Theorem p1evtxdp1fi 16440

Description: If an edge 𝐸 (not being a loop) which contains vertex 𝑈 is added to a graph 𝐺 (yielding a graph 𝐹), the degree of 𝑈 is increased by 1. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
p1evtxdeqfi.vfi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
p1evtxdeqfi.u	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
p1evtxdeqfi.ifi	⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
p1evtxdeqfi.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
p1evtxdeqfi.2o	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
p1evtxdp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdp1fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))

Proof of Theorem p1evtxdp1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		p1evtxdeq.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		p1evtxdeq.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		p1evtxdeq.fv	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
5		p1evtxdeq.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
6		p1evtxdeq.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
7		p1evtxdeq.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
8		p1evtxdeq.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		p1evtxdeqfi.vfi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
10		p1evtxdeqfi.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
11		p1evtxdeqfi.ifi	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
12		p1evtxdeqfi.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
13		p1evtxdeqfi.2o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 12	p1evtxdeqfilem 16438	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
15	9	elexd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
16		opexg 4350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
17	6, 12, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
18		snexg 4303	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
20		opiedgfv 16152	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
21	15, 19, 20	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
22		opvtxfv 16149	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
23	15, 19, 22	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
24	6, 9, 12, 13	umgr1een 16252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UMGraph)
25		p1evtxdp1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐸)
26	21, 23, 6, 8, 9, 24, 12, 25, 13	1hevtxdg1en 16435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈) = 1)
27	26	oveq2d 6076	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
28	14, 27	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∉ wnel 2509  Vcvv 2815   ∪ cun 3212  𝒫 cpw 3675  {csn 3695  ⟨cop 3698   class class class wbr 4115  dom cdm 4756  Fun wfun 5353  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060  2_oc2o 6656   ≈ cen 6988  Fincfn 6990  1c1 8146   + caddc 8148  Vtxcvtx 16139  iEdgciedg 16140  UPGraphcupgr 16218  VtxDegcvtxdg 16413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-irdg 6616  df-frec 6637  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6782  df-en 6991  df-dom 6992  df-fin 6993  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-z 9600  df-dec 9733  df-uz 9877  df-xadd 10130  df-fz 10367  df-ihash 11169  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-edgf 16132  df-vtx 16141  df-iedg 16142  df-upgren 16220  df-umgren 16221  df-vtxdg 16414

This theorem is referenced by:  vdegp1bid  16442