Theorem irraddap 10057

Description: The sum of an irrational number and a rational number is irrational. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
irraddap	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (𝐴 + 𝐵) # 𝑞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐵,𝑞

Proof of Theorem irraddap

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		qre 10035	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 8356	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5		breq2 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑟 − 𝐵) → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # (𝑟 − 𝐵)))
6		simpllr 540	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
7		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℚ)
8		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℚ)
9		qsubcl 10048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑟 − 𝐵) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑟 − 𝐵) ∈ ℚ)
11	5, 6, 10	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝐴 # (𝑟 − 𝐵))
12		simplll 539	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		qre 10035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 − 𝐵) ∈ ℚ → (𝑟 − 𝐵) ∈ ℝ)
14	10, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑟 − 𝐵) ∈ ℝ)
15	8, 2	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		reapadd1 8927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑟 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # (𝑟 − 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) # ((𝑟 − 𝐵) + 𝐵)))
17	12, 14, 15, 16	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐴 # (𝑟 − 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) # ((𝑟 − 𝐵) + 𝐵)))
18	11, 17	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) # ((𝑟 − 𝐵) + 𝐵))
19		qcn 10044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℂ)
21	15	recnd 8355	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	20, 21	npcand 8643	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑟 − 𝐵) + 𝐵) = 𝑟)
23	18, 22	breqtrd 4156	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) # 𝑟)
24	23	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ∀𝑟 ∈ ℚ (𝐴 + 𝐵) # 𝑟)
25		breq2 4134	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → ((𝐴 + 𝐵) # 𝑟 ↔ (𝐴 + 𝐵) # 𝑞))
26	25	cbvralv 2786	. . 3 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℚ (𝐴 + 𝐵) # 𝑟 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ (𝐴 + 𝐵) # 𝑞)
27	24, 26	sylib 122	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ (𝐴 + 𝐵) # 𝑞)
28	4, 27	jca 306	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (𝐴 + 𝐵) # 𝑞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  ℝcr 8179   + caddc 8183   − cmin 8499   # cap 8912  ℚcq 10029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-q 10030

This theorem is used by:  zprmlogbaplem2  16177