MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssscongptld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssscongptld 25384
Description: If two triangles have equal sides, one angle in one triangle has the same cosine as the corresponding angle in the other triangle. This is a partial form of the SSS congruence theorem.

This theorem is proven by using lawcos 25378 on both triangles to express one side in terms of the other two, and then equating these expressions and reducing this algebraically to get an equality of cosines of angles. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses
Ref Expression
ssscongptld.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ssscongptld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
ssscongptld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
ssscongptld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
ssscongptld.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
ssscongptld.5 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
ssscongptld.6 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
ssscongptld.7 (𝜑𝐴𝐵)
ssscongptld.8 (𝜑𝐵𝐶)
ssscongptld.9 (𝜑𝐷𝐸)
ssscongptld.10 (𝜑𝐸𝐺)
ssscongptld.11 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐷𝐸)))
ssscongptld.12 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) = (abs‘(𝐸𝐺)))
ssscongptld.13 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐴)) = (abs‘(𝐺𝐷)))
Assertion
Ref Expression
ssscongptld (𝜑 → (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))) = (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssscongptld
StepHypRef Expression
1 negpitopissre 25108 . . . . 5 (-π(,]π) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 10570 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3952 . . . 4 (-π(,]π) ⊆ ℂ
4 ssscongptld.angdef . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
5 ssscongptld.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 ssscongptld.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
75, 6subcld 10973 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
8 ssscongptld.7 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
95, 6, 8subne0d 10982 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)
10 ssscongptld.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1110, 6subcld 10973 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
12 ssscongptld.8 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
1312necomd 3061 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
1410, 6, 13subne0d 10982 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ 0)
154, 7, 9, 11, 14angcld 25367 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) ∈ (-π(,]π))
163, 15sseldi 3941 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
1716coscld 15462 . 2 (𝜑 → (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))) ∈ ℂ)
18 ssscongptld.4 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
19 ssscongptld.5 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2018, 19subcld 10973 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐸) ∈ ℂ)
21 ssscongptld.9 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐸)
2218, 19, 21subne0d 10982 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐸) ≠ 0)
23 ssscongptld.6 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
2423, 19subcld 10973 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℂ)
25 ssscongptld.10 . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝐺)
2625necomd 3061 . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐸)
2723, 19, 26subne0d 10982 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐸) ≠ 0)
284, 20, 22, 24, 27angcld 25367 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)) ∈ (-π(,]π))
293, 28sseldi 3941 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)) ∈ ℂ)
3029coscld 15462 . 2 (𝜑 → (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))) ∈ ℂ)
3120abscld 14774 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐸)) ∈ ℝ)
3231recnd 10645 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐸)) ∈ ℂ)
3324abscld 14774 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐺𝐸)) ∈ ℝ)
3433recnd 10645 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐺𝐸)) ∈ ℂ)
3532, 34mulcld 10637 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) ∈ ℂ)
3620, 22absne0d 14785 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐸)) ≠ 0)
3724, 27absne0d 14785 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐺𝐸)) ≠ 0)
3832, 34, 36, 37mulne0d 11268 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) ≠ 0)
39 ssscongptld.11 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐷𝐸)))
40 ssscongptld.12 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) = (abs‘(𝐸𝐺)))
4110, 6abssubd 14791 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
4223, 19abssubd 14791 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐺𝐸)) = (abs‘(𝐸𝐺)))
4340, 41, 423eqtr4d 2865 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐵)) = (abs‘(𝐺𝐸)))
4439, 43oveq12d 7149 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) = ((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))))
4544oveq1d 7146 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))) = (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))
4639, 32eqeltrd 2911 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
4743, 34eqeltrd 2911 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
4846, 47mulcld 10637 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) ∈ ℂ)
4948, 17mulcld 10637 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))) ∈ ℂ)
5035, 30mulcld 10637 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))) ∈ ℂ)
51 2cnd 11692 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
