Theorem zq 9859

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8959	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9153	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2243	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2910	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2627	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2560	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  (class class class)co 6017  1c1 8032   / cdiv 8851  ℕcn 9142  ℤcz 9478  ℚcq 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-z 9479  df-q 9853

This theorem is referenced by:  zssq  9860  qdivcl  9876  irrmul  9880  irrmulap  9881  qbtwnz  10510  qbtwnxr  10516  flqlt  10542  flid  10543  flqltnz  10546  flqbi2  10550  flqaddz  10556  flqmulnn0  10558  ceilid  10576  flqeqceilz  10579  flqdiv  10582  modqcl  10587  mulqmod0  10591  modqfrac  10598  zmod10  10601  modqmulnn  10603  zmodcl  10605  zmodfz  10607  zmodid2  10613  q0mod  10616  q1mod  10617  modqcyc  10620  mulp1mod1  10626  modqmuladd  10627  modqmuladdim  10628  modqmuladdnn0  10629  m1modnnsub1  10631  addmodid  10633  modqm1p1mod0  10636  modqltm1p1mod  10637  modqmul1  10638  modqmul12d  10639  q2txmodxeq0  10645  modifeq2int  10647  modaddmodup  10648  modaddmodlo  10649  modqaddmulmod  10652  modqdi  10653  modqsubdir  10654  modsumfzodifsn  10657  addmodlteq  10659  qexpcl  10816  qexpclz  10821  iexpcyc  10905  qsqeqor  10911  facavg  11007  bcval  11010  qabsor  11635  modfsummodlemstep  12017  sinltxirr  12321  egt2lt3  12340  dvdsval3  12351  p1modz1  12354  moddvds  12359  modm1div  12360  absdvdsb  12369  dvdsabsb  12370  dvdslelemd  12403  dvdsmod  12422  mulmoddvds  12423  divalglemnn  12478  divalgmod  12487  fldivndvdslt  12497  bitsfzo  12515  bitsmod  12516  bitsinv1lem  12521  bitsinv1  12522  gcdabs  12558  gcdabs1  12559  modgcd  12561  bezoutlemnewy  12566  bezoutlemstep  12567  eucalglt  12628  lcmabs  12647  sqrt2irraplemnn  12750  nn0sqrtelqelz  12777  crth  12795  phimullem  12796  eulerthlema  12801  eulerthlemh  12802  fermltl  12805  prmdiv  12806  prmdiveq  12807  odzdvds  12817  vfermltl  12823  powm2modprm  12824  modprm0  12826  modprmn0modprm0  12828  pceu  12867  pczpre  12869  pcdiv  12874  pc0  12876  pcqdiv  12879  pcrec  12880  pcexp  12881  pcxcl  12883  pcxqcl  12884  pcdvdstr  12899  pcgcd1  12900  pc2dvds  12902  pc11  12903  pcaddlem  12911  pcadd  12912  pcadd2  12913  fldivp1  12920  qexpz  12924  4sqlem5  12954  4sqlem6  12955  4sqlem10  12959  4sqlem12  12974  modxai  12988  modsubi  12991  mulgmodid  13747  znf1o  14664  2logb9irrALT  15697  2irrexpq  15699  2irrexpqap  15701  wilthlem1  15703  lgslem1  15728  lgsvalmod  15747  lgsneg  15752  lgsmod  15754  lgsdir2lem4  15759  lgsdirprm  15762  lgsdilem2  15764  lgsne0  15766  gausslemma2dlem0i  15785  gausslemma2dlem1a  15786  gausslemma2dlem1cl  15787  gausslemma2dlem1f1o  15788  gausslemma2dlem4  15792  gausslemma2dlem5a  15793  gausslemma2dlem6  15795  gausslemma2d  15797  lgseisenlem1  15798  lgseisenlem3  15800  lgseisenlem4  15801  lgseisen  15802  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  m1lgs  15813  2lgslem1a1  15814  apdifflemr  16651  apdiff  16652