Theorem zq 9006

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 8651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
2	1	div1d 8145	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
3	2	eqeq2d 2094	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
4		eqcom 2085	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
5	3, 4	syl6rbbr 197	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 8327	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2094	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2712	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	syl6bi 161	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2462	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2400	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9002	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 199	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∃wrex 2354  (class class class)co 5591  1c1 7254   / cdiv 8037  ℕcn 8316  ℤcz 8646  ℚcq 8999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-z 8647  df-q 9000

This theorem is referenced by:  zssq  9007  qdivcl  9023  irrmul  9027  qbtwnz  9552  qbtwnxr  9558  flqlt  9579  flid  9580  flqltnz  9583  flqbi2  9587  flqaddz  9593  flqmulnn0  9595  ceilid  9611  flqeqceilz  9614  flqdiv  9617  modqcl  9622  mulqmod0  9626  modqfrac  9633  zmod10  9636  modqmulnn  9638  zmodcl  9640  zmodfz  9642  zmodid2  9648  q0mod  9651  q1mod  9652  modqcyc  9655  mulp1mod1  9661  modqmuladd  9662  modqmuladdim  9663  modqmuladdnn0  9664  m1modnnsub1  9666  addmodid  9668  modqm1p1mod0  9671  modqltm1p1mod  9672  modqmul1  9673  modqmul12d  9674  q2txmodxeq0  9680  modifeq2int  9682  modaddmodup  9683  modaddmodlo  9684  modqaddmulmod  9687  modqdi  9688  modqsubdir  9689  modsumfzodifsn  9692  addmodlteq  9694  qexpcl  9808  qexpclz  9813  iexpcyc  9895  facavg  9989  bcval  9992  qabsor  10335  dvdsval3  10580  moddvds  10585  absdvdsb  10594  dvdsabsb  10595  dvdslelemd  10624  dvdsmod  10643  mulmoddvds  10644  divalglemnn  10698  divalgmod  10707  fldivndvdslt  10715  gcdabs  10759  gcdabs1  10760  modgcd  10762  bezoutlemnewy  10765  bezoutlemstep  10766  eucalglt  10819  lcmabs  10838  sqrt2irraplemnn  10937  nn0sqrtelqelz  10964  crth  10980  phimullem  10981