Theorem zq 9976

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2236	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 9071	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9265	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2923	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2639	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2572	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9972	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523  (class class class)co 6058  1c1 8144   / cdiv 8963  ℕcn 9254  ℤcz 9594  ℚcq 9969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-z 9595  df-q 9970

This theorem is referenced by:  zssq  9977  qdivcl  9993  irrmul  9997  irrmulap  9998  qbtwnz  10635  qbtwnxr  10641  flqlt  10667  flid  10668  flqltnz  10671  flqbi2  10675  flqaddz  10681  flqmulnn0  10683  ceilid  10701  flqeqceilz  10704  flqdiv  10707  modqcl  10712  mulqmod0  10716  modqfrac  10723  zmod10  10726  modqmulnn  10728  zmodcl  10730  zmodfz  10732  zmodid2  10738  q0mod  10741  q1mod  10742  modqcyc  10745  mulp1mod1  10751  modqmuladd  10752  modqmuladdim  10753  modqmuladdnn0  10754  m1modnnsub1  10756  addmodid  10758  modqm1p1mod0  10761  modqltm1p1mod  10762  modqmul1  10763  modqmul12d  10764  q2txmodxeq0  10770  modifeq2int  10772  modaddmodup  10773  modaddmodlo  10774  modqaddmulmod  10777  modqdi  10778  modqsubdir  10779  modsumfzodifsn  10782  addmodlteq  10784  qexpcl  10941  qexpclz  10946  iexpcyc  11030  qsqeqor  11036  facavg  11133  bcval  11136  qabsor  11785  modfsummodlemstep  12168  sinltxirr  12472  egt2lt3  12491  dvdsval3  12502  p1modz1  12505  moddvds  12510  modm1div  12511  absdvdsb  12520  dvdsabsb  12521  dvdslelemd  12554  dvdsmod  12573  mulmoddvds  12574  divalglemnn  12629  divalgmod  12638  fldivndvdslt  12648  bitsfzo  12666  bitsmod  12667  bitsinv1lem  12672  bitsinv1  12673  gcdabs  12709  gcdabs1  12710  modgcd  12712  bezoutlemnewy  12717  bezoutlemstep  12718  eucalglt  12779  lcmabs  12798  sqrt2irraplemnn  12901  nn0sqrtelqelz  12928  crth  12946  phimullem  12947  eulerthlema  12952  eulerthlemh  12953  fermltl  12956  prmdiv  12957  prmdiveq  12958  odzdvds  12968  vfermltl  12974  powm2modprm  12975  modprm0  12977  modprmn0modprm0  12979  pceu  13018  pczpre  13020  pcdiv  13025  pc0  13027  pcqdiv  13030  pcrec  13031  pcexp  13032  pcxcl  13034  pcxqcl  13035  pcdvdstr  13050  pcgcd1  13051  pc2dvds  13053  pc11  13054  pcaddlem  13062  pcadd  13063  pcadd2  13064  fldivp1  13071  qexpz  13075  4sqlem5  13105  4sqlem6  13106  4sqlem10  13110  4sqlem12  13125  modxai  13139  modsubi  13142  mulgmodid  13914  znf1o  14925  2logb9irrALT  15965  2irrexpq  15967  2irrexpqap  15969  wilthlem1  15974  lgslem1  15999  lgsvalmod  16018  lgsneg  16023  lgsmod  16025  lgsdir2lem4  16030  lgsdirprm  16033  lgsdilem2  16035  lgsne0  16037  gausslemma2dlem0i  16056  gausslemma2dlem1a  16057  gausslemma2dlem1cl  16058  gausslemma2dlem1f1o  16059  gausslemma2dlem4  16063  gausslemma2dlem5a  16064  gausslemma2dlem6  16066  gausslemma2d  16068  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem3  16071  lgseisenlem4  16072  lgseisen  16073  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  m1lgs  16084  2lgslem1a1  16085  apdifflemr  16957  apdiff  16958  qdiff  16959