Theorem zq 9719

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2198	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9350	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9020	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2868	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2592	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2525	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9715	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  (class class class)co 5925  1c1 7899   / cdiv 8718  ℕcn 9009  ℤcz 9345  ℚcq 9712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-z 9346  df-q 9713

This theorem is referenced by:  zssq  9720  qdivcl  9736  irrmul  9740  irrmulap  9741  qbtwnz  10360  qbtwnxr  10366  flqlt  10392  flid  10393  flqltnz  10396  flqbi2  10400  flqaddz  10406  flqmulnn0  10408  ceilid  10426  flqeqceilz  10429  flqdiv  10432  modqcl  10437  mulqmod0  10441  modqfrac  10448  zmod10  10451  modqmulnn  10453  zmodcl  10455  zmodfz  10457  zmodid2  10463  q0mod  10466  q1mod  10467  modqcyc  10470  mulp1mod1  10476  modqmuladd  10477  modqmuladdim  10478  modqmuladdnn0  10479  m1modnnsub1  10481  addmodid  10483  modqm1p1mod0  10486  modqltm1p1mod  10487  modqmul1  10488  modqmul12d  10489  q2txmodxeq0  10495  modifeq2int  10497  modaddmodup  10498  modaddmodlo  10499  modqaddmulmod  10502  modqdi  10503  modqsubdir  10504  modsumfzodifsn  10507  addmodlteq  10509  qexpcl  10666  qexpclz  10671  iexpcyc  10755  qsqeqor  10761  facavg  10857  bcval  10860  qabsor  11259  modfsummodlemstep  11641  sinltxirr  11945  egt2lt3  11964  dvdsval3  11975  p1modz1  11978  moddvds  11983  modm1div  11984  absdvdsb  11993  dvdsabsb  11994  dvdslelemd  12027  dvdsmod  12046  mulmoddvds  12047  divalglemnn  12102  divalgmod  12111  fldivndvdslt  12121  bitsfzo  12139  bitsmod  12140  bitsinv1lem  12145  bitsinv1  12146  gcdabs  12182  gcdabs1  12183  modgcd  12185  bezoutlemnewy  12190  bezoutlemstep  12191  eucalglt  12252  lcmabs  12271  sqrt2irraplemnn  12374  nn0sqrtelqelz  12401  crth  12419  phimullem  12420  eulerthlema  12425  eulerthlemh  12426  fermltl  12429  prmdiv  12430  prmdiveq  12431  odzdvds  12441  vfermltl  12447  powm2modprm  12448  modprm0  12450  modprmn0modprm0  12452  pceu  12491  pczpre  12493  pcdiv  12498  pc0  12500  pcqdiv  12503  pcrec  12504  pcexp  12505  pcxcl  12507  pcxqcl  12508  pcdvdstr  12523  pcgcd1  12524  pc2dvds  12526  pc11  12527  pcaddlem  12535  pcadd  12536  pcadd2  12537  fldivp1  12544  qexpz  12548  4sqlem5  12578  4sqlem6  12579  4sqlem10  12583  4sqlem12  12598  modxai  12612  modsubi  12615  mulgmodid  13369  znf1o  14285  2logb9irrALT  15318  2irrexpq  15320  2irrexpqap  15322  wilthlem1  15324  lgslem1  15349  lgsvalmod  15368  lgsneg  15373  lgsmod  15375  lgsdir2lem4  15380  lgsdirprm  15383  lgsdilem2  15385  lgsne0  15387  gausslemma2dlem0i  15406  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem1cl  15408  gausslemma2dlem1f1o  15409  gausslemma2dlem4  15413  gausslemma2dlem5a  15414  gausslemma2dlem6  15416  gausslemma2d  15418  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem3  15421  lgseisenlem4  15422  lgseisen  15423  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  m1lgs  15434  2lgslem1a1  15435  apdifflemr  15804  apdiff  15805