MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angpieqvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem angpieqvd 26874
Description: The angle ABC is π iff 𝐵 is a nontrivial convex combination of 𝐴 and 𝐶, i.e., iff 𝐵 is in the interior of the segment AC. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
angpieqvd.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
angpieqvd.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvd.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvd.C (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvd.AneB (𝜑𝐴𝐵)
angpieqvd.BneC (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
angpieqvd (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑤,𝐹   𝜑,𝑤   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem angpieqvd
StepHypRef Expression
1 angpieqvd.angdef . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2 angpieqvd.A . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 angpieqvd.B . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 angpieqvd.C . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 angpieqvd.AneB . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
6 angpieqvd.BneC . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6angpieqvdlem2 26872 . . . . . 6 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
87biimpar 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+)
92adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐴 ∈ ℂ)
103adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐵 ∈ ℂ)
114adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐶 ∈ ℂ)
125adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐴𝐵)
131, 2, 3, 4, 5, 6angpined 26873 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π → 𝐴𝐶))
1413imp 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐴𝐶)
159, 10, 11, 12, 14angpieqvdlem 26871 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1)))
168, 15mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1))
174, 3subcld 11620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
194, 2subcld 11620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
2114necomd 2996 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐶𝐴)
2211, 9, 21subne0d 11629 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐴) ≠ 0)
2318, 20, 22divcan1d 12044 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)) = (𝐶𝐵))
2423eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐵) = (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)))
2518, 20, 22divcld 12043 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
269, 10, 11, 25affineequiv 26866 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴))))
2724, 26mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶)))
28 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → (𝑤 · 𝐴) = (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴))
29 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → (1 − 𝑤) = (1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))))
3029oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → ((1 − 𝑤) · 𝐶) = ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶))
3128, 30oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶)))
3231rspceeqv 3645 . . . 4 ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1) ∧ 𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶))) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
3316, 27, 32syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
3433ex 412 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
352adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
363adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
374adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
38 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
39 elioore 13417 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ ℝ)
40 recn 11245 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
4138, 39, 403syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
4235, 36, 37, 41affineequiv 26866 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))))
43 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴)))
44173ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
45413adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝑤 ∈ ℂ)
46193ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
476necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶𝐵)
484, 3, 47subne0d 11629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ 0)
49483ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐵) ≠ 0)
5043, 49eqnetrrd 3009 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝑤 · (𝐶𝐴)) ≠ 0)
5145, 46, 50mulne0bbd 11919 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐴) ≠ 0)
5244, 45, 46, 51divmul3d 12077 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) = 𝑤 ↔ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))))
5343, 52mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) = 𝑤)
54 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
5553, 54eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1))
5623ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5733ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
5843ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
5953ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐴𝐵)
6058, 56, 51subne0ad 11631 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐶𝐴)
6160necomd 2996 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐴𝐶)
6256, 57, 58, 59, 61angpieqvdlem 26871 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1)))
6355, 62mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+)
6463ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐵𝐶)
651, 56, 57, 58, 59, 64angpieqvdlem2 26872 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
6663, 65mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π)
67663expia 1122 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → ((𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴)) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
6842, 67sylbid 240 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
6968rexlimdva 3155 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
7034, 69impbid 212 1 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  +crp 13034  (,)cioo 13387  cim 15137  πcpi 16102  logclog 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598
This theorem is referenced by:  chordthm  26880  chordthmALT  44953
  Copyright terms: Public domain W3C validator