MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angpieqvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem angpieqvd 26781
Description: The angle ABC is ฯ€ iff ๐ต is a nontrivial convex combination of ๐ด and ๐ถ, i.e., iff ๐ต is in the interior of the segment AC. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
angpieqvd.angdef ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
angpieqvd.A (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
angpieqvd.B (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
angpieqvd.C (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
angpieqvd.AneB (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
angpieqvd.BneC (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
angpieqvd (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€ โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ค,๐น   ๐œ‘,๐‘ค   ๐‘ค,๐ด   ๐‘ค,๐ต   ๐‘ค,๐ถ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem angpieqvd
StepHypRef Expression
1 angpieqvd.angdef . . . . . . 7 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
2 angpieqvd.A . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 angpieqvd.B . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 angpieqvd.C . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 angpieqvd.AneB . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
6 angpieqvd.BneC . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
71, 2, 3, 4, 5, 6angpieqvdlem2 26779 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€))
87biimpar 476 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ -((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+)
92adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
103adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
114adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
125adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
131, 2, 3, 4, 5, 6angpined 26780 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ))
1413imp 405 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)
159, 10, 11, 12, 14angpieqvdlem 26778 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (-((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0(,)1)))
168, 15mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0(,)1))
174, 3subcld 11601 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1817adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
194, 2subcld 11601 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2019adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2114necomd 2986 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ด)
2211, 9, 21subne0d 11610 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
2318, 20, 22divcan1d 12021 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
2423eqcomd 2731 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
2518, 20, 22divcld 12020 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
269, 10, 11, 25affineequiv 26773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (๐ต = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))) ยท ๐ถ)) โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))))
2724, 26mpbird 256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ต = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))) ยท ๐ถ)))
28 oveq1 7423 . . . . . 6 (๐‘ค = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†’ (๐‘ค ยท ๐ด) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด))
29 oveq2 7424 . . . . . . 7 (๐‘ค = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ค) = (1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))))
3029oveq1d 7431 . . . . . 6 (๐‘ค = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ) = ((1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))) ยท ๐ถ))
3128, 30oveq12d 7434 . . . . 5 (๐‘ค = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))) ยท ๐ถ)))
3231rspceeqv 3623 . . . 4 ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0(,)1) โˆง ๐ต = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))) ยท ๐ถ))) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)))
3316, 27, 32syl2anc 582 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)))
3433ex 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ))))
352adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
363adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
374adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
38 simpr 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (0(,)1))
39 elioore 13386 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
40 recn 11228 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
4138, 39, 403syl 18 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
4235, 36, 37, 41affineequiv 26773 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)) โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))))
43 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
44173ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
45413adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
46193ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
476necomd 2986 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ต)
484, 3, 47subne0d 11610 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
49483ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
5043, 49eqnetrrd 2999 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
5145, 46, 50mulne0bbd 11900 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
5244, 45, 46, 51divmul3d 12054 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = ๐‘ค โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))))
5343, 52mpbird 256 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = ๐‘ค)
54 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (0(,)1))
5553, 54eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0(,)1))
5623ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5733ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5843ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5953ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
6058, 56, 51subne0ad 11612 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ด)
6160necomd 2986 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)
6256, 57, 58, 59, 61angpieqvdlem 26778 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (-((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0(,)1)))
6355, 62mpbird 256 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ -((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+)
6463ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
651, 56, 57, 58, 59, 64angpieqvdlem2 26779 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (-((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€))
6663, 65mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€)
67663expia 1118 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€))
6842, 67sylbid 239 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€))
6968rexlimdva 3145 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€))
7034, 69impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€ โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060   โˆ– cdif 3936  {csn 4624  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โˆˆ cmpo 7418  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  โ„+crp 13006  (,)cioo 13356  โ„‘cim 15077  ฯ€cpi 16042  logclog 26506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508
This theorem is referenced by:  chordthm  26787  chordthmALT  44437
  Copyright terms: Public domain W3C validator