MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angpieqvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem angpieqvd 26718
Description: The angle ABC is ฯ€ iff ๐ต is a nontrivial convex combination of ๐ด and ๐ถ, i.e., iff ๐ต is in the interior of the segment AC. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
angpieqvd.angdef ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
angpieqvd.A (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
angpieqvd.B (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
angpieqvd.C (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
angpieqvd.AneB (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
angpieqvd.BneC (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
angpieqvd (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€ โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ค,๐น   ๐œ‘,๐‘ค   ๐‘ค,๐ด   ๐‘ค,๐ต   ๐‘ค,๐ถ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem angpieqvd
StepHypRef Expression
1 angpieqvd.angdef . . . . . . 7 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
2 angpieqvd.A . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 angpieqvd.B . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 angpieqvd.C . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 angpieqvd.AneB . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
6 angpieqvd.BneC . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
71, 2, 3, 4, 5, 6angpieqvdlem2 26716 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€))
87biimpar 477 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ -((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+)
92adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
103adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
114adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
125adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
131, 2, 3, 4, 5, 6angpined 26717 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ))
1413imp 406 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)
159, 10, 11, 12, 14angpieqvdlem 26715 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (-((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0(,)1)))
168, 15mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0(,)1))
174, 3subcld 11575 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
194, 2subcld 11575 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2114necomd 2990 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ด)
2211, 9, 21subne0d 11584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
2318, 20, 22divcan1d 11995 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
2423eqcomd 2732 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
2518, 20, 22divcld 11994 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
269, 10, 11, 25affineequiv 26710 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ (๐ต = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))) ยท ๐ถ)) โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))))
2724, 26mpbird 257 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ ๐ต = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))) ยท ๐ถ)))
28 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ค = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†’ (๐‘ค ยท ๐ด) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด))
29 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ค = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ค) = (1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))))
3029oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ค = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ) = ((1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))) ยท ๐ถ))
3128, 30oveq12d 7423 . . . . 5 (๐‘ค = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)) = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))) ยท ๐ถ)))
3231rspceeqv 3628 . . . 4 ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0(,)1) โˆง ๐ต = ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด))) ยท ๐ถ))) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)))
3316, 27, 32syl2anc 583 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)))
3433ex 412 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ))))
352adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
363adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
374adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
38 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (0(,)1))
39 elioore 13360 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
40 recn 11202 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
4138, 39, 403syl 18 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
4235, 36, 37, 41affineequiv 26710 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)) โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))))
43 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
44173ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
45413adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
46193ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
476necomd 2990 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ต)
484, 3, 47subne0d 11584 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
49483ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
5043, 49eqnetrrd 3003 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
5145, 46, 50mulne0bbd 11874 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
5244, 45, 46, 51divmul3d 12028 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = ๐‘ค โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))))
5343, 52mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = ๐‘ค)
54 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (0(,)1))
5553, 54eqeltrd 2827 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0(,)1))
5623ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5733ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5843ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5953ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
6058, 56, 51subne0ad 11586 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ด)
6160necomd 2990 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)
6256, 57, 58, 59, 61angpieqvdlem 26715 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (-((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0(,)1)))
6355, 62mpbird 257 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ -((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+)
6463ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
651, 56, 57, 58, 59, 64angpieqvdlem2 26716 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ (-((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€))
6663, 65mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1) โˆง (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€)
67663expia 1118 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ค ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€))
6842, 67sylbid 239 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€))
6968rexlimdva 3149 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€))
7034, 69impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ฯ€ โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ (0(,)1)๐ต = ((๐‘ค ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘ค) ยท ๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064   โˆ– cdif 3940  {csn 4623  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„+crp 12980  (,)cioo 13330  โ„‘cim 15051  ฯ€cpi 16016  logclog 26443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445
This theorem is referenced by:  chordthm  26724  chordthmALT  44270
  Copyright terms: Public domain W3C validator