Theorem ssscongptld 26793

Description: If two triangles have equal sides, one angle in one triangle has the same cosine as the corresponding angle in the other triangle. This is a partial form of the SSS congruence theorem.

This theorem is proven by using lawcos 26787 on both triangles to express one side in terms of the other two, and then equating these expressions and reducing this algebraically to get an equality of cosines of angles. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssscongptld.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ssscongptld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ssscongptld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
ssscongptld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
ssscongptld.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
ssscongptld.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
ssscongptld.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
ssscongptld.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
ssscongptld.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
ssscongptld.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
ssscongptld.10	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐺)
ssscongptld.11	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸)))
ssscongptld.12	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
ssscongptld.13	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
ssscongptld	⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) = (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssscongptld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negpitopissre 26510	. . . . 5 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11088	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3944	. . . 4 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℂ
4		ssscongptld.angdef	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
5		ssscongptld.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		ssscongptld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		ssscongptld.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	5, 6, 8	subne0d 11506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
10		ssscongptld.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10, 6	subcld 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
12		ssscongptld.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	10, 6, 13	subne0d 11506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
15	4, 7, 9, 11, 14	angcld 26776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) ∈ (-π(,]π))
16	3, 15	sselid 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
17	16	coscld 16061	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18		ssscongptld.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
19		ssscongptld.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
20	18, 19	subcld 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℂ)
21		ssscongptld.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
22	18, 19, 21	subne0d 11506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ≠ 0)
23		ssscongptld.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
24	23, 19	subcld 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℂ)
25		ssscongptld.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐺)
26	25	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝐸)
27	23, 19, 26	subne0d 11506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ≠ 0)
28	4, 20, 22, 24, 27	angcld 26776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) ∈ (-π(,]π))
29	3, 28	sselid 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℂ)
30	29	coscld 16061	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))) ∈ ℂ)
31	20	abscld 15367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℂ)
33	24	abscld 15367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ∈ ℂ)
35	32, 34	mulcld 11157	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) ∈ ℂ)
36	20, 22	absne0d 15378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ≠ 0)
37	24, 27	absne0d 15378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) ≠ 0)
38	32, 34, 36, 37	mulne0d 11794	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) ≠ 0)
39		ssscongptld.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸)))
40		ssscongptld.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
41	10, 6	abssubd 15384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
42	23, 19	abssubd 15384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐺 − 𝐸)) = (abs‘(𝐸 − 𝐺)))
43	40, 41, 42	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐺 − 𝐸)))
44	39, 43	oveq12d 7379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) = ((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))))
45	44	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))
46	39, 32	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
47	43, 34	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
48	46, 47	mulcld 11157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) ∈ ℂ)
49	48, 17	mulcld 11157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) ∈ ℂ)
50	35, 30	mulcld 11157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))) ∈ ℂ)
51		2cnd 12228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
52		2ne0 12254	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
54	32	sqcld 14072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) ∈ ℂ)
55	34	sqcld 14072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2) ∈ ℂ)
56	54, 55	addcld 11156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) ∈ ℂ)
57	51, 49	mulcld 11157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))))) ∈ ℂ)
58	51, 50	mulcld 11157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))) ∈ ℂ)
59	39	oveq1d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2))
60	43	oveq1d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2) = ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2))
61	59, 60	oveq12d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)))
62	61	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
63		ssscongptld.13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷)))
64	63	oveq1d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2))
65		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵))
66		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐶 − 𝐵))
67		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐶 − 𝐴)) = (abs‘(𝐶 − 𝐴))
68		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))
69	4, 65, 66, 67, 68	lawcos 26787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
70	10, 5, 6, 13, 8, 69	syl32anc 1381	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐶 − 𝐴))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))))
71		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐷 − 𝐸)) = (abs‘(𝐷 − 𝐸))
72		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐺 − 𝐸)) = (abs‘(𝐺 − 𝐸))
73		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐺 − 𝐷)) = (abs‘(𝐺 − 𝐷))
74		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)) = ((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))
75	4, 71, 72, 73, 74	lawcos 26787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) ∧ (𝐺 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸)) → ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
76	23, 18, 19, 26, 21, 75	syl32anc 1381	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐺 − 𝐷))↑2) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
77	64, 70, 76	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵))↑2) + ((abs‘(𝐶 − 𝐵))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
78	62, 77	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))))) = ((((abs‘(𝐷 − 𝐸))↑2) + ((abs‘(𝐺 − 𝐸))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))))
79	56, 57, 58, 78	subcand 11538	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))))) = (2 · (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))))
80	49, 50, 51, 53, 79	mulcanad 11777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (abs‘(𝐶 − 𝐵))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))
81	45, 80	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)))) = (((abs‘(𝐷 − 𝐸)) · (abs‘(𝐺 − 𝐸))) · (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸)))))
82	17, 30, 35, 38, 81	mulcanad 11777	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵))) = (cos‘((𝐷 − 𝐸)𝐹(𝐺 − 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3899  {csn 4581  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  ℂcc 11029  ℝcr 11030  0cc0 11031   + caddc 11034   · cmul 11036   − cmin 11369  -cneg 11370   / cdiv 11799  2c2 12205  (,]cioc 13267  ↑cexp 13989  ℑcim 15026  abscabs 15162  cosccos 15992  πcpi 15994  logclog 26524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109  ax-addf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-xneg 13031  df-xadd 13032  df-xmul 13033  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13717  df-mod 13795  df-seq 13930  df-exp 13990  df-fac 14202  df-bc 14231  df-hash 14259  df-shft 14995  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-limsup 15399  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15615  df-ef 15995  df-sin 15997  df-cos 15998  df-pi 16000  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-hom 17206  df-cco 17207  df-rest 17347  df-topn 17348  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-topgen 17368  df-pt 17369  df-prds 17372  df-xrs 17428  df-qtop 17433  df-imas 17434  df-xps 17436  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18714  df-mulg 19003  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-psmet 21306  df-xmet 21307  df-met 21308  df-bl 21309  df-mopn 21310  df-fbas 21311  df-fg 21312  df-cnfld 21315  df-top 22843  df-topon 22860  df-topsp 22882  df-bases 22895  df-cld 22968  df-ntr 22969  df-cls 22970  df-nei 23047  df-lp 23085  df-perf 23086  df-cn 23176  df-cnp 23177  df-haus 23264  df-tx 23511  df-hmeo 23704  df-fil 23795  df-fm 23887  df-flim 23888  df-flf 23889  df-xms 24269  df-ms 24270  df-tms 24271  df-cncf 24832  df-limc 25828  df-dv 25829  df-log 26526

This theorem is referenced by:  chordthmlem  26803