Theorem zq 9850

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8950	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2241	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9144	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2241	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2908	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2625	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2558	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9846	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  (class class class)co 6013  1c1 8023   / cdiv 8842  ℕcn 9133  ℤcz 9469  ℚcq 9843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-z 9470  df-q 9844

This theorem is referenced by:  zssq  9851  qdivcl  9867  irrmul  9871  irrmulap  9872  qbtwnz  10501  qbtwnxr  10507  flqlt  10533  flid  10534  flqltnz  10537  flqbi2  10541  flqaddz  10547  flqmulnn0  10549  ceilid  10567  flqeqceilz  10570  flqdiv  10573  modqcl  10578  mulqmod0  10582  modqfrac  10589  zmod10  10592  modqmulnn  10594  zmodcl  10596  zmodfz  10598  zmodid2  10604  q0mod  10607  q1mod  10608  modqcyc  10611  mulp1mod1  10617  modqmuladd  10618  modqmuladdim  10619  modqmuladdnn0  10620  m1modnnsub1  10622  addmodid  10624  modqm1p1mod0  10627  modqltm1p1mod  10628  modqmul1  10629  modqmul12d  10630  q2txmodxeq0  10636  modifeq2int  10638  modaddmodup  10639  modaddmodlo  10640  modqaddmulmod  10643  modqdi  10644  modqsubdir  10645  modsumfzodifsn  10648  addmodlteq  10650  qexpcl  10807  qexpclz  10812  iexpcyc  10896  qsqeqor  10902  facavg  10998  bcval  11001  qabsor  11626  modfsummodlemstep  12008  sinltxirr  12312  egt2lt3  12331  dvdsval3  12342  p1modz1  12345  moddvds  12350  modm1div  12351  absdvdsb  12360  dvdsabsb  12361  dvdslelemd  12394  dvdsmod  12413  mulmoddvds  12414  divalglemnn  12469  divalgmod  12478  fldivndvdslt  12488  bitsfzo  12506  bitsmod  12507  bitsinv1lem  12512  bitsinv1  12513  gcdabs  12549  gcdabs1  12550  modgcd  12552  bezoutlemnewy  12557  bezoutlemstep  12558  eucalglt  12619  lcmabs  12638  sqrt2irraplemnn  12741  nn0sqrtelqelz  12768  crth  12786  phimullem  12787  eulerthlema  12792  eulerthlemh  12793  fermltl  12796  prmdiv  12797  prmdiveq  12798  odzdvds  12808  vfermltl  12814  powm2modprm  12815  modprm0  12817  modprmn0modprm0  12819  pceu  12858  pczpre  12860  pcdiv  12865  pc0  12867  pcqdiv  12870  pcrec  12871  pcexp  12872  pcxcl  12874  pcxqcl  12875  pcdvdstr  12890  pcgcd1  12891  pc2dvds  12893  pc11  12894  pcaddlem  12902  pcadd  12903  pcadd2  12904  fldivp1  12911  qexpz  12915  4sqlem5  12945  4sqlem6  12946  4sqlem10  12950  4sqlem12  12965  modxai  12979  modsubi  12982  mulgmodid  13738  znf1o  14655  2logb9irrALT  15688  2irrexpq  15690  2irrexpqap  15692  wilthlem1  15694  lgslem1  15719  lgsvalmod  15738  lgsneg  15743  lgsmod  15745  lgsdir2lem4  15750  lgsdirprm  15753  lgsdilem2  15755  lgsne0  15757  gausslemma2dlem0i  15776  gausslemma2dlem1a  15777  gausslemma2dlem1cl  15778  gausslemma2dlem1f1o  15779  gausslemma2dlem4  15783  gausslemma2dlem5a  15784  gausslemma2dlem6  15786  gausslemma2d  15788  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem3  15791  lgseisenlem4  15792  lgseisen  15793  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  m1lgs  15804  2lgslem1a1  15805  apdifflemr  16587  apdiff  16588