Theorem ssscongptld 26209

Description: If two triangles have equal sides, one angle in one triangle has the same cosine as the corresponding angle in the other triangle. This is a partial form of the SSS congruence theorem.

This theorem is proven by using lawcos 26203 on both triangles to express one side in terms of the other two, and then equating these expressions and reducing this algebraically to get an equality of cosines of angles. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssscongptld.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ssscongptld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ssscongptld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ssscongptld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
ssscongptld.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
ssscongptld.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
ssscongptld.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
ssscongptld.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
ssscongptld.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
ssscongptld.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
ssscongptld.10	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐺)
ssscongptld.11	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸)))
ssscongptld.12	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
ssscongptld.13	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
ssscongptld	⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) = (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssscongptld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negpitopissre 25933	. . . . 5 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11117	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3956	. . . 4 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℂ
4		ssscongptld.angdef	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
5		ssscongptld.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		ssscongptld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		ssscongptld.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	5, 6, 8	subne0d 11530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
10		ssscongptld.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10, 6	subcld 11521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
12		ssscongptld.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	10, 6, 13	subne0d 11530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
15	4, 7, 9, 11, 14	angcld 26192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) ∈ (-π(,]π))
16	3, 15	sselid 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
17	16	coscld 16024	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18		ssscongptld.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
19		ssscongptld.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
20	18, 19	subcld 11521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℂ)
21		ssscongptld.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
22	18, 19, 21	subne0d 11530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ≠ 0)
23		ssscongptld.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
24	23, 19	subcld 11521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℂ)
25		ssscongptld.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐺)
26	25	necomd 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝐸)
27	23, 19, 26	subne0d 11530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ≠ 0)
28	4, 20, 22, 24, 27	angcld 26192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) ∈ (-π(,]π))
29	3, 28	sselid 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℂ)
30	29	coscld 16024	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))) ∈ ℂ)
31	20	abscld 15333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℂ)
33	24	abscld 15333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℂ)
35	32, 34	mulcld 11184	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) ∈ ℂ)
36	20, 22	absne0d 15344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ≠ 0)
37	24, 27	absne0d 15344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ≠ 0)
38	32, 34, 36, 37	mulne0d 11816	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) ≠ 0)
39		ssscongptld.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸)))
40		ssscongptld.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
41	10, 6	abssubd 15350	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
42	23, 19	abssubd 15350	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
43	40, 41, 42	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐺 − 𝐸)))
44	39, 43	oveq12d 7380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) = ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))))
45	44	oveq1d 7377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))
46	39, 32	eqeltrd 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
47	43, 34	eqeltrd 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
48	46, 47	mulcld 11184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
49	48, 17	mulcld 11184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
50	35, 30	mulcld 11184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))) ∈ ℂ)
51		2cnd 12240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
52		2ne0 12266	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
54	32	sqcld 14059	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) ∈ ℂ)
55	34	sqcld 14059	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2) ∈ ℂ)
56	54, 55	addcld 11183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) ∈ ℂ)
57	51, 49	mulcld 11184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))))) ∈ ℂ)
58	51, 50	mulcld 11184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))) ∈ ℂ)
59	39	oveq1d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2))
60	43	oveq1d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2))
61	59, 60	oveq12d 7380	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)))
62	61	oveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
63		ssscongptld.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷)))
64	63	oveq1d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2))
65		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
66		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐶 − 𝐵))
67		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐶 − 𝐴))
68		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))
69	4, 65, 66, 67, 68	lawcos 26203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
70	10, 5, 6, 13, 8, 69	syl32anc 1378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
71		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐷 − 𝐸)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸))
72		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐺 − 𝐸)) = (abs‘(𝐺 − 𝐸))
73		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐺 − 𝐷)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷))
74		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) = ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))
75	4, 71, 72, 73, 74	lawcos 26203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) ∧ (𝐺 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸)) → ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
76	23, 18, 19, 26, 21, 75	syl32anc 1378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
77	64, 70, 76	3eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
78	62, 77	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
79	56, 57, 58, 78	subcand 11562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))))) = (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))))
80	49, 50, 51, 53, 79	mulcanad 11799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))
81	45, 80	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))
82	17, 30, 35, 38, 81	mulcanad 11799	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) = (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3910  {csn 4591  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  ℂcc 11058  ℝcr 11059  0cc0 11060   + caddc 11063   · cmul 11065   − cmin 11394  -cneg 11395   / cdiv 11821  2c2 12217  (,]cioc 13275  ↑cexp 13977  ℑcim 14995  abscabs 15131  cosccos 15958  πcpi 15960  logclog 25947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ioc 13279  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184  df-bc 14213  df-hash 14241  df-shft 14964  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-limsup 15365  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-ef 15961  df-sin 15963  df-cos 15964  df-pi 15966  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cncf 24278  df-limc 25267  df-dv 25268  df-log 25949

This theorem is referenced by:  chordthmlem  26219