Theorem s3s4d 11553

Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2s2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s2s2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
s2s2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
s2s2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
s4s2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
s4s2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
s4s3d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
s3s4d	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))

Proof of Theorem s3s4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2s2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		s2s2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		s2s2d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		s2s2d.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	s2s2d 11550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩))
6	5	eqcomd 2244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
7	6	oveq1d 6090	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
8	1	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
9	2	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
10	8, 9	s2cld 11528	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V)
11		s4s2d.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
12	11	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
13		s4s2d.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14	13	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		s4s3d.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
16	15	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
17	12, 14, 16	s3cld 11529	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
18		df-s3 11507	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩))
20	4, 11, 13, 15	s1s3d 11545	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
21	10, 17, 3, 4, 19, 20	cats2catd 11519	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
22	1, 2, 3, 4, 11, 13, 15	s4s3d 11552	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
23	7, 21, 22	3eqtr4rd 2282	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  (class class class)co 6075   ++ cconcat 11336  ⟨“cs1 11361  ⟨“cs2 11499  ⟨“cs3 11500  ⟨“cs4 11501  ⟨“cs7 11504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-concat 11337  df-s1 11362  df-s2 11506  df-s3 11507  df-s4 11508  df-s5 11509  df-s6 11510  df-s7 11511

This theorem is referenced by:  s2s5d  11554  konigsberglem1  16643  konigsberglem2  16644  konigsberglem3  16645