Theorem zq 10026

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 9110	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9315	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2250	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2929	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2645	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2578	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 10022	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  (class class class)co 6085  1c1 8180   / cdiv 9002  ℕcn 9304  ℤcz 9644  ℚcq 10019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-z 9645  df-q 10020

This theorem is used by:  zssq  10027  qdivcl  10043  irrmul  10047  irrmulap  10048  qbtwnz  10686  qbtwnxr  10692  flqlt  10718  flid  10719  flqltnz  10722  flqbi2  10726  flqaddz  10732  flqmulnn0  10734  ceilid  10752  flqeqceilz  10755  flqdiv  10758  modqcl  10763  mulqmod0  10767  modqfrac  10774  zmod10  10777  modqmulnn  10779  zmodcl  10781  zmodfz  10783  zmodid2  10789  q0mod  10792  q1mod  10793  modqcyc  10796  mulp1mod1  10802  modqmuladd  10803  modqmuladdim  10804  modqmuladdnn0  10805  m1modnnsub1  10807  addmodid  10809  modqm1p1mod0  10812  modqltm1p1mod  10813  modqmul1  10814  modqmul12d  10815  q2txmodxeq0  10821  modifeq2int  10823  modaddmodup  10824  modaddmodlo  10825  modqaddmulmod  10828  modqdi  10829  modqsubdir  10830  modsumfzodifsn  10833  addmodlteq  10835  qexpcl  10992  qexpclz  10997  iexpcyc  11081  qsqeqor  11087  facavg  11184  bcval  11187  qabsor  11841  modfsummodlemstep  12224  sinltxirr  12528  egt2lt3  12547  dvdsval3  12558  p1modz1  12561  moddvds  12566  modm1div  12567  absdvdsb  12576  dvdsabsb  12577  dvdslelemd  12610  dvdsmod  12629  mulmoddvds  12630  divalglemnn  12685  divalgmod  12694  fldivndvdslt  12704  bitsfzo  12722  bitsmod  12723  bitsinv1lem  12728  bitsinv1  12729  gcdabs  12765  gcdabs1  12766  modgcd  12768  bezoutlemnewy  12773  bezoutlemstep  12774  eucalglt  12835  lcmabs  12854  sqrt2irraplemnn  12957  nn0sqrtelqelz  12984  crth  13002  phimullem  13003  eulerthlema  13008  eulerthlemh  13009  fermltl  13012  prmdiv  13013  prmdiveq  13014  odzdvds  13024  vfermltl  13030  powm2modprm  13031  modprm0  13033  modprmn0modprm0  13035  pceu  13074  pczpre  13076  pcdiv  13081  pc0  13083  pcqdiv  13086  pcrec  13087  pcexp  13088  pcxcl  13090  pcxqcl  13091  pcdvdstr  13106  pcgcd1  13107  pc2dvds  13109  pc11  13110  pcaddlem  13118  pcadd  13119  pcadd2  13120  fldivp1  13127  qexpz  13131  4sqlem5  13161  4sqlem6  13162  4sqlem10  13166  4sqlem12  13181  modxai  13195  modsubi  13198  mulgmodid  13964  znf1o  14986  2logb9irrALT  16076  2irrexpq  16078  2irrexpqap  16080  wilthlem1  16094  lgslem1  16119  lgsvalmod  16138  lgsneg  16143  lgsmod  16145  lgsdir2lem4  16150  lgsdirprm  16153  lgsdilem2  16155  lgsne0  16157  gausslemma2dlem0i  16176  gausslemma2dlem1a  16177  gausslemma2dlem1cl  16178  gausslemma2dlem1f1o  16179  gausslemma2dlem4  16183  gausslemma2dlem5a  16184  gausslemma2dlem6  16186  gausslemma2d  16188  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem3  16191  lgseisenlem4  16192  lgseisen  16193  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  m1lgs  16204  2lgslem1a1  16205  apdifflemr  17096  apdiff  17097  qdiff  17098