Theorem zq 9700

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2198	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8807	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9001	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2868	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2592	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2525	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  (class class class)co 5922  1c1 7880   / cdiv 8699  ℕcn 8990  ℤcz 9326  ℚcq 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-z 9327  df-q 9694

This theorem is referenced by:  zssq  9701  qdivcl  9717  irrmul  9721  irrmulap  9722  qbtwnz  10341  qbtwnxr  10347  flqlt  10373  flid  10374  flqltnz  10377  flqbi2  10381  flqaddz  10387  flqmulnn0  10389  ceilid  10407  flqeqceilz  10410  flqdiv  10413  modqcl  10418  mulqmod0  10422  modqfrac  10429  zmod10  10432  modqmulnn  10434  zmodcl  10436  zmodfz  10438  zmodid2  10444  q0mod  10447  q1mod  10448  modqcyc  10451  mulp1mod1  10457  modqmuladd  10458  modqmuladdim  10459  modqmuladdnn0  10460  m1modnnsub1  10462  addmodid  10464  modqm1p1mod0  10467  modqltm1p1mod  10468  modqmul1  10469  modqmul12d  10470  q2txmodxeq0  10476  modifeq2int  10478  modaddmodup  10479  modaddmodlo  10480  modqaddmulmod  10483  modqdi  10484  modqsubdir  10485  modsumfzodifsn  10488  addmodlteq  10490  qexpcl  10647  qexpclz  10652  iexpcyc  10736  qsqeqor  10742  facavg  10838  bcval  10841  qabsor  11240  modfsummodlemstep  11622  sinltxirr  11926  egt2lt3  11945  dvdsval3  11956  p1modz1  11959  moddvds  11964  modm1div  11965  absdvdsb  11974  dvdsabsb  11975  dvdslelemd  12008  dvdsmod  12027  mulmoddvds  12028  divalglemnn  12083  divalgmod  12092  fldivndvdslt  12102  bitsfzo  12119  gcdabs  12155  gcdabs1  12156  modgcd  12158  bezoutlemnewy  12163  bezoutlemstep  12164  eucalglt  12225  lcmabs  12244  sqrt2irraplemnn  12347  nn0sqrtelqelz  12374  crth  12392  phimullem  12393  eulerthlema  12398  eulerthlemh  12399  fermltl  12402  prmdiv  12403  prmdiveq  12404  odzdvds  12414  vfermltl  12420  powm2modprm  12421  modprm0  12423  modprmn0modprm0  12425  pceu  12464  pczpre  12466  pcdiv  12471  pc0  12473  pcqdiv  12476  pcrec  12477  pcexp  12478  pcxcl  12480  pcxqcl  12481  pcdvdstr  12496  pcgcd1  12497  pc2dvds  12499  pc11  12500  pcaddlem  12508  pcadd  12509  pcadd2  12510  fldivp1  12517  qexpz  12521  4sqlem5  12551  4sqlem6  12552  4sqlem10  12556  4sqlem12  12571  modxai  12585  modsubi  12588  mulgmodid  13291  znf1o  14207  2logb9irrALT  15210  2irrexpq  15212  2irrexpqap  15214  wilthlem1  15216  lgslem1  15241  lgsvalmod  15260  lgsneg  15265  lgsmod  15267  lgsdir2lem4  15272  lgsdirprm  15275  lgsdilem2  15277  lgsne0  15279  gausslemma2dlem0i  15298  gausslemma2dlem1a  15299  gausslemma2dlem1cl  15300  gausslemma2dlem1f1o  15301  gausslemma2dlem4  15305  gausslemma2dlem5a  15306  gausslemma2dlem6  15308  gausslemma2d  15310  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem3  15313  lgseisenlem4  15314  lgseisen  15315  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  m1lgs  15326  2lgslem1a1  15327  apdifflemr  15691  apdiff  15692