Theorem zq 9585

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2172	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8697	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2182	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 198	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 8889	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2182	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2834	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 422	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	syl6bi 162	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2565	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2498	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9581	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 200	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449  (class class class)co 5853  1c1 7775   / cdiv 8589  ℕcn 8878  ℤcz 9212  ℚcq 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-z 9213  df-q 9579

This theorem is referenced by:  zssq  9586  qdivcl  9602  irrmul  9606  qbtwnz  10208  qbtwnxr  10214  flqlt  10239  flid  10240  flqltnz  10243  flqbi2  10247  flqaddz  10253  flqmulnn0  10255  ceilid  10271  flqeqceilz  10274  flqdiv  10277  modqcl  10282  mulqmod0  10286  modqfrac  10293  zmod10  10296  modqmulnn  10298  zmodcl  10300  zmodfz  10302  zmodid2  10308  q0mod  10311  q1mod  10312  modqcyc  10315  mulp1mod1  10321  modqmuladd  10322  modqmuladdim  10323  modqmuladdnn0  10324  m1modnnsub1  10326  addmodid  10328  modqm1p1mod0  10331  modqltm1p1mod  10332  modqmul1  10333  modqmul12d  10334  q2txmodxeq0  10340  modifeq2int  10342  modaddmodup  10343  modaddmodlo  10344  modqaddmulmod  10347  modqdi  10348  modqsubdir  10349  modsumfzodifsn  10352  addmodlteq  10354  qexpcl  10492  qexpclz  10497  iexpcyc  10580  qsqeqor  10586  facavg  10680  bcval  10683  qabsor  11039  modfsummodlemstep  11420  egt2lt3  11742  dvdsval3  11753  p1modz1  11756  moddvds  11761  modm1div  11762  absdvdsb  11771  dvdsabsb  11772  dvdslelemd  11803  dvdsmod  11822  mulmoddvds  11823  divalglemnn  11877  divalgmod  11886  fldivndvdslt  11894  gcdabs  11943  gcdabs1  11944  modgcd  11946  bezoutlemnewy  11951  bezoutlemstep  11952  eucalglt  12011  lcmabs  12030  sqrt2irraplemnn  12133  nn0sqrtelqelz  12160  crth  12178  phimullem  12179  eulerthlema  12184  eulerthlemh  12185  fermltl  12188  prmdiv  12189  prmdiveq  12190  odzdvds  12199  vfermltl  12205  powm2modprm  12206  modprm0  12208  modprmn0modprm0  12210  pceu  12249  pczpre  12251  pcdiv  12256  pc0  12258  pcqdiv  12261  pcrec  12262  pcexp  12263  pcxcl  12265  pcdvdstr  12280  pcgcd1  12281  pc2dvds  12283  pc11  12284  pcaddlem  12292  pcadd  12293  fldivp1  12300  qexpz  12304  4sqlem5  12334  4sqlem6  12335  4sqlem10  12339  2logb9irrALT  13686  2irrexpq  13688  2irrexpqap  13690  lgslem1  13695  lgsvalmod  13714  lgsneg  13719  lgsmod  13721  lgsdir2lem4  13726  lgsdirprm  13729  lgsdilem2  13731  lgsne0  13733  apdifflemr  14079  apdiff  14080