Theorem rirrdisj 17251

Description: The rational and irrational numbers are disjoint. Here irrational means apart from any rational number. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rirrdisj	⊢ (ℚ ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑥 # 𝑞}) = ∅

Distinct variable group:   𝑥,𝑞

Proof of Theorem rirrdisj

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj 3573	. 2 ⊢ ((ℚ ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑥 # 𝑞}) = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ ℚ ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑥 # 𝑞})
2		qcn 10044	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℂ)
3		apirr 8936	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ¬ 𝑦 # 𝑦)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → ¬ 𝑦 # 𝑦)
5		breq2 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑦 → (𝑦 # 𝑞 ↔ 𝑦 # 𝑦))
6	5	rspcv 2925	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝑦 # 𝑞 → 𝑦 # 𝑦))
7	4, 6	mtod 673	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → ¬ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑦 # 𝑞)
8		qre 10035	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
9		breq1 4133	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 # 𝑞 ↔ 𝑦 # 𝑞))
10	9	ralbidv 2550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑞 ∈ ℚ 𝑥 # 𝑞 ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑦 # 𝑞))
11	10	elrab3 2983	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑥 # 𝑞} ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑦 # 𝑞))
12	8, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑥 # 𝑞} ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑦 # 𝑞))
13	7, 12	mtbird 684	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑥 # 𝑞})
14	1, 13	mprgbir 2608	1 ⊢ (ℚ ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ∀𝑞 ∈ ℚ 𝑥 # 𝑞}) = ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∩ cin 3219  ∅c0 3520   class class class wbr 4130  ℂcc 8178  ℝcr 8179   # cap 8912  ℚcq 10029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-z 9650  df-q 10030

This theorem is used by: (None)