MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssscongptld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssscongptld 24843
Description: If two triangles have equal sides, one angle in one triangle has the same cosine as the corresponding angle in the other triangle. This is a partial form of the SSS congruence theorem.

This theorem is proven by using lawcos 24837 on both triangles to express one side in terms of the other two, and then equating these expressions and reducing this algebraically to get an equality of cosines of angles. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses
Ref Expression
ssscongptld.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ssscongptld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
ssscongptld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
ssscongptld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
ssscongptld.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
ssscongptld.5 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
ssscongptld.6 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
ssscongptld.7 (𝜑𝐴𝐵)
ssscongptld.8 (𝜑𝐵𝐶)
ssscongptld.9 (𝜑𝐷𝐸)
ssscongptld.10 (𝜑𝐸𝐺)
ssscongptld.11 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐷𝐸)))
ssscongptld.12 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) = (abs‘(𝐸𝐺)))
ssscongptld.13 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐴)) = (abs‘(𝐺𝐷)))
Assertion
Ref Expression
ssscongptld (𝜑 → (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))) = (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssscongptld
StepHypRef Expression
1 negpitopissre 24578 . . . . 5 (-π(,]π) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 10246 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3770 . . . 4 (-π(,]π) ⊆ ℂ
4 ssscongptld.angdef . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
5 ssscongptld.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 ssscongptld.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
75, 6subcld 10646 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
8 ssscongptld.7 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
95, 6, 8subne0d 10655 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)
10 ssscongptld.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1110, 6subcld 10646 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
12 ssscongptld.8 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
1312necomd 2992 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
1410, 6, 13subne0d 10655 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ 0)
154, 7, 9, 11, 14angcld 24826 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) ∈ (-π(,]π))
163, 15sseldi 3759 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
1716coscld 15145 . 2 (𝜑 → (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))) ∈ ℂ)
18 ssscongptld.4 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
19 ssscongptld.5 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2018, 19subcld 10646 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐸) ∈ ℂ)
21 ssscongptld.9 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐸)
2218, 19, 21subne0d 10655 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐸) ≠ 0)
23 ssscongptld.6 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
2423, 19subcld 10646 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℂ)
25 ssscongptld.10 . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝐺)
2625necomd 2992 . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐸)
2723, 19, 26subne0d 10655 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐸) ≠ 0)
284, 20, 22, 24, 27angcld 24826 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)) ∈ (-π(,]π))
293, 28sseldi 3759 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)) ∈ ℂ)
3029coscld 15145 . 2 (𝜑 → (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))) ∈ ℂ)
3120abscld 14462 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐸)) ∈ ℝ)
3231recnd 10322 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐸)) ∈ ℂ)
3324abscld 14462 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐺𝐸)) ∈ ℝ)
3433recnd 10322 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐺𝐸)) ∈ ℂ)
3532, 34mulcld 10314 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) ∈ ℂ)
3620, 22absne0d 14473 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐸)) ≠ 0)
3724, 27absne0d 14473 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐺𝐸)) ≠ 0)
3832, 34, 36, 37mulne0d 10933 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) ≠ 0)
39 ssscongptld.11 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐷𝐸)))
40 ssscongptld.12 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) = (abs‘(𝐸𝐺)))
4110, 6abssubd 14479 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
4223, 19abssubd 14479 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐺𝐸)) = (abs‘(𝐸𝐺)))
4340, 41, 423eqtr4d 2809 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐵)) = (abs‘(𝐺𝐸)))
4439, 43oveq12d 6860 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) = ((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))))
4544oveq1d 6857 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))) = (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))
4639, 32eqeltrd 2844 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
4743, 34eqeltrd 2844 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
4846, 47mulcld 10314 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) ∈ ℂ)
4948, 17mulcld 10314 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))) ∈ ℂ)
5035, 30mulcld 10314 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))) ∈ ℂ)
51 2cnd 11350 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
52 2ne0 11383 . . . . 5 2 ≠ 0
5352a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5432sqcld 13213 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐷𝐸))↑2) ∈ ℂ)
5534sqcld 13213 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐺𝐸))↑2) ∈ ℂ)
5654, 55addcld 10313 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) ∈ ℂ)
5751, 49mulcld 10314 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))))) ∈ ℂ)
5851, 50mulcld 10314 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))))) ∈ ℂ)
5939oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐷𝐸))↑2))
6043oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐺𝐸))↑2))
6159, 60oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶𝐵))↑2)) = (((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)))
6261oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))))
63 ssscongptld.13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐴)) = (abs‘(𝐺𝐷)))
6463oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐺𝐷))↑2))
65 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐴𝐵))
66 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐶𝐵)) = (abs‘(𝐶𝐵))
67 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐶𝐴)) = (abs‘(𝐶𝐴))
68 eqid 2765 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))
694, 65, 66, 67, 68lawcos 24837 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝐵𝐴𝐵)) → ((abs‘(𝐶𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))))
7010, 5, 6, 13, 8, 69syl32anc 1497 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))))
71 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐷𝐸)) = (abs‘(𝐷𝐸))
72 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐺𝐸)) = (abs‘(𝐺𝐸))
73 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐺𝐷)) = (abs‘(𝐺𝐷))
74 eqid 2765 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)) = ((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))
754, 71, 72, 73, 74lawcos 24837 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) ∧ (𝐺𝐸𝐷𝐸)) → ((abs‘(𝐺𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))))
7623, 18, 19, 26, 21, 75syl32anc 1497 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐺𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))))
7764, 70, 763eqtr3d 2807 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))))
7862, 77eqtr3d 2801 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))))
7956, 57, 58, 78subcand 10687 . . . 4 (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))))) = (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))))))
8049, 50, 51, 53, 79mulcanad 10916 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))) = (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))
8145, 80eqtr3d 2801 . 2 (𝜑 → (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))) = (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))
8217, 30, 35, 38, 81mulcanad 10916 1 (𝜑 → (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))) = (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cdif 3729  {csn 4334  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  (,]cioc 12378  cexp 13067  cim 14125  abscabs 14261  cosccos 15079  πcpi 15081  logclog 24592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594
This theorem is referenced by:  chordthmlem  24850
  Copyright terms: Public domain W3C validator