52 2ne0 11718 . . . . 5 2 ≠ 0
5352a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5432sqcld 13491 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐷𝐸))↑2) ∈ ℂ)
5534sqcld 13491 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐺𝐸))↑2) ∈ ℂ)
5654, 55addcld 10636 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) ∈ ℂ)
5751, 49mulcld 10637 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))))) ∈ ℂ)
5851, 50mulcld 10637 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))))) ∈ ℂ)
5939oveq1d 7146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐷𝐸))↑2))
6043oveq1d 7146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐺𝐸))↑2))
6159, 60oveq12d 7149 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶𝐵))↑2)) = (((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)))
6261oveq1d 7146 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))))
63 ssscongptld.13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐴)) = (abs‘(𝐺𝐷)))
6463oveq1d 7146 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐺𝐷))↑2))
65 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐴𝐵))
66 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐶𝐵)) = (abs‘(𝐶𝐵))
67 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐶𝐴)) = (abs‘(𝐶𝐴))
68 eqid 2820 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))
694, 65, 66, 67, 68lawcos 25378 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝐵𝐴𝐵)) → ((abs‘(𝐶𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))))
7010, 5, 6, 13, 8, 69syl32anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))))
71 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐷𝐸)) = (abs‘(𝐷𝐸))
72 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐺𝐸)) = (abs‘(𝐺𝐸))
73 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐺𝐷)) = (abs‘(𝐺𝐷))
74 eqid 2820 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)) = ((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))
754, 71, 72, 73, 74lawcos 25378 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) ∧ (𝐺𝐸𝐷𝐸)) → ((abs‘(𝐺𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))))
7623, 18, 19, 26, 21, 75syl32anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐺𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))))
7764, 70, 763eqtr3d 2863 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))))
7862, 77eqtr3d 2857 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))))
7956, 57, 58, 78subcand 11014 . . . 4 (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))))) = (2 · (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))))))
8049, 50, 51, 53, 79mulcanad 11251 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (abs‘(𝐶𝐵))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))) = (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))
8145, 80eqtr3d 2857 . 2 (𝜑 → (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)))) = (((abs‘(𝐷𝐸)) · (abs‘(𝐺𝐸))) · (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸)))))
8217, 30, 35, 38, 81mulcanad 11251 1 (𝜑 → (cos‘((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵))) = (cos‘((𝐷𝐸)𝐹(𝐺𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  cdif 3909  {csn 4541  cfv 6329  (class class class)co 7131  cmpo 7133  cc 10511  cr 10512  0cc0 10513   + caddc 10516   · cmul 10518  cmin 10846  -cneg 10847   / cdiv 11273  2c2 11669  (,]cioc 12716  cexp 13412  cim 14435  abscabs 14571  cosccos 15396  πcpi 15398  logclog 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-inf2 9080  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591  ax-addf 10592  ax-mulf 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-iin 4896  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-of 7385  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-supp 7807  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-2o 8079  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-pm 8385  df-ixp 8438  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-4 11679  df-5 11680  df-6 11681  df-7 11682  df-8 11683  df-9 11684  df-n0 11875  df-z 11959  df-dec 12076  df-uz 12221  df-q 12326  df-rp 12367  df-xneg 12484  df-xadd 12485  df-xmul 12486  df-ioo 12719  df-ioc 12720  df-ico 12721  df-icc 12722  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-fl 13144  df-mod 13220  df-seq 13352  df-exp 13413  df-fac 13617  df-bc 13646  df-hash 13674  df-shft 14404  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-limsup 14806  df-clim 14823  df-rlim 14824  df-sum 15021  df-ef 15399  df-sin 15401  df-cos 15402  df-pi 15404  df-struct 16461  df-ndx 16462  df-slot 16463  df-base 16465  df-sets 16466  df-ress 16467  df-plusg 16554  df-mulr 16555  df-starv 16556  df-sca 16557  df-vsca 16558  df-ip 16559  df-tset 16560  df-ple 16561  df-ds 16563  df-unif 16564  df-hom 16565  df-cco 16566  df-rest 16672  df-topn 16673  df-0g 16691  df-gsum 16692  df-topgen 16693  df-pt 16694  df-prds 16697  df-xrs 16751  df-qtop 16756  df-imas 16757  df-xps 16759  df-mre 16833  df-mrc 16834  df-acs 16836  df-mgm 17828  df-sgrp 17877  df-mnd 17888  df-submnd 17933  df-mulg 18201  df-cntz 18423  df-cmn 18884  df-psmet 20510  df-xmet 20511  df-met 20512  df-bl 20513  df-mopn 20514  df-fbas 20515  df-fg 20516  df-cnfld 20519  df-top 21475  df-topon 21492  df-topsp 21514  df-bases 21527  df-cld 21600  df-ntr 21601  df-cls 21602  df-nei 21679  df-lp 21717  df-perf 21718  df-cn 21808  df-cnp 21809  df-haus 21896  df-tx 22143  df-hmeo 22336  df-fil 22427  df-fm 22519  df-flim 22520  df-flf 22521  df-xms 22903  df-ms 22904  df-tms 22905  df-cncf 23459  df-limc 24445  df-dv 24446  df-log 25124
This theorem is referenced by:  chordthmlem  25394
  Copyright terms: Public domain W3C validator