Theorem nn0ge0d 9371

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9340	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  0cc0 7945   ≤ cle 8128  ℕ₀cn0 9315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-cnv 4691  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-inn 9057  df-n0 9316

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10464  zmodfz  10513  addmodid  10539  modifeq2int  10553  modaddmodlo  10555  modsumfzodifsn  10563  addmodlteq  10565  expnnval  10709  nn0le2msqd  10886  facwordi  10907  faclbnd  10908  faclbnd6  10911  facavg  10913  geolim2  11898  mertenslemi1  11921  eftabs  12042  efcllemp  12044  efaddlem  12060  eftlub  12076  oexpneg  12263  divalglemnn  12304  divalglemnqt  12306  divalglemeunn  12307  divalg2  12312  bitsfzolem  12340  bitsmod  12342  dfgcd2  12410  gcdmultiple  12416  gcdmultiplez  12417  dvdssqlem  12426  nn0seqcvgd  12438  mulgcddvds  12491  isprm5lem  12538  nn0sqrtelqelz  12603  nonsq  12604  phibndlem  12613  dfphi2  12617  modprm0  12652  pythagtriplem3  12665  pythagtriplem10  12667  pythagtriplem6  12668  pythagtriplem7  12669  pythagtriplem12  12673  pythagtriplem14  12675  pcge0  12711  pcprmpw2  12731  pcmptdvds  12743  fldivp1  12746  pcbc  12749  qexpz  12750  pockthlem  12754  pockthg  12755  mul4sqlem  12791  4sqlem12  12800  4sqlem14  12802  4sqlem16  12804  2expltfac  12837  ennnfoneleminc  12857  logbgcd1irraplemexp  15515  wilthlem1  15527  perfectlem2  15547  lgsval2lem  15562  lgsval4a  15574  gausslemma2dlem0c  15603  gausslemma2dlem0d  15604  lgseisenlem1  15622  lgseisenlem2  15623  lgsquadlem1  15629  2lgslem1a1  15638  2sqlem3  15669  2sqlem7  15673  2sqlem8  15675