ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zq GIF version

Theorem zq 9602
Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
zq (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2179 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝐴 = 𝑥)
2 zcn 9234 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
32div1d 8713 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
43eqeq2d 2189 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
51, 4bitr4id 199 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴𝐴 = (𝑥 / 1)))
6 1nn 8906 . . . . 5 1 ∈ ℕ
7 oveq2 5876 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
87eqeq2d 2189 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
98rspcev 2841 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
106, 9mpan 424 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
115, 10syl6bi 163 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
1211reximia 2572 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13 risset 2505 . 2 (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14 elq 9598 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
1512, 13, 143imtr4i 201 1 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  (class class class)co 5868  1c1 7790   / cdiv 8605  cn 8895  cz 9229  cq 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-z 9230  df-q 9596
This theorem is referenced by:  zssq  9603  qdivcl  9619  irrmul  9623  qbtwnz  10225  qbtwnxr  10231  flqlt  10256  flid  10257  flqltnz  10260  flqbi2  10264  flqaddz  10270  flqmulnn0  10272  ceilid  10288  flqeqceilz  10291  flqdiv  10294  modqcl  10299  mulqmod0  10303  modqfrac  10310  zmod10  10313  modqmulnn  10315  zmodcl  10317  zmodfz  10319  zmodid2  10325  q0mod  10328  q1mod  10329  modqcyc  10332  mulp1mod1  10338  modqmuladd  10339  modqmuladdim  10340  modqmuladdnn0  10341  m1modnnsub1  10343  addmodid  10345  modqm1p1mod0  10348  modqltm1p1mod  10349  modqmul1  10350  modqmul12d  10351  q2txmodxeq0  10357  modifeq2int  10359  modaddmodup  10360  modaddmodlo  10361  modqaddmulmod  10364  modqdi  10365  modqsubdir  10366  modsumfzodifsn  10369  addmodlteq  10371  qexpcl  10509  qexpclz  10514  iexpcyc  10597  qsqeqor  10603  facavg  10697  bcval  10700  qabsor  11055  modfsummodlemstep  11436  egt2lt3  11758  dvdsval3  11769  p1modz1  11772  moddvds  11777  modm1div  11778  absdvdsb  11787  dvdsabsb  11788  dvdslelemd  11819  dvdsmod  11838  mulmoddvds  11839  divalglemnn  11893  divalgmod  11902  fldivndvdslt  11910  gcdabs  11959  gcdabs1  11960  modgcd  11962  bezoutlemnewy  11967  bezoutlemstep  11968  eucalglt  12027  lcmabs  12046  sqrt2irraplemnn  12149  nn0sqrtelqelz  12176  crth  12194  phimullem  12195  eulerthlema  12200  eulerthlemh  12201  fermltl  12204  prmdiv  12205  prmdiveq  12206  odzdvds  12215  vfermltl  12221  powm2modprm  12222  modprm0  12224  modprmn0modprm0  12226  pceu  12265  pczpre  12267  pcdiv  12272  pc0  12274  pcqdiv  12277  pcrec  12278  pcexp  12279  pcxcl  12281  pcdvdstr  12296  pcgcd1  12297  pc2dvds  12299  pc11  12300  pcaddlem  12308  pcadd  12309  fldivp1  12316  qexpz  12320  4sqlem5  12350  4sqlem6  12351  4sqlem10  12355  mulgmodid  12897  2logb9irrALT  14025  2irrexpq  14027  2irrexpqap  14029  lgslem1  14034  lgsvalmod  14053  lgsneg  14058  lgsmod  14060  lgsdir2lem4  14065  lgsdirprm  14068  lgsdilem2  14070  lgsne0  14072  apdifflemr  14418  apdiff  14419
  Copyright terms: Public domain W3C validator