Theorem ssscongptld 26857

Description: If two triangles have equal sides, one angle in one triangle has the same cosine as the corresponding angle in the other triangle. This is a partial form of the SSS congruence theorem.

This theorem is proven by using lawcos 26851 on both triangles to express one side in terms of the other two, and then equating these expressions and reducing this algebraically to get an equality of cosines of angles. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssscongptld.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ssscongptld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ssscongptld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ssscongptld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
ssscongptld.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
ssscongptld.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
ssscongptld.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
ssscongptld.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
ssscongptld.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
ssscongptld.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
ssscongptld.10	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐺)
ssscongptld.11	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸)))
ssscongptld.12	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
ssscongptld.13	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
ssscongptld	⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) = (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssscongptld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negpitopissre 26575	. . . . 5 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11120	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3940	. . . 4 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℂ
4		ssscongptld.angdef	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
5		ssscongptld.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		ssscongptld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		ssscongptld.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	5, 6, 8	subne0d 11541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
10		ssscongptld.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10, 6	subcld 11532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
12		ssscongptld.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 3006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	10, 6, 13	subne0d 11541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
15	4, 7, 9, 11, 14	angcld 26840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) ∈ (-π(,]π))
16	3, 15	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
17	16	coscld 16139	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18		ssscongptld.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
19		ssscongptld.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
20	18, 19	subcld 11532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℂ)
21		ssscongptld.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
22	18, 19, 21	subne0d 11541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ≠ 0)
23		ssscongptld.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
24	23, 19	subcld 11532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℂ)
25		ssscongptld.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐺)
26	25	necomd 3006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝐸)
27	23, 19, 26	subne0d 11541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ≠ 0)
28	4, 20, 22, 24, 27	angcld 26840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) ∈ (-π(,]π))
29	3, 28	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℂ)
30	29	coscld 16139	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))) ∈ ℂ)
31	20	abscld 15442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℂ)
33	24	abscld 15442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℂ)
35	32, 34	mulcld 11192	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) ∈ ℂ)
36	20, 22	absne0d 15453	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ≠ 0)
37	24, 27	absne0d 15453	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ≠ 0)
38	32, 34, 36, 37	mulne0d 11829	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) ≠ 0)
39		ssscongptld.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸)))
40		ssscongptld.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
41	10, 6	abssubd 15459	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
42	23, 19	abssubd 15459	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
43	40, 41, 42	3eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐺 − 𝐸)))
44	39, 43	oveq12d 7403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) = ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))))
45	44	oveq1d 7400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))
46	39, 32	eqeltrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
47	43, 34	eqeltrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
48	46, 47	mulcld 11192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
49	48, 17	mulcld 11192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
50	35, 30	mulcld 11192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))) ∈ ℂ)
51		2cnd 12286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
52		2ne0 12314	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
54	32	sqcld 14147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) ∈ ℂ)
55	34	sqcld 14147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2) ∈ ℂ)
56	54, 55	addcld 11191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) ∈ ℂ)
57	51, 49	mulcld 11192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))))) ∈ ℂ)
58	51, 50	mulcld 11192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))) ∈ ℂ)
59	39	oveq1d 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2))
60	43	oveq1d 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2))
61	59, 60	oveq12d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)))
62	61	oveq1d 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
63		ssscongptld.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷)))
64	63	oveq1d 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2))
65		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
66		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐶 − 𝐵))
67		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐶 − 𝐴))
68		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))
69	4, 65, 66, 67, 68	lawcos 26851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
70	10, 5, 6, 13, 8, 69	syl32anc 1393	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
71		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐷 − 𝐸)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸))
72		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐺 − 𝐸)) = (abs‘(𝐺 − 𝐸))
73		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐺 − 𝐷)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷))
74		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) = ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))
75	4, 71, 72, 73, 74	lawcos 26851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) ∧ (𝐺 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸)) → ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
76	23, 18, 19, 26, 21, 75	syl32anc 1393	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
77	64, 70, 76	3eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
78	62, 77	eqtr3d 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
79	56, 57, 58, 78	subcand 11573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))))) = (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))))
80	49, 50, 51, 53, 79	mulcanad 11812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))
81	45, 80	eqtr3d 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))
82	17, 30, 35, 38, 81	mulcanad 11812	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) = (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3896  {csn 4576  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ∈ cmpo 7387  ℂcc 11061  ℝcr 11062  0cc0 11063   + caddc 11066   · cmul 11068   − cmin 11404  -cneg 11405   / cdiv 11834  2c2 12262  (,]cioc 13340  ↑cexp 14064  ℑcim 15101  abscabs 15237  cosccos 16070  πcpi 16072  logclog 26589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ioc 13344  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14277  df-bc 14306  df-hash 14334  df-shft 15070  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-limsup 15474  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-ef 16073  df-sin 16075  df-cos 16076  df-pi 16078  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-topgen 17448  df-pt 17449  df-prds 17452  df-xrs 17508  df-qtop 17513  df-imas 17514  df-xps 17516  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-mulg 19086  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-fbas 21394  df-fg 21395  df-cnfld 21398  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-cld 23052  df-ntr 23053  df-cls 23054  df-nei 23131  df-lp 23169  df-perf 23170  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-haus 23348  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-fil 23879  df-fm 23971  df-flim 23972  df-flf 23973  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-cncf 24913  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26591

This theorem is referenced by:  chordthmlem  26867