Theorem zq 9904

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 9002	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9196	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2243	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2911	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2628	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2561	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512  (class class class)co 6028  1c1 8076   / cdiv 8894  ℕcn 9185  ℤcz 9523  ℚcq 9897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-z 9524  df-q 9898

This theorem is referenced by:  zssq  9905  qdivcl  9921  irrmul  9925  irrmulap  9926  qbtwnz  10557  qbtwnxr  10563  flqlt  10589  flid  10590  flqltnz  10593  flqbi2  10597  flqaddz  10603  flqmulnn0  10605  ceilid  10623  flqeqceilz  10626  flqdiv  10629  modqcl  10634  mulqmod0  10638  modqfrac  10645  zmod10  10648  modqmulnn  10650  zmodcl  10652  zmodfz  10654  zmodid2  10660  q0mod  10663  q1mod  10664  modqcyc  10667  mulp1mod1  10673  modqmuladd  10674  modqmuladdim  10675  modqmuladdnn0  10676  m1modnnsub1  10678  addmodid  10680  modqm1p1mod0  10683  modqltm1p1mod  10684  modqmul1  10685  modqmul12d  10686  q2txmodxeq0  10692  modifeq2int  10694  modaddmodup  10695  modaddmodlo  10696  modqaddmulmod  10699  modqdi  10700  modqsubdir  10701  modsumfzodifsn  10704  addmodlteq  10706  qexpcl  10863  qexpclz  10868  iexpcyc  10952  qsqeqor  10958  facavg  11054  bcval  11057  qabsor  11698  modfsummodlemstep  12081  sinltxirr  12385  egt2lt3  12404  dvdsval3  12415  p1modz1  12418  moddvds  12423  modm1div  12424  absdvdsb  12433  dvdsabsb  12434  dvdslelemd  12467  dvdsmod  12486  mulmoddvds  12487  divalglemnn  12542  divalgmod  12551  fldivndvdslt  12561  bitsfzo  12579  bitsmod  12580  bitsinv1lem  12585  bitsinv1  12586  gcdabs  12622  gcdabs1  12623  modgcd  12625  bezoutlemnewy  12630  bezoutlemstep  12631  eucalglt  12692  lcmabs  12711  sqrt2irraplemnn  12814  nn0sqrtelqelz  12841  crth  12859  phimullem  12860  eulerthlema  12865  eulerthlemh  12866  fermltl  12869  prmdiv  12870  prmdiveq  12871  odzdvds  12881  vfermltl  12887  powm2modprm  12888  modprm0  12890  modprmn0modprm0  12892  pceu  12931  pczpre  12933  pcdiv  12938  pc0  12940  pcqdiv  12943  pcrec  12944  pcexp  12945  pcxcl  12947  pcxqcl  12948  pcdvdstr  12963  pcgcd1  12964  pc2dvds  12966  pc11  12967  pcaddlem  12975  pcadd  12976  pcadd2  12977  fldivp1  12984  qexpz  12988  4sqlem5  13018  4sqlem6  13019  4sqlem10  13023  4sqlem12  13038  modxai  13052  modsubi  13055  mulgmodid  13811  znf1o  14730  2logb9irrALT  15768  2irrexpq  15770  2irrexpqap  15772  wilthlem1  15777  lgslem1  15802  lgsvalmod  15821  lgsneg  15826  lgsmod  15828  lgsdir2lem4  15833  lgsdirprm  15836  lgsdilem2  15838  lgsne0  15840  gausslemma2dlem0i  15859  gausslemma2dlem1a  15860  gausslemma2dlem1cl  15861  gausslemma2dlem1f1o  15862  gausslemma2dlem4  15866  gausslemma2dlem5a  15867  gausslemma2dlem6  15869  gausslemma2d  15871  lgseisenlem1  15872  lgseisenlem3  15874  lgseisenlem4  15875  lgseisen  15876  lgsquadlem1  15879  lgsquadlem2  15880  m1lgs  15887  2lgslem1a1  15888  apdifflemr  16762  apdiff  16763  qdiff  16764