Theorem nn0ge0d 9324

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9293	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  0cc0 7898   ≤ cle 8081  ℕ₀cn0 9268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-inn 9010  df-n0 9269

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10408  zmodfz  10457  addmodid  10483  modifeq2int  10497  modaddmodlo  10499  modsumfzodifsn  10507  addmodlteq  10509  expnnval  10653  nn0le2msqd  10830  facwordi  10851  faclbnd  10852  faclbnd6  10855  facavg  10857  geolim2  11696  mertenslemi1  11719  eftabs  11840  efcllemp  11842  efaddlem  11858  eftlub  11874  oexpneg  12061  divalglemnn  12102  divalglemnqt  12104  divalglemeunn  12105  divalg2  12110  bitsfzolem  12138  bitsmod  12140  dfgcd2  12208  gcdmultiple  12214  gcdmultiplez  12215  dvdssqlem  12224  nn0seqcvgd  12236  mulgcddvds  12289  isprm5lem  12336  nn0sqrtelqelz  12401  nonsq  12402  phibndlem  12411  dfphi2  12415  modprm0  12450  pythagtriplem3  12463  pythagtriplem10  12465  pythagtriplem6  12466  pythagtriplem7  12467  pythagtriplem12  12471  pythagtriplem14  12473  pcge0  12509  pcprmpw2  12529  pcmptdvds  12541  fldivp1  12544  pcbc  12547  qexpz  12548  pockthlem  12552  pockthg  12553  mul4sqlem  12589  4sqlem12  12598  4sqlem14  12600  4sqlem16  12602  2expltfac  12635  ennnfoneleminc  12655  logbgcd1irraplemexp  15312  wilthlem1  15324  perfectlem2  15344  lgsval2lem  15359  lgsval4a  15371  gausslemma2dlem0c  15400  gausslemma2dlem0d  15401  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgsquadlem1  15426  2lgslem1a1  15435  2sqlem3  15466  2sqlem7  15470  2sqlem8  15472