Theorem angpieqvd 26795

Description: The angle ABC is π iff 𝐵 is a nontrivial convex combination of 𝐴 and 𝐶, i.e., iff 𝐵 is in the interior of the segment AC. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
angpieqvd.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
angpieqvd.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvd.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvd.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvd.AneB	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
angpieqvd.BneC	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
angpieqvd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑤,𝐹   𝜑,𝑤   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem angpieqvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angpieqvd.angdef	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2		angpieqvd.A	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		angpieqvd.B	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		angpieqvd.C	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		angpieqvd.AneB	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		angpieqvd.BneC	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	angpieqvdlem2 26793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
8	7	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+)
9	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6	angpined 26794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π → 𝐴 ≠ 𝐶))
14	13	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ≠ 𝐶)
15	9, 10, 11, 12, 14	angpieqvdlem 26792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))
16	8, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1))
17	4, 3	subcld 11490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	4, 2	subcld 11490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
21	14	necomd 2985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐶 ≠ 𝐴)
22	11, 9, 21	subne0d 11499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
23	18, 20, 22	divcan1d 11916	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐵))
24	23	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)))
25	18, 20, 22	divcld 11915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
26	9, 10, 11, 25	affineequiv 26787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
27	24, 26	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)))
28		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (𝑤 · 𝐴) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴))
29		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (1 − 𝑤) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))))
30	29	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → ((1 − 𝑤) · 𝐶) = ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))
31	28, 30	oveq12d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)))
32	31	rspceeqv 3597	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1) ∧ 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
33	16, 27, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
34	33	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
35	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
38		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
39		elioore 13289	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ ℝ)
40		recn 11114	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
42	35, 36, 37, 41	affineequiv 26787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))))
43		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)))
44	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
45	41	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝑤 ∈ ℂ)
46	19	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
47	6	necomd 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
48	4, 3, 47	subne0d 11499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
49	48	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
50	43, 49	eqnetrrd 2998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
51	45, 46, 50	mulne0bbd 11791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
52	44, 45, 46, 51	divmul3d 11949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = 𝑤 ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))))
53	43, 52	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = 𝑤)
54		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
55	53, 54	eqeltrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1))
56	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
59	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
60	58, 56, 51	subne0ad 11501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐶 ≠ 𝐴)
61	60	necomd 2985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐶)
62	56, 57, 58, 59, 61	angpieqvdlem 26792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))
63	55, 62	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+)
64	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
65	1, 56, 57, 58, 59, 64	angpieqvdlem2 26793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
66	63, 65	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)
67	66	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → ((𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
68	42, 67	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
69	68	rexlimdva 3135	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π))
70	34, 69	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058   ∖ cdif 3896  {csn 4578  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362  -cneg 11363   / cdiv 11792  ℝ⁺crp 12903  (,)cioo 13259  ℑcim 15019  πcpi 15987  logclog 26517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519

This theorem is referenced by:  chordthm  26801  chordthmALT  45115