Theorem s3s4d 11597

Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2s2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s2s2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
s2s2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
s2s2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
s4s2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
s4s2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
s4s3d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
s3s4d	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))

Proof of Theorem s3s4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2s2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		s2s2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		s2s2d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		s2s2d.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	s2s2d 11594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩))
6	5	eqcomd 2244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
7	6	oveq1d 6103	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
8	1	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
9	2	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
10	8, 9	s2cld 11572	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V)
11		s4s2d.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
12	11	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
13		s4s2d.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14	13	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		s4s3d.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
16	15	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
17	12, 14, 16	s3cld 11573	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
18		df-s3 11551	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩))
20	4, 11, 13, 15	s1s3d 11589	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
21	10, 17, 3, 4, 19, 20	cats2catd 11563	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
22	1, 2, 3, 4, 11, 13, 15	s4s3d 11596	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
23	7, 21, 22	3eqtr4rd 2282	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  (class class class)co 6088   ++ cconcat 11380  ⟨“cs1 11405  ⟨“cs2 11543  ⟨“cs3 11544  ⟨“cs4 11545  ⟨“cs7 11548

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-s1 11406  df-s2 11550  df-s3 11551  df-s4 11552  df-s5 11553  df-s6 11554  df-s7 11555

This theorem is used by:  s2s5d  11598  konigsberglem1  16934  konigsberglem2  16935  konigsberglem3  16936