Theorem zq 9833

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8938	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2241	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9132	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2241	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2907	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2625	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2558	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9829	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  (class class class)co 6007  1c1 8011   / cdiv 8830  ℕcn 9121  ℤcz 9457  ℚcq 9826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-z 9458  df-q 9827

This theorem is referenced by:  zssq  9834  qdivcl  9850  irrmul  9854  irrmulap  9855  qbtwnz  10483  qbtwnxr  10489  flqlt  10515  flid  10516  flqltnz  10519  flqbi2  10523  flqaddz  10529  flqmulnn0  10531  ceilid  10549  flqeqceilz  10552  flqdiv  10555  modqcl  10560  mulqmod0  10564  modqfrac  10571  zmod10  10574  modqmulnn  10576  zmodcl  10578  zmodfz  10580  zmodid2  10586  q0mod  10589  q1mod  10590  modqcyc  10593  mulp1mod1  10599  modqmuladd  10600  modqmuladdim  10601  modqmuladdnn0  10602  m1modnnsub1  10604  addmodid  10606  modqm1p1mod0  10609  modqltm1p1mod  10610  modqmul1  10611  modqmul12d  10612  q2txmodxeq0  10618  modifeq2int  10620  modaddmodup  10621  modaddmodlo  10622  modqaddmulmod  10625  modqdi  10626  modqsubdir  10627  modsumfzodifsn  10630  addmodlteq  10632  qexpcl  10789  qexpclz  10794  iexpcyc  10878  qsqeqor  10884  facavg  10980  bcval  10983  qabsor  11601  modfsummodlemstep  11983  sinltxirr  12287  egt2lt3  12306  dvdsval3  12317  p1modz1  12320  moddvds  12325  modm1div  12326  absdvdsb  12335  dvdsabsb  12336  dvdslelemd  12369  dvdsmod  12388  mulmoddvds  12389  divalglemnn  12444  divalgmod  12453  fldivndvdslt  12463  bitsfzo  12481  bitsmod  12482  bitsinv1lem  12487  bitsinv1  12488  gcdabs  12524  gcdabs1  12525  modgcd  12527  bezoutlemnewy  12532  bezoutlemstep  12533  eucalglt  12594  lcmabs  12613  sqrt2irraplemnn  12716  nn0sqrtelqelz  12743  crth  12761  phimullem  12762  eulerthlema  12767  eulerthlemh  12768  fermltl  12771  prmdiv  12772  prmdiveq  12773  odzdvds  12783  vfermltl  12789  powm2modprm  12790  modprm0  12792  modprmn0modprm0  12794  pceu  12833  pczpre  12835  pcdiv  12840  pc0  12842  pcqdiv  12845  pcrec  12846  pcexp  12847  pcxcl  12849  pcxqcl  12850  pcdvdstr  12865  pcgcd1  12866  pc2dvds  12868  pc11  12869  pcaddlem  12877  pcadd  12878  pcadd2  12879  fldivp1  12886  qexpz  12890  4sqlem5  12920  4sqlem6  12921  4sqlem10  12925  4sqlem12  12940  modxai  12954  modsubi  12957  mulgmodid  13713  znf1o  14630  2logb9irrALT  15663  2irrexpq  15665  2irrexpqap  15667  wilthlem1  15669  lgslem1  15694  lgsvalmod  15713  lgsneg  15718  lgsmod  15720  lgsdir2lem4  15725  lgsdirprm  15728  lgsdilem2  15730  lgsne0  15732  gausslemma2dlem0i  15751  gausslemma2dlem1a  15752  gausslemma2dlem1cl  15753  gausslemma2dlem1f1o  15754  gausslemma2dlem4  15758  gausslemma2dlem5a  15759  gausslemma2dlem6  15761  gausslemma2d  15763  lgseisenlem1  15764  lgseisenlem3  15766  lgseisenlem4  15767  lgseisen  15768  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  m1lgs  15779  2lgslem1a1  15780  apdifflemr  16475  apdiff  16476