Theorem ssscongptld 26853

Description: If two triangles have equal sides, one angle in one triangle has the same cosine as the corresponding angle in the other triangle. This is a partial form of the SSS congruence theorem.

This theorem is proven by using lawcos 26847 on both triangles to express one side in terms of the other two, and then equating these expressions and reducing this algebraically to get an equality of cosines of angles. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssscongptld.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ssscongptld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ssscongptld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ssscongptld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
ssscongptld.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
ssscongptld.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
ssscongptld.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
ssscongptld.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
ssscongptld.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
ssscongptld.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
ssscongptld.10	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐺)
ssscongptld.11	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸)))
ssscongptld.12	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
ssscongptld.13	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
ssscongptld	⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) = (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssscongptld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negpitopissre 26571	. . . . 5 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11116	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3936	. . . 4 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℂ
4		ssscongptld.angdef	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
5		ssscongptld.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		ssscongptld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		ssscongptld.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	5, 6, 8	subne0d 11537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
10		ssscongptld.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10, 6	subcld 11528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
12		ssscongptld.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	10, 6, 13	subne0d 11537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
15	4, 7, 9, 11, 14	angcld 26836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) ∈ (-π(,]π))
16	3, 15	sselid 3925	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
17	16	coscld 16135	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18		ssscongptld.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
19		ssscongptld.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
20	18, 19	subcld 11528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℂ)
21		ssscongptld.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
22	18, 19, 21	subne0d 11537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ≠ 0)
23		ssscongptld.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
24	23, 19	subcld 11528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℂ)
25		ssscongptld.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐺)
26	25	necomd 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝐸)
27	23, 19, 26	subne0d 11537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ≠ 0)
28	4, 20, 22, 24, 27	angcld 26836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) ∈ (-π(,]π))
29	3, 28	sselid 3925	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℂ)
30	29	coscld 16135	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))) ∈ ℂ)
31	20	abscld 15438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℂ)
33	24	abscld 15438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℂ)
35	32, 34	mulcld 11188	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) ∈ ℂ)
36	20, 22	absne0d 15449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ≠ 0)
37	24, 27	absne0d 15449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ≠ 0)
38	32, 34, 36, 37	mulne0d 11825	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) ≠ 0)
39		ssscongptld.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸)))
40		ssscongptld.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
41	10, 6	abssubd 15455	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
42	23, 19	abssubd 15455	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
43	40, 41, 42	3eqtr4d 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐺 − 𝐸)))
44	39, 43	oveq12d 7399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) = ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))))
45	44	oveq1d 7396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))
46	39, 32	eqeltrd 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
47	43, 34	eqeltrd 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
48	46, 47	mulcld 11188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
49	48, 17	mulcld 11188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
50	35, 30	mulcld 11188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))) ∈ ℂ)
51		2cnd 12282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
52		2ne0 12310	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
54	32	sqcld 14143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) ∈ ℂ)
55	34	sqcld 14143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2) ∈ ℂ)
56	54, 55	addcld 11187	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) ∈ ℂ)
57	51, 49	mulcld 11188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))))) ∈ ℂ)
58	51, 50	mulcld 11188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))) ∈ ℂ)
59	39	oveq1d 7396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2))
60	43	oveq1d 7396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2))
61	59, 60	oveq12d 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)))
62	61	oveq1d 7396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
63		ssscongptld.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷)))
64	63	oveq1d 7396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2))
65		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
66		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐶 − 𝐵))
67		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐶 − 𝐴))
68		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))
69	4, 65, 66, 67, 68	lawcos 26847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
70	10, 5, 6, 13, 8, 69	syl32anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
71		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐷 − 𝐸)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸))
72		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐺 − 𝐸)) = (abs‘(𝐺 − 𝐸))
73		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐺 − 𝐷)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷))
74		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) = ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))
75	4, 71, 72, 73, 74	lawcos 26847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) ∧ (𝐺 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸)) → ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
76	23, 18, 19, 26, 21, 75	syl32anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
77	64, 70, 76	3eqtr3d 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
78	62, 77	eqtr3d 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
79	56, 57, 58, 78	subcand 11569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))))) = (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))))
80	49, 50, 51, 53, 79	mulcanad 11808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))
81	45, 80	eqtr3d 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))
82	17, 30, 35, 38, 81	mulcanad 11808	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) = (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947   ∖ cdif 3892  {csn 4572  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ∈ cmpo 7383  ℂcc 11057  ℝcr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   · cmul 11064   − cmin 11400  -cneg 11401   / cdiv 11830  2c2 12258  (,]cioc 13336  ↑cexp 14060  ℑcim 15097  abscabs 15233  cosccos 16066  πcpi 16068  logclog 26585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xneg 13100  df-xadd 13101  df-xmul 13102  df-ioo 13339  df-ioc 13340  df-ico 13341  df-icc 13342  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-fl 13788  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15066  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-limsup 15470  df-clim 15487  df-rlim 15488  df-sum 15686  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17504  df-qtop 17509  df-imas 17510  df-xps 17512  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18790  df-mulg 19082  df-cntz 19329  df-cmn 19794  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-fbas 21390  df-fg 21391  df-cnfld 21394  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22975  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24349  df-ms 24350  df-tms 24351  df-cncf 24909  df-limc 25897  df-dv 25898  df-log 26587

This theorem is referenced by:  chordthmlem  26863