Theorem zq 9958

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑥)
2		zcn 9582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	div1d 9054	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
4	3	eqeq2d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
6		1nn 9248	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		oveq2 6058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
8	7	eqeq2d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 1)))
9	8	rspcev 2921	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	reximia 2637	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		risset 2570	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
14		elq 9954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521  (class class class)co 6050  1c1 8128   / cdiv 8946  ℕcn 9237  ℤcz 9577  ℚcq 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-z 9578  df-q 9952

This theorem is referenced by:  zssq  9959  qdivcl  9975  irrmul  9979  irrmulap  9980  qbtwnz  10611  qbtwnxr  10617  flqlt  10643  flid  10644  flqltnz  10647  flqbi2  10651  flqaddz  10657  flqmulnn0  10659  ceilid  10677  flqeqceilz  10680  flqdiv  10683  modqcl  10688  mulqmod0  10692  modqfrac  10699  zmod10  10702  modqmulnn  10704  zmodcl  10706  zmodfz  10708  zmodid2  10714  q0mod  10717  q1mod  10718  modqcyc  10721  mulp1mod1  10727  modqmuladd  10728  modqmuladdim  10729  modqmuladdnn0  10730  m1modnnsub1  10732  addmodid  10734  modqm1p1mod0  10737  modqltm1p1mod  10738  modqmul1  10739  modqmul12d  10740  q2txmodxeq0  10746  modifeq2int  10748  modaddmodup  10749  modaddmodlo  10750  modqaddmulmod  10753  modqdi  10754  modqsubdir  10755  modsumfzodifsn  10758  addmodlteq  10760  qexpcl  10917  qexpclz  10922  iexpcyc  11006  qsqeqor  11012  facavg  11108  bcval  11111  qabsor  11760  modfsummodlemstep  12143  sinltxirr  12447  egt2lt3  12466  dvdsval3  12477  p1modz1  12480  moddvds  12485  modm1div  12486  absdvdsb  12495  dvdsabsb  12496  dvdslelemd  12529  dvdsmod  12548  mulmoddvds  12549  divalglemnn  12604  divalgmod  12613  fldivndvdslt  12623  bitsfzo  12641  bitsmod  12642  bitsinv1lem  12647  bitsinv1  12648  gcdabs  12684  gcdabs1  12685  modgcd  12687  bezoutlemnewy  12692  bezoutlemstep  12693  eucalglt  12754  lcmabs  12773  sqrt2irraplemnn  12876  nn0sqrtelqelz  12903  crth  12921  phimullem  12922  eulerthlema  12927  eulerthlemh  12928  fermltl  12931  prmdiv  12932  prmdiveq  12933  odzdvds  12943  vfermltl  12949  powm2modprm  12950  modprm0  12952  modprmn0modprm0  12954  pceu  12993  pczpre  12995  pcdiv  13000  pc0  13002  pcqdiv  13005  pcrec  13006  pcexp  13007  pcxcl  13009  pcxqcl  13010  pcdvdstr  13025  pcgcd1  13026  pc2dvds  13028  pc11  13029  pcaddlem  13037  pcadd  13038  pcadd2  13039  fldivp1  13046  qexpz  13050  4sqlem5  13080  4sqlem6  13081  4sqlem10  13085  4sqlem12  13100  modxai  13114  modsubi  13117  mulgmodid  13878  znf1o  14799  2logb9irrALT  15839  2irrexpq  15841  2irrexpqap  15843  wilthlem1  15848  lgslem1  15873  lgsvalmod  15892  lgsneg  15897  lgsmod  15899  lgsdir2lem4  15904  lgsdirprm  15907  lgsdilem2  15909  lgsne0  15911  gausslemma2dlem0i  15930  gausslemma2dlem1a  15931  gausslemma2dlem1cl  15932  gausslemma2dlem1f1o  15933  gausslemma2dlem4  15937  gausslemma2dlem5a  15938  gausslemma2dlem6  15940  gausslemma2d  15942  lgseisenlem1  15943  lgseisenlem3  15945  lgseisenlem4  15946  lgseisen  15947  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  m1lgs  15958  2lgslem1a1  15959  apdifflemr  16831  apdiff  16832  qdiff  16833