Theorem gzsumconstf 14228

Description: Sum of a constant series. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumconstf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝑋
gzsumconstf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gzsumconstf.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gzsumconstf	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) = (((𝑁 − 𝑀) + 1) · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   · (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gzsumconstf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑙𝑋
2		gzsumconstf.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
3		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝑋 = 𝑋)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4226	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋) = (𝑙 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)
5	4	oveq2i 6096	. 2 ⊢ (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σgz (𝑙 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋))
6		gzsumconstf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		gzsumconstf.m	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6, 7	gzsumconst 14227	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgz (𝑙 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) = (((𝑁 − 𝑀) + 1) · 𝑋))
9	5, 8	eqtrid 2283	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑋)) = (((𝑁 − 𝑀) + 1) · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Ⅎwnfc 2379   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1c1 8181   + caddc 8183   − cmin 8499  ℤ_≥cuz 9931  ...cfz 10422  Basecbs 13404   Σ_gz cgzsu 13664  Mndcmnd 13782  ._gcmg 13975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-seqfrec 10900  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-0g 13665  df-gzsum 13666  df-minusg 13862  df-mulg 13976

This theorem is used by:  gzsumsnfd  14231