Theorem nn0ge0d 9191

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  0cc0 7774   ≤ cle 7955  ℕ₀cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10255  zmodfz  10302  addmodid  10328  modifeq2int  10342  modaddmodlo  10344  modsumfzodifsn  10352  addmodlteq  10354  expnnval  10479  nn0le2msqd  10653  facwordi  10674  faclbnd  10675  faclbnd6  10678  facavg  10680  geolim2  11475  mertenslemi1  11498  eftabs  11619  efcllemp  11621  efaddlem  11637  eftlub  11653  oexpneg  11836  divalglemnn  11877  divalglemnqt  11879  divalglemeunn  11880  divalg2  11885  dfgcd2  11969  gcdmultiple  11975  gcdmultiplez  11976  dvdssqlem  11985  nn0seqcvgd  11995  mulgcddvds  12048  isprm5lem  12095  nn0sqrtelqelz  12160  nonsq  12161  phibndlem  12170  dfphi2  12174  modprm0  12208  pythagtriplem3  12221  pythagtriplem10  12223  pythagtriplem6  12224  pythagtriplem7  12225  pythagtriplem12  12229  pythagtriplem14  12231  pcge0  12266  pcprmpw2  12286  pcmptdvds  12297  fldivp1  12300  pcbc  12303  qexpz  12304  pockthlem  12308  pockthg  12309  mul4sqlem  12345  ennnfoneleminc  12366  logbgcd1irraplemexp  13680  lgsval2lem  13705  lgsval4a  13717  2sqlem3  13747  2sqlem7  13751  2sqlem8  13753