Proof of Theorem angpieqvd
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | angpieqvd.angdef |
. . . . . . 7
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})
↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) |
| 2 | | angpieqvd.A |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 3 | | angpieqvd.B |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 4 | | angpieqvd.C |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 5 | | angpieqvd.AneB |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 6 | | angpieqvd.BneC |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶) |
| 7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | angpieqvdlem2 26872 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)) |
| 8 | 7 | biimpar 477 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈
ℝ+) |
| 9 | 2 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 10 | 3 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 11 | 4 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 12 | 5 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 13 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | angpined 26873 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π → 𝐴 ≠ 𝐶)) |
| 14 | 13 | imp 406 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ≠ 𝐶) |
| 15 | 9, 10, 11, 12, 14 | angpieqvdlem 26871 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1))) |
| 16 | 8, 15 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)) |
| 17 | 4, 3 | subcld 11620 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 19 | 4, 2 | subcld 11620 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) |
| 20 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) |
| 21 | 14 | necomd 2996 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐶 ≠ 𝐴) |
| 22 | 11, 9, 21 | subne0d 11629 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0) |
| 23 | 18, 20, 22 | divcan1d 12044 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐵)) |
| 24 | 23 | eqcomd 2743 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) |
| 25 | 18, 20, 22 | divcld 12043 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 26 | 9, 10, 11, 25 | affineequiv 26866 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)))) |
| 27 | 24, 26 | mpbird 257 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))) |
| 28 | | oveq1 7438 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (𝑤 · 𝐴) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴)) |
| 29 | | oveq2 7439 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (1 − 𝑤) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)))) |
| 30 | 29 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → ((1 − 𝑤) · 𝐶) = ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)) |
| 31 | 28, 30 | oveq12d 7449 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))) |
| 32 | 31 | rspceeqv 3645 |
. . . 4
⊢ ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1) ∧ 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))) |
| 33 | 16, 27, 32 | syl2anc 584 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))) |
| 34 | 33 | ex 412 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))) |
| 35 | 2 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 36 | 3 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 37 | 4 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 38 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ (0(,)1)) |
| 39 | | elioore 13417 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈
ℝ) |
| 40 | | recn 11245 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈
ℂ) |
| 41 | 38, 39, 40 | 3syl 18 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ) |
| 42 | 35, 36, 37, 41 | affineequiv 26866 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)))) |
| 43 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) |
| 44 | 17 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 45 | 41 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝑤 ∈ ℂ) |
| 46 | 19 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) |
| 47 | 6 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵) |
| 48 | 4, 3, 47 | subne0d 11629 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0) |
| 49 | 48 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0) |
| 50 | 43, 49 | eqnetrrd 3009 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)) ≠ 0) |
| 51 | 45, 46, 50 | mulne0bbd 11919 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0) |
| 52 | 44, 45, 46, 51 | divmul3d 12077 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = 𝑤 ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)))) |
| 53 | 43, 52 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = 𝑤) |
| 54 | | simp2 1138 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝑤 ∈ (0(,)1)) |
| 55 | 53, 54 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)) |
| 56 | 2 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 57 | 3 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 58 | 4 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 59 | 5 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 60 | 58, 56, 51 | subne0ad 11631 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐶 ≠ 𝐴) |
| 61 | 60 | necomd 2996 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐶) |
| 62 | 56, 57, 58, 59, 61 | angpieqvdlem 26871 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1))) |
| 63 | 55, 62 | mpbird 257 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈
ℝ+) |
| 64 | 6 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐵 ≠ 𝐶) |
| 65 | 1, 56, 57, 58, 59, 64 | angpieqvdlem2 26872 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)) |
| 66 | 63, 65 | mpbid 232 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) |
| 67 | 66 | 3expia 1122 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → ((𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)) |
| 68 | 42, 67 | sylbid 240 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)) |
| 69 | 68 | rexlimdva 3155 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)) |
| 70 | 34, 69 | impbid 212 |
1
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))) |