Theorem zq 9564

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2167	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8676	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 198	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 8868	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2830	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 421	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	syl6bi 162	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2561	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2494	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9560	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 200	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445  (class class class)co 5842  1c1 7754   / cdiv 8568  ℕcn 8857  ℤcz 9191  ℚcq 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-z 9192  df-q 9558

This theorem is referenced by:  zssq  9565  qdivcl  9581  irrmul  9585  qbtwnz  10187  qbtwnxr  10193  flqlt  10218  flid  10219  flqltnz  10222  flqbi2  10226  flqaddz  10232  flqmulnn0  10234  ceilid  10250  flqeqceilz  10253  flqdiv  10256  modqcl  10261  mulqmod0  10265  modqfrac  10272  zmod10  10275  modqmulnn  10277  zmodcl  10279  zmodfz  10281  zmodid2  10287  q0mod  10290  q1mod  10291  modqcyc  10294  mulp1mod1  10300  modqmuladd  10301  modqmuladdim  10302  modqmuladdnn0  10303  m1modnnsub1  10305  addmodid  10307  modqm1p1mod0  10310  modqltm1p1mod  10311  modqmul1  10312  modqmul12d  10313  q2txmodxeq0  10319  modifeq2int  10321  modaddmodup  10322  modaddmodlo  10323  modqaddmulmod  10326  modqdi  10327  modqsubdir  10328  modsumfzodifsn  10331  addmodlteq  10333  qexpcl  10471  qexpclz  10476  iexpcyc  10559  qsqeqor  10565  facavg  10659  bcval  10662  qabsor  11017  modfsummodlemstep  11398  egt2lt3  11720  dvdsval3  11731  p1modz1  11734  moddvds  11739  modm1div  11740  absdvdsb  11749  dvdsabsb  11750  dvdslelemd  11781  dvdsmod  11800  mulmoddvds  11801  divalglemnn  11855  divalgmod  11864  fldivndvdslt  11872  gcdabs  11921  gcdabs1  11922  modgcd  11924  bezoutlemnewy  11929  bezoutlemstep  11930  eucalglt  11989  lcmabs  12008  sqrt2irraplemnn  12111  nn0sqrtelqelz  12138  crth  12156  phimullem  12157  eulerthlema  12162  eulerthlemh  12163  fermltl  12166  prmdiv  12167  prmdiveq  12168  odzdvds  12177  vfermltl  12183  powm2modprm  12184  modprm0  12186  modprmn0modprm0  12188  pceu  12227  pczpre  12229  pcdiv  12234  pc0  12236  pcqdiv  12239  pcrec  12240  pcexp  12241  pcxcl  12243  pcdvdstr  12258  pcgcd1  12259  pc2dvds  12261  pc11  12262  pcaddlem  12270  pcadd  12271  fldivp1  12278  qexpz  12282  4sqlem5  12312  4sqlem6  12313  4sqlem10  12317  2logb9irrALT  13532  2irrexpq  13534  2irrexpqap  13536  lgslem1  13541  lgsvalmod  13560  lgsneg  13565  lgsmod  13567  lgsdir2lem4  13572  lgsdirprm  13575  lgsdilem2  13577  lgsne0  13579  apdifflemr  13926  apdiff  13927