Theorem s3s4d 11556

Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2s2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s2s2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
s2s2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
s2s2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
s4s2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
s4s2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
s4s3d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
s3s4d	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))

Proof of Theorem s3s4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2s2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		s2s2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		s2s2d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		s2s2d.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
5	1, 2, 3, 4	s2s2d 11553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩))
6	5	eqcomd 2244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
7	6	oveq1d 6093	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
8	1	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
9	2	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
10	8, 9	s2cld 11531	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V)
11		s4s2d.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
12	11	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
13		s4s2d.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14	13	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		s4s3d.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
16	15	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
17	12, 14, 16	s3cld 11532	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
18		df-s3 11510	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩))
20	4, 11, 13, 15	s1s3d 11548	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
21	10, 17, 3, 4, 19, 20	cats2catd 11522	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
22	1, 2, 3, 4, 11, 13, 15	s4s3d 11555	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩))
23	7, 21, 22	3eqtr4rd 2282	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  (class class class)co 6078   ++ cconcat 11339  ⟨“cs1 11364  ⟨“cs2 11502  ⟨“cs3 11503  ⟨“cs4 11504  ⟨“cs7 11507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-1o 6680  df-er 6800  df-en 7016  df-dom 7017  df-fin 7018  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394  df-fzo 10531  df-ihash 11196  df-word 11286  df-concat 11340  df-s1 11365  df-s2 11509  df-s3 11510  df-s4 11511  df-s5 11512  df-s6 11513  df-s7 11514

This theorem is referenced by:  s2s5d  11557  konigsberglem1  16646  konigsberglem2  16647  konigsberglem3  16648