ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcmul GIF version

Theorem pcmul 12300
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcmul ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))

Proof of Theorem pcmul
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
2 eqid 2177 . . 3 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < )
3 eqid 2177 . . 3 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < )
41, 2, 3pcpremul 12292 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) + sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < )) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < ))
51pczpre 12296 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < ))
653adant3 1017 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < ))
72pczpre 12296 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < ))
873adant2 1016 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < ))
96, 8oveq12d 5892 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = (sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) + sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < )))
10 zmulcl 9305 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
1110ad2ant2r 509 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
12 zcn 9257 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1312ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 zcn 9257 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514ad2antrl 490 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
16 simplr 528 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
17 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
18 0zd 9264 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
19 zapne 9326 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด # 0 โ†” ๐ด โ‰  0))
2017, 18, 19syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด # 0 โ†” ๐ด โ‰  0))
2116, 20mpbird 167 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด # 0)
22 simprr 531 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
23 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
24 zapne 9326 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต # 0 โ†” ๐ต โ‰  0))
2523, 18, 24syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ต # 0 โ†” ๐ต โ‰  0))
2622, 25mpbird 167 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต # 0)
2713, 15, 21, 26mulap0d 8614 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) # 0)
28 zapne 9326 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) # 0 โ†” (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0))
2911, 18, 28syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) # 0 โ†” (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0))
3027, 29mpbid 147 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0)
3111, 30jca 306 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0))
323pczpre 12296 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < ))
3331, 32sylan2 286 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < ))
34333impb 1199 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < ))
354, 9, 343eqtr4rd 2221 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  {crab 2459   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  supcsup 6980  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   # cap 8537  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  โ†‘cexp 10518   โˆฅ cdvds 11793  โ„™cprime 12106   pCnt cpc 12283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794  df-gcd 11943  df-prm 12107  df-pc 12284
This theorem is referenced by:  pcqmul  12302  pcaddlem  12337  pcmpt  12340  pcfac  12347  pcbc  12348  lgsdi  14408
  Copyright terms: Public domain W3C validator