Theorem lincmble 10340

Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. Like lincmb01cmp 10339 but generalized to require merely 𝐴 ≤ 𝐵 not 𝐴 < 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
lincmble	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lincmble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8291	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
2		0re 8276	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8275	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	elicc2i 10275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1039	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
7	1, 6	resubcld 8656	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
8		simpl1 1027	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 8306	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℝ)
10		simpl2 1028	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	6, 10	remulcld 8306	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ)
12	9, 11	readdcld 8305	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ ℝ)
13		1cnd 8292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
14	6	recnd 8304	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
15	13, 14	npcand 8590	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
16	15	oveq1d 6067	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
17	7	recnd 8304	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
18	8	recnd 8304	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	17, 14, 18	adddird 8301	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐴) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐴)))
20	18	mullidd 8294	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	16, 19, 20	3eqtr3rd 2276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐴)))
22	6, 8	remulcld 8306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ)
23	4	simp2bi 1040	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑇)
24	23	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑇)
25		simpl3 1029	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
26	8, 10, 6, 24, 25	lemul2ad 9216	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐴) ≤ (𝑇 · 𝐵))
27	22, 11, 9, 26	leadd2dd 8836	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐴)) ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
28	21, 27	eqbrtrd 4133	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
29	7, 10	remulcld 8306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℝ)
30	4	simp3bi 1041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ≤ 1)
31		1red 8291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ)
32	31, 5	subge0d 8811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
33	30, 32	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
34	33	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
35	8, 10, 7, 34, 25	lemul2ad 9216	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐴) ≤ ((1 − 𝑇) · 𝐵))
36	9, 29, 11, 35	leadd1dd 8835	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐵)))
37	15	oveq1d 6067	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
38	10	recnd 8304	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	17, 14, 38	adddird 8301	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐵) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐵)))
40	38	mullidd 8294	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
41	37, 39, 40	3eqtr3d 2275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐵)) = 𝐵)
42	36, 41	breqtrd 4137	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ≤ 𝐵)
43		elicc2 10274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ≤ 𝐵)))
44	43	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ≤ 𝐵)))
45	44	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ≤ 𝐵)))
46	12, 28, 42, 45	mpbir3and 1207	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℝcr 8128  0cc0 8129  1c1 8130   + caddc 8132   · cmul 8134   ≤ cle 8311   − cmin 8446  [,]cicc 10227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-icc 10231

This theorem is referenced by: (None)