Theorem lincmble 10356

Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. Like lincmb01cmp 10355 but generalized to require merely 𝐴 ≤ 𝐵 not 𝐴 < 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
lincmble	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lincmble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8305	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
2		0re 8290	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8289	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	elicc2i 10291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1039	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
7	1, 6	resubcld 8671	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
8		simpl1 1027	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 8320	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℝ)
10		simpl2 1028	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	6, 10	remulcld 8320	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ)
12	9, 11	readdcld 8319	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ ℝ)
13		1cnd 8306	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
14	6	recnd 8318	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
15	13, 14	npcand 8604	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
16	15	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
17	7	recnd 8318	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
18	8	recnd 8318	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	17, 14, 18	adddird 8315	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐴) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐴)))
20	18	mullidd 8308	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	16, 19, 20	3eqtr3rd 2276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐴)))
22	6, 8	remulcld 8320	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ)
23	4	simp2bi 1040	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑇)
24	23	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑇)
25		simpl3 1029	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
26	8, 10, 6, 24, 25	lemul2ad 9231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐴) ≤ (𝑇 · 𝐵))
27	22, 11, 9, 26	leadd2dd 8851	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐴)) ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
28	21, 27	eqbrtrd 4136	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
29	7, 10	remulcld 8320	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℝ)
30	4	simp3bi 1041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ≤ 1)
31		1red 8305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ)
32	31, 5	subge0d 8826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
33	30, 32	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
34	33	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
35	8, 10, 7, 34, 25	lemul2ad 9231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝐵))
36	9, 29, 11, 35	leadd1dd 8850	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐵)))
37	15	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
38	10	recnd 8318	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	17, 14, 38	adddird 8315	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐵) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐵)))
40	38	mullidd 8308	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
41	37, 39, 40	3eqtr3d 2275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐵)) = 𝐵)
42	36, 41	breqtrd 4140	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ≤ 𝐵)
43		elicc2 10290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ≤ 𝐵)))
44	43	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ≤ 𝐵)))
45	44	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ≤ 𝐵)))
46	12, 28, 42, 45	mpbir3and 1207	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   ≤ cle 8325   − cmin 8460  [,]cicc 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-icc 10247

This theorem is referenced by: (None)