Theorem subeq0ad 11552

Description: The difference of two complex numbers is zero iff they are equal. Deduction form of subeq0 11457. Generalization of subeq0d 11550. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subeq0ad	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subeq0 11457	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073   − cmin 11414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-sub 11416

This theorem is referenced by:  subne0ad  11553  subeq0bd  11613  muleqadd  11831  mulcan1g  11840  ofsubeq0  12192  nn0n0n1ge2  12549  mod0  13886  modirr  13955  addmodlteq  13959  sqreulem  15387  sqreu  15388  tanaddlem  16198  fldivp1  16933  4sqlem11  16991  4sqlem16  16996  znf1o  21603  cphsqrtcl2  25248  rrxmet  25470  dvcobr  26008  dvcnvlem  26038  cmvth  26053  dvlip  26055  lhop1lem  26075  ftc1lem5  26102  aalioulem2  26397  sineq0  26589  tanarg  26684  affineequiv  26888  quad2  26904  dcubic  26911  eqeelen  29105  colinearalg  29111  axcontlem7  29171  ipasslem9  31041  ip2eqi  31059  hi2eq  31308  lnopeqi  32211  riesz3i  32265  2sqr3minply  34077  signslema  34856  circlemeth  34934  poimirlem32  38151  broucube  38153  rrnmet  38328  eqrabdioph  43358  pellexlem1  43406  sineq0ALT  45512  digexp  49229  eenglngeehlnmlem2  49360  2itscp  49403