Theorem zq 9746

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2206	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 8852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9046	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 5951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2216	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2876	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2600	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2533	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9742	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∃wrex 2484  (class class class)co 5943  1c1 7925   / cdiv 8744  ℕcn 9035  ℤcz 9371  ℚcq 9739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-z 9372  df-q 9740

This theorem is referenced by:  zssq  9747  qdivcl  9763  irrmul  9767  irrmulap  9768  qbtwnz  10392  qbtwnxr  10398  flqlt  10424  flid  10425  flqltnz  10428  flqbi2  10432  flqaddz  10438  flqmulnn0  10440  ceilid  10458  flqeqceilz  10461  flqdiv  10464  modqcl  10469  mulqmod0  10473  modqfrac  10480  zmod10  10483  modqmulnn  10485  zmodcl  10487  zmodfz  10489  zmodid2  10495  q0mod  10498  q1mod  10499  modqcyc  10502  mulp1mod1  10508  modqmuladd  10509  modqmuladdim  10510  modqmuladdnn0  10511  m1modnnsub1  10513  addmodid  10515  modqm1p1mod0  10518  modqltm1p1mod  10519  modqmul1  10520  modqmul12d  10521  q2txmodxeq0  10527  modifeq2int  10529  modaddmodup  10530  modaddmodlo  10531  modqaddmulmod  10534  modqdi  10535  modqsubdir  10536  modsumfzodifsn  10539  addmodlteq  10541  qexpcl  10698  qexpclz  10703  iexpcyc  10787  qsqeqor  10793  facavg  10889  bcval  10892  qabsor  11357  modfsummodlemstep  11739  sinltxirr  12043  egt2lt3  12062  dvdsval3  12073  p1modz1  12076  moddvds  12081  modm1div  12082  absdvdsb  12091  dvdsabsb  12092  dvdslelemd  12125  dvdsmod  12144  mulmoddvds  12145  divalglemnn  12200  divalgmod  12209  fldivndvdslt  12219  bitsfzo  12237  bitsmod  12238  bitsinv1lem  12243  bitsinv1  12244  gcdabs  12280  gcdabs1  12281  modgcd  12283  bezoutlemnewy  12288  bezoutlemstep  12289  eucalglt  12350  lcmabs  12369  sqrt2irraplemnn  12472  nn0sqrtelqelz  12499  crth  12517  phimullem  12518  eulerthlema  12523  eulerthlemh  12524  fermltl  12527  prmdiv  12528  prmdiveq  12529  odzdvds  12539  vfermltl  12545  powm2modprm  12546  modprm0  12548  modprmn0modprm0  12550  pceu  12589  pczpre  12591  pcdiv  12596  pc0  12598  pcqdiv  12601  pcrec  12602  pcexp  12603  pcxcl  12605  pcxqcl  12606  pcdvdstr  12621  pcgcd1  12622  pc2dvds  12624  pc11  12625  pcaddlem  12633  pcadd  12634  pcadd2  12635  fldivp1  12642  qexpz  12646  4sqlem5  12676  4sqlem6  12677  4sqlem10  12681  4sqlem12  12696  modxai  12710  modsubi  12713  mulgmodid  13468  znf1o  14384  2logb9irrALT  15417  2irrexpq  15419  2irrexpqap  15421  wilthlem1  15423  lgslem1  15448  lgsvalmod  15467  lgsneg  15472  lgsmod  15474  lgsdir2lem4  15479  lgsdirprm  15482  lgsdilem2  15484  lgsne0  15486  gausslemma2dlem0i  15505  gausslemma2dlem1a  15506  gausslemma2dlem1cl  15507  gausslemma2dlem1f1o  15508  gausslemma2dlem4  15512  gausslemma2dlem5a  15513  gausslemma2dlem6  15515  gausslemma2d  15517  lgseisenlem1  15518  lgseisenlem3  15520  lgseisenlem4  15521  lgseisen  15522  lgsquadlem1  15525  lgsquadlem2  15526  m1lgs  15533  2lgslem1a1  15534  apdifflemr  15948  apdiff  15949