Theorem zq 9747

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8853	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9047	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2217	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2877	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2601	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2534	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9743	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∃wrex 2485  (class class class)co 5944  1c1 7926   / cdiv 8745  ℕcn 9036  ℤcz 9372  ℚcq 9740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-z 9373  df-q 9741

This theorem is referenced by:  zssq  9748  qdivcl  9764  irrmul  9768  irrmulap  9769  qbtwnz  10394  qbtwnxr  10400  flqlt  10426  flid  10427  flqltnz  10430  flqbi2  10434  flqaddz  10440  flqmulnn0  10442  ceilid  10460  flqeqceilz  10463  flqdiv  10466  modqcl  10471  mulqmod0  10475  modqfrac  10482  zmod10  10485  modqmulnn  10487  zmodcl  10489  zmodfz  10491  zmodid2  10497  q0mod  10500  q1mod  10501  modqcyc  10504  mulp1mod1  10510  modqmuladd  10511  modqmuladdim  10512  modqmuladdnn0  10513  m1modnnsub1  10515  addmodid  10517  modqm1p1mod0  10520  modqltm1p1mod  10521  modqmul1  10522  modqmul12d  10523  q2txmodxeq0  10529  modifeq2int  10531  modaddmodup  10532  modaddmodlo  10533  modqaddmulmod  10536  modqdi  10537  modqsubdir  10538  modsumfzodifsn  10541  addmodlteq  10543  qexpcl  10700  qexpclz  10705  iexpcyc  10789  qsqeqor  10795  facavg  10891  bcval  10894  qabsor  11386  modfsummodlemstep  11768  sinltxirr  12072  egt2lt3  12091  dvdsval3  12102  p1modz1  12105  moddvds  12110  modm1div  12111  absdvdsb  12120  dvdsabsb  12121  dvdslelemd  12154  dvdsmod  12173  mulmoddvds  12174  divalglemnn  12229  divalgmod  12238  fldivndvdslt  12248  bitsfzo  12266  bitsmod  12267  bitsinv1lem  12272  bitsinv1  12273  gcdabs  12309  gcdabs1  12310  modgcd  12312  bezoutlemnewy  12317  bezoutlemstep  12318  eucalglt  12379  lcmabs  12398  sqrt2irraplemnn  12501  nn0sqrtelqelz  12528  crth  12546  phimullem  12547  eulerthlema  12552  eulerthlemh  12553  fermltl  12556  prmdiv  12557  prmdiveq  12558  odzdvds  12568  vfermltl  12574  powm2modprm  12575  modprm0  12577  modprmn0modprm0  12579  pceu  12618  pczpre  12620  pcdiv  12625  pc0  12627  pcqdiv  12630  pcrec  12631  pcexp  12632  pcxcl  12634  pcxqcl  12635  pcdvdstr  12650  pcgcd1  12651  pc2dvds  12653  pc11  12654  pcaddlem  12662  pcadd  12663  pcadd2  12664  fldivp1  12671  qexpz  12675  4sqlem5  12705  4sqlem6  12706  4sqlem10  12710  4sqlem12  12725  modxai  12739  modsubi  12742  mulgmodid  13497  znf1o  14413  2logb9irrALT  15446  2irrexpq  15448  2irrexpqap  15450  wilthlem1  15452  lgslem1  15477  lgsvalmod  15496  lgsneg  15501  lgsmod  15503  lgsdir2lem4  15508  lgsdirprm  15511  lgsdilem2  15513  lgsne0  15515  gausslemma2dlem0i  15534  gausslemma2dlem1a  15535  gausslemma2dlem1cl  15536  gausslemma2dlem1f1o  15537  gausslemma2dlem4  15541  gausslemma2dlem5a  15542  gausslemma2dlem6  15544  gausslemma2d  15546  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem3  15549  lgseisenlem4  15550  lgseisen  15551  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555  m1lgs  15562  2lgslem1a1  15563  apdifflemr  15986  apdiff  15987