Theorem zq 9717

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2198	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9018	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2868	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2592	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2525	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9713	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  (class class class)co 5925  1c1 7897   / cdiv 8716  ℕcn 9007  ℤcz 9343  ℚcq 9710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-z 9344  df-q 9711

This theorem is referenced by:  zssq  9718  qdivcl  9734  irrmul  9738  irrmulap  9739  qbtwnz  10358  qbtwnxr  10364  flqlt  10390  flid  10391  flqltnz  10394  flqbi2  10398  flqaddz  10404  flqmulnn0  10406  ceilid  10424  flqeqceilz  10427  flqdiv  10430  modqcl  10435  mulqmod0  10439  modqfrac  10446  zmod10  10449  modqmulnn  10451  zmodcl  10453  zmodfz  10455  zmodid2  10461  q0mod  10464  q1mod  10465  modqcyc  10468  mulp1mod1  10474  modqmuladd  10475  modqmuladdim  10476  modqmuladdnn0  10477  m1modnnsub1  10479  addmodid  10481  modqm1p1mod0  10484  modqltm1p1mod  10485  modqmul1  10486  modqmul12d  10487  q2txmodxeq0  10493  modifeq2int  10495  modaddmodup  10496  modaddmodlo  10497  modqaddmulmod  10500  modqdi  10501  modqsubdir  10502  modsumfzodifsn  10505  addmodlteq  10507  qexpcl  10664  qexpclz  10669  iexpcyc  10753  qsqeqor  10759  facavg  10855  bcval  10858  qabsor  11257  modfsummodlemstep  11639  sinltxirr  11943  egt2lt3  11962  dvdsval3  11973  p1modz1  11976  moddvds  11981  modm1div  11982  absdvdsb  11991  dvdsabsb  11992  dvdslelemd  12025  dvdsmod  12044  mulmoddvds  12045  divalglemnn  12100  divalgmod  12109  fldivndvdslt  12119  bitsfzo  12137  bitsmod  12138  bitsinv1lem  12143  bitsinv1  12144  gcdabs  12180  gcdabs1  12181  modgcd  12183  bezoutlemnewy  12188  bezoutlemstep  12189  eucalglt  12250  lcmabs  12269  sqrt2irraplemnn  12372  nn0sqrtelqelz  12399  crth  12417  phimullem  12418  eulerthlema  12423  eulerthlemh  12424  fermltl  12427  prmdiv  12428  prmdiveq  12429  odzdvds  12439  vfermltl  12445  powm2modprm  12446  modprm0  12448  modprmn0modprm0  12450  pceu  12489  pczpre  12491  pcdiv  12496  pc0  12498  pcqdiv  12501  pcrec  12502  pcexp  12503  pcxcl  12505  pcxqcl  12506  pcdvdstr  12521  pcgcd1  12522  pc2dvds  12524  pc11  12525  pcaddlem  12533  pcadd  12534  pcadd2  12535  fldivp1  12542  qexpz  12546  4sqlem5  12576  4sqlem6  12577  4sqlem10  12581  4sqlem12  12596  modxai  12610  modsubi  12613  mulgmodid  13367  znf1o  14283  2logb9irrALT  15294  2irrexpq  15296  2irrexpqap  15298  wilthlem1  15300  lgslem1  15325  lgsvalmod  15344  lgsneg  15349  lgsmod  15351  lgsdir2lem4  15356  lgsdirprm  15359  lgsdilem2  15361  lgsne0  15363  gausslemma2dlem0i  15382  gausslemma2dlem1a  15383  gausslemma2dlem1cl  15384  gausslemma2dlem1f1o  15385  gausslemma2dlem4  15389  gausslemma2dlem5a  15390  gausslemma2dlem6  15392  gausslemma2d  15394  lgseisenlem1  15395  lgseisenlem3  15397  lgseisenlem4  15398  lgseisen  15399  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  m1lgs  15410  2lgslem1a1  15411  apdifflemr  15778  apdiff  15779