15208  logbgcd1irraplemexp  16221  pellexlem1  16246  pellexlem2  16247  wilthlem1  16249  chtublem  16312  perfectlem2  16317  bcmono  16321  bposlem5  16332  lgsval2lem  16351  lgsval4a  16363  gausslemma2dlem0c  16392  gausslemma2dlem0d  16393  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgsquadlem1  16418  2lgslem1a1  16427  2sqlem3  16458  2sqlem7  16462  2sqlem8  16464  vtxd0nedgbfi  16762