Theorem zq 10036

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 9113	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9318	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2250	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2929	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2645	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2578	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 10032	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  (class class class)co 6085  1c1 8181   / cdiv 9005  ℕcn 9307  ℤcz 9649  ℚcq 10029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-z 9650  df-q 10030

This theorem is used by:  zssq  10037  qdivcl  10053  irrmul  10058  irrmulap  10059  qbtwnz  10697  qbtwnxr  10703  flqlt  10732  flaplt  10733  flid  10734  flqltnz  10737  flqbi2  10741  flqaddz  10747  flqmulnn0  10749  ceilid  10767  flqeqceilz  10770  flqdiv  10773  modqcl  10778  mulqmod0  10782  modqfrac  10789  zmod10  10792  modqmulnn  10794  zmodcl  10796  zmodfz  10798  zmodid2  10804  q0mod  10807  q1mod  10808  modqcyc  10811  mulp1mod1  10817  modqmuladd  10818  modqmuladdim  10819  modqmuladdnn0  10820  m1modnnsub1  10822  addmodid  10824  modqm1p1mod0  10827  modqltm1p1mod  10828  modqmul1  10829  modqmul12d  10830  q2txmodxeq0  10836  modifeq2int  10838  modaddmodup  10839  modaddmodlo  10840  modqaddmulmod  10843  modqdi  10844  modqsubdir  10845  modsumfzodifsn  10848  addmodlteq  10850  qexpcl  11007  qexpclz  11012  iexpcyc  11096  qsqeqor  11102  facavg  11200  bcval  11203  qabsor  11857  modfsummodlemstep  12243  sinltxirr  12547  egt2lt3  12566  dvdsval3  12577  p1modz1  12580  moddvds  12585  modm1div  12586  absdvdsb  12595  dvdsabsb  12596  dvdslelemd  12629  dvdsmod  12648  mulmoddvds  12649  divalglemnn  12704  divalgmod  12713  fldivndvdslt  12723  bitsfzo  12741  bitsmod  12742  bitsinv1lem  12747  bitsinv1  12748  gcdabs  12784  gcdabs1  12785  modgcd  12787  bezoutlemnewy  12792  bezoutlemstep  12793  eucalglt  12854  lcmabs  12873  sqrt2irraplemnn  12978  nn0sqrtelqelz  13005  sqrtrirr  13008  crth  13025  phimullem  13026  eulerthlema  13031  eulerthlemh  13032  fermltl  13035  prmdiv  13036  prmdiveq  13037  odzdvds  13047  vfermltl  13053  powm2modprm  13054  modprm0  13056  modprmn0modprm0  13058  pceu  13097  pczpre  13099  pcdiv  13104  pc0  13106  pcqdiv  13109  pcrec  13110  pcexp  13111  pcxcl  13113  pcxqcl  13114  pcdvdstr  13129  pcgcd1  13130  pc2dvds  13132  pc11  13133  pcaddlem  13141  pcadd  13142  pcadd2  13143  fldivp1  13150  qexpz  13154  4sqlem5  13184  4sqlem6  13185  4sqlem10  13189  4sqlem12  13204  modxai  13218  modsubi  13222  mulgmodid  14017  znf1o  15070  2logb9irrALT  16171  2irrexpq  16173  2irrexpqap  16175  zprmlogbaplem2  16177  wilthlem1  16193  ppival2  16210  ppival2g  16211  chtqfl  16219  chtprm  16222  chtnprm  16223  chtdif  16225  ppiqp1le  16228  cht1  16232  ppiqnncl  16239  chtqrpcl  16240  ppiqeq0  16241  ppiqltx  16242  ppiqub  16254  chtublem  16256  chtqub  16257  bposlem6  16277  lgslem1  16285  lgsvalmod  16304  lgsneg  16309  lgsmod  16311  lgsdir2lem4  16316  lgsdirprm  16319  lgsdilem2  16321  lgsne0  16323  gausslemma2dlem0i  16342  gausslemma2dlem1a  16343  gausslemma2dlem1cl  16344  gausslemma2dlem1f1o  16345  gausslemma2dlem4  16349  gausslemma2dlem5a  16350  gausslemma2dlem6  16352  gausslemma2d  16354  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358  lgseisen  16359  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  m1lgs  16370  2lgslem1a1  16371  apdifflemr  17263  apdiff  17264  qdiff  17265