Theorem zq 10042

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 9118	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9324	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2250	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2929	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2645	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2578	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 10038	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  (class class class)co 6088  1c1 8186   / cdiv 9010  ℕcn 9313  ℤcz 9655  ℚcq 10035

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-z 9656  df-q 10036

This theorem is used by:  zssq  10043  qdivcl  10059  irrmul  10064  irrmulap  10065  qbtwnz  10703  qbtwnxr  10709  flqlt  10738  flaplt  10739  flid  10740  flqltnz  10743  flqbi2  10747  flqaddz  10753  flqmulnn0  10755  ceilid  10773  flqeqceilz  10776  flqdiv  10779  modqcl  10784  mulqmod0  10788  modqfrac  10795  zmod10  10798  modqmulnn  10800  zmodcl  10802  zmodfz  10804  zmodid2  10810  q0mod  10813  q1mod  10814  modqcyc  10817  mulp1mod1  10823  modqmuladd  10824  modqmuladdim  10825  modqmuladdnn0  10826  m1modnnsub1  10828  addmodid  10830  modqm1p1mod0  10833  modqltm1p1mod  10834  modqmul1  10835  modqmul12d  10836  q2txmodxeq0  10842  modifeq2int  10844  modaddmodup  10845  modaddmodlo  10846  modqaddmulmod  10849  modqdi  10850  modqsubdir  10851  modsumfzodifsn  10854  addmodlteq  10856  qexpcl  11013  qexpclz  11018  iexpcyc  11102  qsqeqor  11108  facavg  11206  bcval  11209  qabsor  11863  modfsummodlemstep  12249  sinltxirr  12553  egt2lt3  12572  dvdsval3  12583  p1modz1  12586  moddvds  12591  modm1div  12592  absdvdsb  12601  dvdsabsb  12602  dvdslelemd  12635  dvdsmod  12654  mulmoddvds  12655  divalglemnn  12710  divalgmod  12719  fldivndvdslt  12729  bitsfzo  12747  bitsmod  12748  bitsinv1lem  12753  bitsinv1  12754  gcdabs  12790  gcdabs1  12791  modgcd  12793  bezoutlemnewy  12798  bezoutlemstep  12799  eucalglt  12860  lcmabs  12879  sqrt2irraplemnn  12984  nn0sqrtelqelz  13011  sqrtrirr  13014  crth  13031  phimullem  13032  eulerthlema  13037  eulerthlemh  13038  fermltl  13041  prmdiv  13042  prmdiveq  13043  odzdvds  13053  vfermltl  13059  powm2modprm  13060  modprm0  13062  modprmn0modprm0  13064  pceu  13103  pczpre  13105  pcdiv  13110  pc0  13112  pcqdiv  13115  pcrec  13116  pcexp  13117  pcxcl  13119  pcxqcl  13120  pcdvdstr  13135  pcgcd1  13136  pc2dvds  13138  pc11  13139  pcaddlem  13147  pcadd  13148  pcadd2  13149  fldivp1  13156  qexpz  13160  4sqlem5  13190  4sqlem6  13191  4sqlem10  13195  4sqlem12  13210  modxai  13224  modsubi  13228  mulgmodid  14023  znf1o  15095  2logb9irrALT  16210  2irrexpq  16212  2irrexpqap  16214  zprmlogbaplem2  16216  wilthlem1  16232  ppival2  16249  ppival2g  16250  chtqfl  16258  chtprm  16261  chtnprm  16262  chtdif  16264  ppiqp1le  16267  cht1  16271  ppiqnncl  16278  chtqrpcl  16279  ppiqeq0  16280  ppiqltx  16281  ppiqub  16293  chtublem  16295  chtqub  16296  bposlem6  16316  lgslem1  16324  lgsvalmod  16343  lgsneg  16348  lgsmod  16350  lgsdir2lem4  16355  lgsdirprm  16358  lgsdilem2  16360  lgsne0  16362  gausslemma2dlem0i  16381  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem1cl  16383  gausslemma2dlem1f1o  16384  gausslemma2dlem4  16388  gausslemma2dlem5a  16389  gausslemma2dlem6  16391  gausslemma2d  16393  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem3  16396  lgseisenlem4  16397  lgseisen  16398  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  m1lgs  16409  2lgslem1a1  16410  apdifflemr  17303  apdiff  17304  qdiff  17305