Theorem nn0ge0d 9623

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9588	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  0cc0 8179   ≤ cle 8361  ℕ₀cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9305  df-n0 9564

This theorem is used by:  flqmulnn0  10734  zmodfz  10783  addmodid  10809  modifeq2int  10823  modaddmodlo  10825  modsumfzodifsn  10833  addmodlteq  10835  expnnval  10979  nn0le2msqd  11157  facwordi  11178  faclbnd  11179  faclbnd6  11182  facavg  11184  sshashneg  11281  geolim2  12279  mertenslemi1  12302  eftabs  12423  efcllemp  12425  efaddlem  12441  eftlub  12457  oexpneg  12644  divalglemnn  12685  divalglemnqt  12687  divalglemeunn  12688  divalg2  12693  bitsfzolem  12721  bitsmod  12723  dfgcd2  12791  gcdmultiple  12797  gcdmultiplez  12798  dvdssqlem  12807  nn0seqcvgd  12819  mulgcddvds  12872  isprm5lem  12919  nn0sqrtelqelz  12984  nonsq  12985  phibndlem  12994  dfphi2  12998  modprm0  13033  pythagtriplem3  13046  pythagtriplem10  13048  pythagtriplem6  13049  pythagtriplem7  13050  pythagtriplem12  13054  pythagtriplem14  13056  pcge0  13092  pcprmpw2  13112  pcmptdvds  13124  fldivp1  13127  pcbc  13130  qexpz  13131  pockthlem  13135  pockthg  13136  mul4sqlem  13172  4sqlem12  13181  4sqlem14  13183  4sqlem16  13185  2expltfac  13218  ennnfoneleminc  13302  psrbagcon  15062  logbgcd1irraplemexp  16070  pellexlem1  16091  pellexlem2  16092  wilthlem1  16094  perfectlem2  16114  lgsval2lem  16129  lgsval4a  16141  gausslemma2dlem0c  16170  gausslemma2dlem0d  16171  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgsquadlem1  16196  2lgslem1a1  16205  2sqlem3  16236  2sqlem7  16240  2sqlem8  16242  vtxd0nedgbfi  16540