Theorem angpieqvd 24971

Description: The angle ABC is π iff B is a nontrivial convex combination of A and C, i.e., iff B is in the interior of the segment AC. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
angpieqvd.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
angpieqvd.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvd.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvd.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvd.AneB	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
angpieqvd.BneC	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
angpieqvd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑤,𝐹   𝜑,𝑤   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem angpieqvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angpieqvd.angdef	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2		angpieqvd.A	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		angpieqvd.B	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		angpieqvd.C	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		angpieqvd.AneB	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		angpieqvd.BneC	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	angpieqvdlem2 24969	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
8	7	biimpar 471	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+)
9	2	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	3	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	4	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	5	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6	angpined 24970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π → 𝐴 ≠ 𝐶))
14	13	imp 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ≠ 𝐶)
15	9, 10, 11, 12, 14	angpieqvdlem 24968	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))
16	8, 15	mpbid 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1))
17	4, 3	subcld 10713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	4, 2	subcld 10713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
20	19	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
21	14	necomd 3054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐶 ≠ 𝐴)
22	11, 9, 21	subne0d 10722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
23	18, 20, 22	divcan1d 11128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐵))
24	23	eqcomd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)))
25	18, 20, 22	divcld 11127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
26	9, 10, 11, 25	affineequiv 24963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
27	24, 26	mpbird 249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)))
28		oveq1 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (𝑤 · 𝐴) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴))
29		oveq2 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (1 − 𝑤) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))))
30	29	oveq1d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → ((1 − 𝑤) · 𝐶) = ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))
31	28, 30	oveq12d 6923	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)))
32	31	rspceeqv 3544	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1) ∧ 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
33	16, 27, 32	syl2anc 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
34	33	ex 403	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
35	2	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	3	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	4	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
38		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
39		elioore 12493	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ ℝ)
40		recn 10342	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
42	35, 36, 37, 41	affineequiv 24963	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))))
43		simp3 1174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)))
44	17	3ad2ant1 1169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
45	41	3adant3 1168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝑤 ∈ ℂ)
46	19	3ad2ant1 1169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
47	6	necomd 3054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
48	4, 3, 47	subne0d 10722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
49	48	3ad2ant1 1169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
50	43, 49	eqnetrrd 3067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
51	45, 46, 50	mulne0bbd 11008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
52	44, 45, 46, 51	divmul3d 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = 𝑤 ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))))
53	43, 52	mpbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = 𝑤)
54		simp2 1173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
55	53, 54	eqeltrd 2906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1))
56	2	3ad2ant1 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	3	3ad2ant1 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	4	3ad2ant1 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
59	5	3ad2ant1 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
60	58, 56, 51	subne0ad 10724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐶 ≠ 𝐴)
61	60	necomd 3054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐶)
62	56, 57, 58, 59, 61	angpieqvdlem 24968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))
63	55, 62	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+)
64	6	3ad2ant1 1169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
65	1, 56, 57, 58, 59, 64	angpieqvdlem2 24969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
66	63, 65	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)
67	66	3expia 1156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → ((𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
68	42, 67	sylbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
69	68	rexlimdva 3240	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
70	34, 69	impbid 204	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118   ∖ cdif 3795  {csn 4397  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↦ cmpt2 6907  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257   − cmin 10585  -cneg 10586   / cdiv 11009  ℝ⁺crp 12112  (,)cioo 12463  ℑcim 14215  πcpi 15169  logclog 24700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702

This theorem is referenced by:  chordthm  24977  chordthmALT  39987