Theorem angpieqvd 26811

Description: The angle ABC is π iff 𝐵 is a nontrivial convex combination of 𝐴 and 𝐶, i.e., iff 𝐵 is in the interior of the segment AC. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
angpieqvd.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
angpieqvd.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvd.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvd.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvd.AneB	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
angpieqvd.BneC	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
angpieqvd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑤,𝐹   𝜑,𝑤   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem angpieqvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angpieqvd.angdef	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2		angpieqvd.A	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		angpieqvd.B	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		angpieqvd.C	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		angpieqvd.AneB	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		angpieqvd.BneC	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	angpieqvdlem2 26809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
8	7	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+)
9	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6	angpined 26810	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π → 𝐴 ≠ 𝐶))
14	13	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ≠ 𝐶)
15	9, 10, 11, 12, 14	angpieqvdlem 26808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))
16	8, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1))
17	4, 3	subcld 11499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	4, 2	subcld 11499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
21	14	necomd 2988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐶 ≠ 𝐴)
22	11, 9, 21	subne0d 11508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
23	18, 20, 22	divcan1d 11926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐵))
24	23	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)))
25	18, 20, 22	divcld 11925	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
26	9, 10, 11, 25	affineequiv 26803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
27	24, 26	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)))
28		oveq1 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (𝑤 · 𝐴) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴))
29		oveq2 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (1 − 𝑤) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))))
30	29	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → ((1 − 𝑤) · 𝐶) = ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))
31	28, 30	oveq12d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)))
32	31	rspceeqv 3588	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1) ∧ 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
33	16, 27, 32	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
34	33	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
35	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
38		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
39		elioore 13322	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ ℝ)
40		recn 11122	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
42	35, 36, 37, 41	affineequiv 26803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))))
43		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)))
44	17	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
45	41	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝑤 ∈ ℂ)
46	19	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
47	6	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
48	4, 3, 47	subne0d 11508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
49	48	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
50	43, 49	eqnetrrd 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
51	45, 46, 50	mulne0bbd 11800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
52	44, 45, 46, 51	divmul3d 11959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = 𝑤 ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))))
53	43, 52	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = 𝑤)
54		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
55	53, 54	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1))
56	2	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	4	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
59	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
60	58, 56, 51	subne0ad 11510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐶 ≠ 𝐴)
61	60	necomd 2988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐶)
62	56, 57, 58, 59, 61	angpieqvdlem 26808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))
63	55, 62	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+)
64	6	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
65	1, 56, 57, 58, 59, 64	angpieqvdlem2 26809	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
66	63, 65	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)
67	66	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → ((𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
68	42, 67	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
69	68	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
70	34, 69	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   − cmin 11371  -cneg 11372   / cdiv 11801  ℝ⁺crp 12936  (,)cioo 13292  ℑcim 15054  πcpi 16025  logclog 26534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-pi 16031  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847  df-log 26536

This theorem is referenced by:  chordthm  26817  chordthmALT  45380