Theorem zq 9817

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8923	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2241	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9117	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2241	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2907	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2625	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2558	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9813	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  (class class class)co 6000  1c1 7996   / cdiv 8815  ℕcn 9106  ℤcz 9442  ℚcq 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-z 9443  df-q 9811

This theorem is referenced by:  zssq  9818  qdivcl  9834  irrmul  9838  irrmulap  9839  qbtwnz  10466  qbtwnxr  10472  flqlt  10498  flid  10499  flqltnz  10502  flqbi2  10506  flqaddz  10512  flqmulnn0  10514  ceilid  10532  flqeqceilz  10535  flqdiv  10538  modqcl  10543  mulqmod0  10547  modqfrac  10554  zmod10  10557  modqmulnn  10559  zmodcl  10561  zmodfz  10563  zmodid2  10569  q0mod  10572  q1mod  10573  modqcyc  10576  mulp1mod1  10582  modqmuladd  10583  modqmuladdim  10584  modqmuladdnn0  10585  m1modnnsub1  10587  addmodid  10589  modqm1p1mod0  10592  modqltm1p1mod  10593  modqmul1  10594  modqmul12d  10595  q2txmodxeq0  10601  modifeq2int  10603  modaddmodup  10604  modaddmodlo  10605  modqaddmulmod  10608  modqdi  10609  modqsubdir  10610  modsumfzodifsn  10613  addmodlteq  10615  qexpcl  10772  qexpclz  10777  iexpcyc  10861  qsqeqor  10867  facavg  10963  bcval  10966  qabsor  11581  modfsummodlemstep  11963  sinltxirr  12267  egt2lt3  12286  dvdsval3  12297  p1modz1  12300  moddvds  12305  modm1div  12306  absdvdsb  12315  dvdsabsb  12316  dvdslelemd  12349  dvdsmod  12368  mulmoddvds  12369  divalglemnn  12424  divalgmod  12433  fldivndvdslt  12443  bitsfzo  12461  bitsmod  12462  bitsinv1lem  12467  bitsinv1  12468  gcdabs  12504  gcdabs1  12505  modgcd  12507  bezoutlemnewy  12512  bezoutlemstep  12513  eucalglt  12574  lcmabs  12593  sqrt2irraplemnn  12696  nn0sqrtelqelz  12723  crth  12741  phimullem  12742  eulerthlema  12747  eulerthlemh  12748  fermltl  12751  prmdiv  12752  prmdiveq  12753  odzdvds  12763  vfermltl  12769  powm2modprm  12770  modprm0  12772  modprmn0modprm0  12774  pceu  12813  pczpre  12815  pcdiv  12820  pc0  12822  pcqdiv  12825  pcrec  12826  pcexp  12827  pcxcl  12829  pcxqcl  12830  pcdvdstr  12845  pcgcd1  12846  pc2dvds  12848  pc11  12849  pcaddlem  12857  pcadd  12858  pcadd2  12859  fldivp1  12866  qexpz  12870  4sqlem5  12900  4sqlem6  12901  4sqlem10  12905  4sqlem12  12920  modxai  12934  modsubi  12937  mulgmodid  13693  znf1o  14609  2logb9irrALT  15642  2irrexpq  15644  2irrexpqap  15646  wilthlem1  15648  lgslem1  15673  lgsvalmod  15692  lgsneg  15697  lgsmod  15699  lgsdir2lem4  15704  lgsdirprm  15707  lgsdilem2  15709  lgsne0  15711  gausslemma2dlem0i  15730  gausslemma2dlem1a  15731  gausslemma2dlem1cl  15732  gausslemma2dlem1f1o  15733  gausslemma2dlem4  15737  gausslemma2dlem5a  15738  gausslemma2dlem6  15740  gausslemma2d  15742  lgseisenlem1  15743  lgseisenlem3  15745  lgseisenlem4  15746  lgseisen  15747  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  m1lgs  15758  2lgslem1a1  15759  apdifflemr  16374  apdiff  16375