Theorem zq 9628

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8739	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2189	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 8932	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2189	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2843	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2572	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2505	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9624	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  (class class class)co 5877  1c1 7814   / cdiv 8631  ℕcn 8921  ℤcz 9255  ℚcq 9621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-z 9256  df-q 9622

This theorem is referenced by:  zssq  9629  qdivcl  9645  irrmul  9649  qbtwnz  10254  qbtwnxr  10260  flqlt  10285  flid  10286  flqltnz  10289  flqbi2  10293  flqaddz  10299  flqmulnn0  10301  ceilid  10317  flqeqceilz  10320  flqdiv  10323  modqcl  10328  mulqmod0  10332  modqfrac  10339  zmod10  10342  modqmulnn  10344  zmodcl  10346  zmodfz  10348  zmodid2  10354  q0mod  10357  q1mod  10358  modqcyc  10361  mulp1mod1  10367  modqmuladd  10368  modqmuladdim  10369  modqmuladdnn0  10370  m1modnnsub1  10372  addmodid  10374  modqm1p1mod0  10377  modqltm1p1mod  10378  modqmul1  10379  modqmul12d  10380  q2txmodxeq0  10386  modifeq2int  10388  modaddmodup  10389  modaddmodlo  10390  modqaddmulmod  10393  modqdi  10394  modqsubdir  10395  modsumfzodifsn  10398  addmodlteq  10400  qexpcl  10538  qexpclz  10543  iexpcyc  10627  qsqeqor  10633  facavg  10728  bcval  10731  qabsor  11086  modfsummodlemstep  11467  egt2lt3  11789  dvdsval3  11800  p1modz1  11803  moddvds  11808  modm1div  11809  absdvdsb  11818  dvdsabsb  11819  dvdslelemd  11851  dvdsmod  11870  mulmoddvds  11871  divalglemnn  11925  divalgmod  11934  fldivndvdslt  11942  gcdabs  11991  gcdabs1  11992  modgcd  11994  bezoutlemnewy  11999  bezoutlemstep  12000  eucalglt  12059  lcmabs  12078  sqrt2irraplemnn  12181  nn0sqrtelqelz  12208  crth  12226  phimullem  12227  eulerthlema  12232  eulerthlemh  12233  fermltl  12236  prmdiv  12237  prmdiveq  12238  odzdvds  12247  vfermltl  12253  powm2modprm  12254  modprm0  12256  modprmn0modprm0  12258  pceu  12297  pczpre  12299  pcdiv  12304  pc0  12306  pcqdiv  12309  pcrec  12310  pcexp  12311  pcxcl  12313  pcdvdstr  12328  pcgcd1  12329  pc2dvds  12331  pc11  12332  pcaddlem  12340  pcadd  12341  fldivp1  12348  qexpz  12352  4sqlem5  12382  4sqlem6  12383  4sqlem10  12387  mulgmodid  13027  2logb9irrALT  14431  2irrexpq  14433  2irrexpqap  14435  lgslem1  14440  lgsvalmod  14459  lgsneg  14464  lgsmod  14466  lgsdir2lem4  14471  lgsdirprm  14474  lgsdilem2  14476  lgsne0  14478  lgseisenlem1  14489  m1lgs  14491  apdifflemr  14834  apdiff  14835