Theorem nn0ge0d 9421

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9390	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  0cc0 7995   ≤ cle 8178  ℕ₀cn0 9365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-inn 9107  df-n0 9366

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10514  zmodfz  10563  addmodid  10589  modifeq2int  10603  modaddmodlo  10605  modsumfzodifsn  10613  addmodlteq  10615  expnnval  10759  nn0le2msqd  10936  facwordi  10957  faclbnd  10958  faclbnd6  10961  facavg  10963  geolim2  12018  mertenslemi1  12041  eftabs  12162  efcllemp  12164  efaddlem  12180  eftlub  12196  oexpneg  12383  divalglemnn  12424  divalglemnqt  12426  divalglemeunn  12427  divalg2  12432  bitsfzolem  12460  bitsmod  12462  dfgcd2  12530  gcdmultiple  12536  gcdmultiplez  12537  dvdssqlem  12546  nn0seqcvgd  12558  mulgcddvds  12611  isprm5lem  12658  nn0sqrtelqelz  12723  nonsq  12724  phibndlem  12733  dfphi2  12737  modprm0  12772  pythagtriplem3  12785  pythagtriplem10  12787  pythagtriplem6  12788  pythagtriplem7  12789  pythagtriplem12  12793  pythagtriplem14  12795  pcge0  12831  pcprmpw2  12851  pcmptdvds  12863  fldivp1  12866  pcbc  12869  qexpz  12870  pockthlem  12874  pockthg  12875  mul4sqlem  12911  4sqlem12  12920  4sqlem14  12922  4sqlem16  12924  2expltfac  12957  ennnfoneleminc  12977  logbgcd1irraplemexp  15636  wilthlem1  15648  perfectlem2  15668  lgsval2lem  15683  lgsval4a  15695  gausslemma2dlem0c  15724  gausslemma2dlem0d  15725  lgseisenlem1  15743  lgseisenlem2  15744  lgsquadlem1  15750  2lgslem1a1  15759  2sqlem3  15790  2sqlem7  15794  2sqlem8  15796