Theorem ssscongptld 26803

Description: If two triangles have equal sides, one angle in one triangle has the same cosine as the corresponding angle in the other triangle. This is a partial form of the SSS congruence theorem.

This theorem is proven by using lawcos 26797 on both triangles to express one side in terms of the other two, and then equating these expressions and reducing this algebraically to get an equality of cosines of angles. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssscongptld.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ssscongptld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ssscongptld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ssscongptld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
ssscongptld.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
ssscongptld.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
ssscongptld.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
ssscongptld.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
ssscongptld.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
ssscongptld.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
ssscongptld.10	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐺)
ssscongptld.11	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸)))
ssscongptld.12	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
ssscongptld.13	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
ssscongptld	⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) = (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssscongptld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negpitopissre 26520	. . . . 5 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11084	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3932	. . . 4 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℂ
4		ssscongptld.angdef	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
5		ssscongptld.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		ssscongptld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		ssscongptld.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	5, 6, 8	subne0d 11503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
10		ssscongptld.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10, 6	subcld 11494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
12		ssscongptld.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	10, 6, 13	subne0d 11503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
15	4, 7, 9, 11, 14	angcld 26786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) ∈ (-π(,]π))
16	3, 15	sselid 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
17	16	coscld 16087	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18		ssscongptld.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
19		ssscongptld.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
20	18, 19	subcld 11494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℂ)
21		ssscongptld.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
22	18, 19, 21	subne0d 11503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ≠ 0)
23		ssscongptld.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
24	23, 19	subcld 11494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℂ)
25		ssscongptld.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐺)
26	25	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝐸)
27	23, 19, 26	subne0d 11503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ≠ 0)
28	4, 20, 22, 24, 27	angcld 26786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) ∈ (-π(,]π))
29	3, 28	sselid 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℂ)
30	29	coscld 16087	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))) ∈ ℂ)
31	20	abscld 15390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℂ)
33	24	abscld 15390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℂ)
35	32, 34	mulcld 11154	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) ∈ ℂ)
36	20, 22	absne0d 15401	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ≠ 0)
37	24, 27	absne0d 15401	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ≠ 0)
38	32, 34, 36, 37	mulne0d 11791	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) ≠ 0)
39		ssscongptld.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸)))
40		ssscongptld.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
41	10, 6	abssubd 15407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
42	23, 19	abssubd 15407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
43	40, 41, 42	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐺 − 𝐸)))
44	39, 43	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) = ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))))
45	44	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))
46	39, 32	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
47	43, 34	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
48	46, 47	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
49	48, 17	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
50	35, 30	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))) ∈ ℂ)
51		2cnd 12248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
52		2ne0 12274	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
54	32	sqcld 14095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) ∈ ℂ)
55	34	sqcld 14095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2) ∈ ℂ)
56	54, 55	addcld 11153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) ∈ ℂ)
57	51, 49	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))))) ∈ ℂ)
58	51, 50	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))) ∈ ℂ)
59	39	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2))
60	43	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2))
61	59, 60	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)))
62	61	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
63		ssscongptld.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷)))
64	63	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2))
65		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
66		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐶 − 𝐵))
67		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐶 − 𝐴))
68		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))
69	4, 65, 66, 67, 68	lawcos 26797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
70	10, 5, 6, 13, 8, 69	syl32anc 1381	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
71		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐷 − 𝐸)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸))
72		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐺 − 𝐸)) = (abs‘(𝐺 − 𝐸))
73		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐺 − 𝐷)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷))
74		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) = ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))
75	4, 71, 72, 73, 74	lawcos 26797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) ∧ (𝐺 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸)) → ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
76	23, 18, 19, 26, 21, 75	syl32anc 1381	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
77	64, 70, 76	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
78	62, 77	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
79	56, 57, 58, 78	subcand 11535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))))) = (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))))
80	49, 50, 51, 53, 79	mulcanad 11774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))
81	45, 80	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))
82	17, 30, 35, 38, 81	mulcanad 11774	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) = (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027   + caddc 11030   · cmul 11032   − cmin 11366  -cneg 11367   / cdiv 11796  2c2 12225  (,]cioc 13288  ↑cexp 14012  ℑcim 15049  abscabs 15185  cosccos 16018  πcpi 16020  logclog 26534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-fbas 21339  df-fg 21340  df-cnfld 21343  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-cld 22993  df-ntr 22994  df-cls 22995  df-nei 23072  df-lp 23110  df-perf 23111  df-cn 23201  df-cnp 23202  df-haus 23289  df-tx 23536  df-hmeo 23729  df-fil 23820  df-fm 23912  df-flim 23913  df-flf 23914  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cncf 24854  df-limc 25842  df-dv 25843  df-log 26536

This theorem is referenced by:  chordthmlem  26813