Theorem zq 9043

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 8688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
2	1	div1d 8186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
3	2	eqeq2d 2096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
4		eqcom 2087	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
5	3, 4	syl6rbbr 197	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 8368	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2096	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2715	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	syl6bi 161	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2464	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2402	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9039	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 199	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  ∃wrex 2356  (class class class)co 5613  1c1 7295   / cdiv 8078  ℕcn 8357  ℤcz 8683  ℚcq 9036

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-z 8684  df-q 9037

This theorem is referenced by:  zssq  9044  qdivcl  9060  irrmul  9064  qbtwnz  9591  qbtwnxr  9597  flqlt  9618  flid  9619  flqltnz  9622  flqbi2  9626  flqaddz  9632  flqmulnn0  9634  ceilid  9650  flqeqceilz  9653  flqdiv  9656  modqcl  9661  mulqmod0  9665  modqfrac  9672  zmod10  9675  modqmulnn  9677  zmodcl  9679  zmodfz  9681  zmodid2  9687  q0mod  9690  q1mod  9691  modqcyc  9694  mulp1mod1  9700  modqmuladd  9701  modqmuladdim  9702  modqmuladdnn0  9703  m1modnnsub1  9705  addmodid  9707  modqm1p1mod0  9710  modqltm1p1mod  9711  modqmul1  9712  modqmul12d  9713  q2txmodxeq0  9719  modifeq2int  9721  modaddmodup  9722  modaddmodlo  9723  modqaddmulmod  9726  modqdi  9727  modqsubdir  9728  modsumfzodifsn  9731  addmodlteq  9733  qexpcl  9870  qexpclz  9875  iexpcyc  9957  facavg  10051  bcval  10054  qabsor  10404  dvdsval3  10682  moddvds  10687  absdvdsb  10696  dvdsabsb  10697  dvdslelemd  10726  dvdsmod  10745  mulmoddvds  10746  divalglemnn  10800  divalgmod  10809  fldivndvdslt  10817  gcdabs  10861  gcdabs1  10862  modgcd  10864  bezoutlemnewy  10867  bezoutlemstep  10868  eucalglt  10921  lcmabs  10940  sqrt2irraplemnn  11039  nn0sqrtelqelz  11066  crth  11082  phimullem  11083