Theorem nn0ge0d 9178

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 9147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  0cc0 7761   ≤ cle 7942  ℕ₀cn0 9122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5853  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-inn 8866  df-n0 9123

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10242  zmodfz  10289  addmodid  10315  modifeq2int  10329  modaddmodlo  10331  modsumfzodifsn  10339  addmodlteq  10341  expnnval  10466  nn0le2msqd  10640  facwordi  10661  faclbnd  10662  faclbnd6  10665  facavg  10667  geolim2  11462  mertenslemi1  11485  eftabs  11606  efcllemp  11608  efaddlem  11624  eftlub  11640  oexpneg  11823  divalglemnn  11864  divalglemnqt  11866  divalglemeunn  11867  divalg2  11872  dfgcd2  11956  gcdmultiple  11962  gcdmultiplez  11963  dvdssqlem  11972  nn0seqcvgd  11982  mulgcddvds  12035  isprm5lem  12082  nn0sqrtelqelz  12147  nonsq  12148  phibndlem  12157  dfphi2  12161  modprm0  12195  pythagtriplem3  12208  pythagtriplem10  12210  pythagtriplem6  12211  pythagtriplem7  12212  pythagtriplem12  12216  pythagtriplem14  12218  pcge0  12253  pcprmpw2  12273  pcmptdvds  12284  fldivp1  12287  pcbc  12290  qexpz  12291  pockthlem  12295  pockthg  12296  mul4sqlem  12332  ennnfoneleminc  12353  logbgcd1irraplemexp  13639  lgsval2lem  13664  lgsval4a  13676  2sqlem3  13706  2sqlem7  13710  2sqlem8  13712