Theorem subeq0ad 11342

Description: The difference of two complex numbers is zero iff they are equal. Deduction form of subeq0 11247. Generalization of subeq0d 11340. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subeq0ad	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subeq0 11247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207

This theorem is referenced by:  subne0ad  11343  subeq0bd  11401  muleqadd  11619  mulcan1g  11628  ofsubeq0  11970  nn0n0n1ge2  12300  mod0  13596  modirr  13662  addmodlteq  13666  sqreulem  15071  sqreu  15072  tanaddlem  15875  fldivp1  16598  4sqlem11  16656  4sqlem16  16661  znf1o  20759  cphsqrtcl2  24350  rrxmet  24572  dvcobr  25110  dvcnvlem  25140  cmvth  25155  dvlip  25157  lhop1lem  25177  ftc1lem5  25204  aalioulem2  25493  sineq0  25680  tanarg  25774  affineequiv  25973  quad2  25989  dcubic  25996  eqeelen  27272  colinearalg  27278  axcontlem7  27338  ipasslem9  29200  ip2eqi  29218  hi2eq  29467  lnopeqi  30370  riesz3i  30424  signslema  32541  circlemeth  32620  poimirlem32  35809  broucube  35811  rrnmet  35987  eqrabdioph  40599  pellexlem1  40651  sineq0ALT  42557  digexp  45953  eenglngeehlnmlem2  46084  2itscp  46127