Theorem nn0ge0d 9263

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  0cc0 7842   ≤ cle 8024  ℕ₀cn0 9207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5900  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-inn 8951  df-n0 9208

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10332  zmodfz  10379  addmodid  10405  modifeq2int  10419  modaddmodlo  10421  modsumfzodifsn  10429  addmodlteq  10431  expnnval  10557  nn0le2msqd  10734  facwordi  10755  faclbnd  10756  faclbnd6  10759  facavg  10761  geolim2  11555  mertenslemi1  11578  eftabs  11699  efcllemp  11701  efaddlem  11717  eftlub  11733  oexpneg  11917  divalglemnn  11958  divalglemnqt  11960  divalglemeunn  11961  divalg2  11966  dfgcd2  12050  gcdmultiple  12056  gcdmultiplez  12057  dvdssqlem  12066  nn0seqcvgd  12076  mulgcddvds  12129  isprm5lem  12176  nn0sqrtelqelz  12241  nonsq  12242  phibndlem  12251  dfphi2  12255  modprm0  12289  pythagtriplem3  12302  pythagtriplem10  12304  pythagtriplem6  12305  pythagtriplem7  12306  pythagtriplem12  12310  pythagtriplem14  12312  pcge0  12348  pcprmpw2  12368  pcmptdvds  12380  fldivp1  12383  pcbc  12386  qexpz  12387  pockthlem  12391  pockthg  12392  mul4sqlem  12428  4sqlem12  12437  4sqlem14  12439  4sqlem16  12441  ennnfoneleminc  12465  logbgcd1irraplemexp  14863  wilthlem1  14875  lgsval2lem  14889  lgsval4a  14901  lgseisenlem1  14928  lgseisenlem2  14929  2sqlem3  14942  2sqlem7  14946  2sqlem8  14948