Theorem nn0ge0d 9436

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9405	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  0cc0 8010   ≤ cle 8193  ℕ₀cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-inn 9122  df-n0 9381

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10531  zmodfz  10580  addmodid  10606  modifeq2int  10620  modaddmodlo  10622  modsumfzodifsn  10630  addmodlteq  10632  expnnval  10776  nn0le2msqd  10953  facwordi  10974  faclbnd  10975  faclbnd6  10978  facavg  10980  geolim2  12038  mertenslemi1  12061  eftabs  12182  efcllemp  12184  efaddlem  12200  eftlub  12216  oexpneg  12403  divalglemnn  12444  divalglemnqt  12446  divalglemeunn  12447  divalg2  12452  bitsfzolem  12480  bitsmod  12482  dfgcd2  12550  gcdmultiple  12556  gcdmultiplez  12557  dvdssqlem  12566  nn0seqcvgd  12578  mulgcddvds  12631  isprm5lem  12678  nn0sqrtelqelz  12743  nonsq  12744  phibndlem  12753  dfphi2  12757  modprm0  12792  pythagtriplem3  12805  pythagtriplem10  12807  pythagtriplem6  12808  pythagtriplem7  12809  pythagtriplem12  12813  pythagtriplem14  12815  pcge0  12851  pcprmpw2  12871  pcmptdvds  12883  fldivp1  12886  pcbc  12889  qexpz  12890  pockthlem  12894  pockthg  12895  mul4sqlem  12931  4sqlem12  12940  4sqlem14  12942  4sqlem16  12944  2expltfac  12977  ennnfoneleminc  12997  logbgcd1irraplemexp  15657  wilthlem1  15669  perfectlem2  15689  lgsval2lem  15704  lgsval4a  15716  gausslemma2dlem0c  15745  gausslemma2dlem0d  15746  lgseisenlem1  15764  lgseisenlem2  15765  lgsquadlem1  15771  2lgslem1a1  15780  2sqlem3  15811  2sqlem7  15815  2sqlem8  15817