Theorem zq 9860

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8960	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9154	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2243	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2910	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2627	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2560	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  (class class class)co 6018  1c1 8033   / cdiv 8852  ℕcn 9143  ℤcz 9479  ℚcq 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-z 9480  df-q 9854

This theorem is referenced by:  zssq  9861  qdivcl  9877  irrmul  9881  irrmulap  9882  qbtwnz  10512  qbtwnxr  10518  flqlt  10544  flid  10545  flqltnz  10548  flqbi2  10552  flqaddz  10558  flqmulnn0  10560  ceilid  10578  flqeqceilz  10581  flqdiv  10584  modqcl  10589  mulqmod0  10593  modqfrac  10600  zmod10  10603  modqmulnn  10605  zmodcl  10607  zmodfz  10609  zmodid2  10615  q0mod  10618  q1mod  10619  modqcyc  10622  mulp1mod1  10628  modqmuladd  10629  modqmuladdim  10630  modqmuladdnn0  10631  m1modnnsub1  10633  addmodid  10635  modqm1p1mod0  10638  modqltm1p1mod  10639  modqmul1  10640  modqmul12d  10641  q2txmodxeq0  10647  modifeq2int  10649  modaddmodup  10650  modaddmodlo  10651  modqaddmulmod  10654  modqdi  10655  modqsubdir  10656  modsumfzodifsn  10659  addmodlteq  10661  qexpcl  10818  qexpclz  10823  iexpcyc  10907  qsqeqor  10913  facavg  11009  bcval  11012  qabsor  11653  modfsummodlemstep  12036  sinltxirr  12340  egt2lt3  12359  dvdsval3  12370  p1modz1  12373  moddvds  12378  modm1div  12379  absdvdsb  12388  dvdsabsb  12389  dvdslelemd  12422  dvdsmod  12441  mulmoddvds  12442  divalglemnn  12497  divalgmod  12506  fldivndvdslt  12516  bitsfzo  12534  bitsmod  12535  bitsinv1lem  12540  bitsinv1  12541  gcdabs  12577  gcdabs1  12578  modgcd  12580  bezoutlemnewy  12585  bezoutlemstep  12586  eucalglt  12647  lcmabs  12666  sqrt2irraplemnn  12769  nn0sqrtelqelz  12796  crth  12814  phimullem  12815  eulerthlema  12820  eulerthlemh  12821  fermltl  12824  prmdiv  12825  prmdiveq  12826  odzdvds  12836  vfermltl  12842  powm2modprm  12843  modprm0  12845  modprmn0modprm0  12847  pceu  12886  pczpre  12888  pcdiv  12893  pc0  12895  pcqdiv  12898  pcrec  12899  pcexp  12900  pcxcl  12902  pcxqcl  12903  pcdvdstr  12918  pcgcd1  12919  pc2dvds  12921  pc11  12922  pcaddlem  12930  pcadd  12931  pcadd2  12932  fldivp1  12939  qexpz  12943  4sqlem5  12973  4sqlem6  12974  4sqlem10  12978  4sqlem12  12993  modxai  13007  modsubi  13010  mulgmodid  13766  znf1o  14684  2logb9irrALT  15717  2irrexpq  15719  2irrexpqap  15721  wilthlem1  15723  lgslem1  15748  lgsvalmod  15767  lgsneg  15772  lgsmod  15774  lgsdir2lem4  15779  lgsdirprm  15782  lgsdilem2  15784  lgsne0  15786  gausslemma2dlem0i  15805  gausslemma2dlem1a  15806  gausslemma2dlem1cl  15807  gausslemma2dlem1f1o  15808  gausslemma2dlem4  15812  gausslemma2dlem5a  15813  gausslemma2dlem6  15815  gausslemma2d  15817  lgseisenlem1  15818  lgseisenlem3  15820  lgseisenlem4  15821  lgseisen  15822  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  m1lgs  15833  2lgslem1a1  15834  apdifflemr  16702  apdiff  16703  qdiff  16704