Theorem zq 9782

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2209	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8888	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2219	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9082	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2219	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2884	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2603	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2536	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∃wrex 2487  (class class class)co 5967  1c1 7961   / cdiv 8780  ℕcn 9071  ℤcz 9407  ℚcq 9775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-z 9408  df-q 9776

This theorem is referenced by:  zssq  9783  qdivcl  9799  irrmul  9803  irrmulap  9804  qbtwnz  10431  qbtwnxr  10437  flqlt  10463  flid  10464  flqltnz  10467  flqbi2  10471  flqaddz  10477  flqmulnn0  10479  ceilid  10497  flqeqceilz  10500  flqdiv  10503  modqcl  10508  mulqmod0  10512  modqfrac  10519  zmod10  10522  modqmulnn  10524  zmodcl  10526  zmodfz  10528  zmodid2  10534  q0mod  10537  q1mod  10538  modqcyc  10541  mulp1mod1  10547  modqmuladd  10548  modqmuladdim  10549  modqmuladdnn0  10550  m1modnnsub1  10552  addmodid  10554  modqm1p1mod0  10557  modqltm1p1mod  10558  modqmul1  10559  modqmul12d  10560  q2txmodxeq0  10566  modifeq2int  10568  modaddmodup  10569  modaddmodlo  10570  modqaddmulmod  10573  modqdi  10574  modqsubdir  10575  modsumfzodifsn  10578  addmodlteq  10580  qexpcl  10737  qexpclz  10742  iexpcyc  10826  qsqeqor  10832  facavg  10928  bcval  10931  qabsor  11501  modfsummodlemstep  11883  sinltxirr  12187  egt2lt3  12206  dvdsval3  12217  p1modz1  12220  moddvds  12225  modm1div  12226  absdvdsb  12235  dvdsabsb  12236  dvdslelemd  12269  dvdsmod  12288  mulmoddvds  12289  divalglemnn  12344  divalgmod  12353  fldivndvdslt  12363  bitsfzo  12381  bitsmod  12382  bitsinv1lem  12387  bitsinv1  12388  gcdabs  12424  gcdabs1  12425  modgcd  12427  bezoutlemnewy  12432  bezoutlemstep  12433  eucalglt  12494  lcmabs  12513  sqrt2irraplemnn  12616  nn0sqrtelqelz  12643  crth  12661  phimullem  12662  eulerthlema  12667  eulerthlemh  12668  fermltl  12671  prmdiv  12672  prmdiveq  12673  odzdvds  12683  vfermltl  12689  powm2modprm  12690  modprm0  12692  modprmn0modprm0  12694  pceu  12733  pczpre  12735  pcdiv  12740  pc0  12742  pcqdiv  12745  pcrec  12746  pcexp  12747  pcxcl  12749  pcxqcl  12750  pcdvdstr  12765  pcgcd1  12766  pc2dvds  12768  pc11  12769  pcaddlem  12777  pcadd  12778  pcadd2  12779  fldivp1  12786  qexpz  12790  4sqlem5  12820  4sqlem6  12821  4sqlem10  12825  4sqlem12  12840  modxai  12854  modsubi  12857  mulgmodid  13612  znf1o  14528  2logb9irrALT  15561  2irrexpq  15563  2irrexpqap  15565  wilthlem1  15567  lgslem1  15592  lgsvalmod  15611  lgsneg  15616  lgsmod  15618  lgsdir2lem4  15623  lgsdirprm  15626  lgsdilem2  15628  lgsne0  15630  gausslemma2dlem0i  15649  gausslemma2dlem1a  15650  gausslemma2dlem1cl  15651  gausslemma2dlem1f1o  15652  gausslemma2dlem4  15656  gausslemma2dlem5a  15657  gausslemma2dlem6  15659  gausslemma2d  15661  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem3  15664  lgseisenlem4  15665  lgseisen  15666  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  m1lgs  15677  2lgslem1a1  15678  apdifflemr  16188  apdiff  16189