Theorem s2s5d 11576

Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2s2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
s2s2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
s2s2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
s2s2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
s4s2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
s4s2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
s4s3d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
s2s5d	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))

Proof of Theorem s2s5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2s2d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		s2s2d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		s2s2d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
4	1, 2, 3	s1s2d 11566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵𝐶”⟩))
5	4	eqcomd 2244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵𝐶”⟩) = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
6	5	oveq1d 6100	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵𝐶”⟩) ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))
7	1	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
8	7	s1cld 11390	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word V)
9		s2s2d.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
10	9	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
11		s4s2d.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
12	11	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
13		s4s2d.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14	13	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		s4s3d.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
16	15	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
17	10, 12, 14, 16	s4cld 11552	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V)
18		df-s2 11528	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩))
20	3, 9, 11, 13, 15	s1s4d 11568	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))
21	8, 17, 2, 3, 19, 20	cats2catd 11541	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵𝐶”⟩) ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))
22	1, 2, 3, 9, 11, 13, 15	s3s4d 11575	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))
23	6, 21, 22	3eqtr4rd 2282	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  (class class class)co 6085   ++ cconcat 11358  ⟨“cs1 11383  ⟨“cs2 11521  ⟨“cs3 11522  ⟨“cs4 11523  ⟨“cs5 11524  ⟨“cs7 11526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-concat 11359  df-s1 11384  df-s2 11528  df-s3 11529  df-s4 11530  df-s5 11531  df-s6 11532  df-s7 11533

This theorem is used by:  konigsberglem2  16730  konigsberglem3  16731