Theorem zq 9691

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8799	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2205	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 8993	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2864	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2589	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2522	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  (class class class)co 5918  1c1 7873   / cdiv 8691  ℕcn 8982  ℤcz 9317  ℚcq 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-z 9318  df-q 9685

This theorem is referenced by:  zssq  9692  qdivcl  9708  irrmul  9712  irrmulap  9713  qbtwnz  10320  qbtwnxr  10326  flqlt  10352  flid  10353  flqltnz  10356  flqbi2  10360  flqaddz  10366  flqmulnn0  10368  ceilid  10386  flqeqceilz  10389  flqdiv  10392  modqcl  10397  mulqmod0  10401  modqfrac  10408  zmod10  10411  modqmulnn  10413  zmodcl  10415  zmodfz  10417  zmodid2  10423  q0mod  10426  q1mod  10427  modqcyc  10430  mulp1mod1  10436  modqmuladd  10437  modqmuladdim  10438  modqmuladdnn0  10439  m1modnnsub1  10441  addmodid  10443  modqm1p1mod0  10446  modqltm1p1mod  10447  modqmul1  10448  modqmul12d  10449  q2txmodxeq0  10455  modifeq2int  10457  modaddmodup  10458  modaddmodlo  10459  modqaddmulmod  10462  modqdi  10463  modqsubdir  10464  modsumfzodifsn  10467  addmodlteq  10469  qexpcl  10626  qexpclz  10631  iexpcyc  10715  qsqeqor  10721  facavg  10817  bcval  10820  qabsor  11219  modfsummodlemstep  11600  sinltxirr  11904  egt2lt3  11923  dvdsval3  11934  p1modz1  11937  moddvds  11942  modm1div  11943  absdvdsb  11952  dvdsabsb  11953  dvdslelemd  11985  dvdsmod  12004  mulmoddvds  12005  divalglemnn  12059  divalgmod  12068  fldivndvdslt  12076  gcdabs  12125  gcdabs1  12126  modgcd  12128  bezoutlemnewy  12133  bezoutlemstep  12134  eucalglt  12195  lcmabs  12214  sqrt2irraplemnn  12317  nn0sqrtelqelz  12344  crth  12362  phimullem  12363  eulerthlema  12368  eulerthlemh  12369  fermltl  12372  prmdiv  12373  prmdiveq  12374  odzdvds  12383  vfermltl  12389  powm2modprm  12390  modprm0  12392  modprmn0modprm0  12394  pceu  12433  pczpre  12435  pcdiv  12440  pc0  12442  pcqdiv  12445  pcrec  12446  pcexp  12447  pcxcl  12449  pcxqcl  12450  pcdvdstr  12465  pcgcd1  12466  pc2dvds  12468  pc11  12469  pcaddlem  12477  pcadd  12478  pcadd2  12479  fldivp1  12486  qexpz  12490  4sqlem5  12520  4sqlem6  12521  4sqlem10  12525  4sqlem12  12540  mulgmodid  13231  znf1o  14139  2logb9irrALT  15106  2irrexpq  15108  2irrexpqap  15110  wilthlem1  15112  lgslem1  15116  lgsvalmod  15135  lgsneg  15140  lgsmod  15142  lgsdir2lem4  15147  lgsdirprm  15150  lgsdilem2  15152  lgsne0  15154  gausslemma2dlem0i  15173  gausslemma2dlem1a  15174  gausslemma2dlem1cl  15175  gausslemma2dlem1f1o  15176  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2dlem5a  15181  gausslemma2dlem6  15183  gausslemma2d  15185  lgseisenlem1  15186  lgseisenlem3  15188  lgseisenlem4  15189  lgseisen  15190  lgsquadlem1  15191  m1lgs  15192  apdifflemr  15537  apdiff  15538