Theorem clwwlkn1 16659

Description: A closed walk of length 1 represented as word is a word consisting of 1 symbol representing a vertex connected to itself by (at least) one edge, that is, a loop. (Contributed by AV, 24-Apr-2021.) (Revised by AV, 11-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkn1	⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkn1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9315	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlknx 16657	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1)))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
6		3anass 1013	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7		ral0 3629	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)
8		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = (1 − 1))
9		1m1e0 9373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) − 1) = 0)
11	10	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = (0..^0))
12		fzo0 10577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^((♯‘𝑊) − 1)) = ∅)
14	13	raleqdv 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
16	7, 15	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
17	16	biantrurd 305	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
18		lsw1 11354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
19	18	ancoms 268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘0))
20	19	preq1d 3794	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)})
21		dfsn2 3723	. . . . . . . 8 ⊢ {(𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘0)}
22	20, 21	eqtr4di 2289	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0)})
23	22	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	17, 23	bitr3d 190	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	pm5.32da 456	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
26	6, 25	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
27	26	pm5.32ri 459	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
28		3anass 1013	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
29		ancom 266	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1))
30	28, 29	bitr2i 185	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 1) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
31	5, 27, 30	3bitri 206	1 ⊢ (𝑊 ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑊) = 1 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∅c0 3520  {csn 3709  {cpr 3710  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   − cmin 8497  ℕcn 9304  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Word cword 11304  lastSclsw 11349  Vtxcvtx 16253  Edgcedg 16298   ClWWalksN cclwwlkn 16644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-lsw 11350  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-vtx 16255  df-clwwlk 16633  df-clwwlkn 16645

This theorem is used by:  loopclwwlkn1b  16660  clwwlkn1loopb  16661