MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssec 23784
Description: A ball centered at 𝑃 is contained in the set of points finitely separated from 𝑃. This is just an application of ssbl 23772 to the infinity ball. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 = (𝐷 “ ℝ)
Assertion
Ref Expression
blssec ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ [𝑃] )

Proof of Theorem blssec
StepHypRef Expression
1 pnfge 13048 . . . . 5 (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≤ +∞)
21adantl 482 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → 𝑆 ≤ +∞)
3 pnfxr 11206 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
4 ssbl 23772 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝑆 ≤ +∞) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
543expia 1121 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → (𝑆 ≤ +∞ → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
63, 5mpanr2 702 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑆 ≤ +∞ → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
72, 6mpd 15 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
873impa 1110 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
9 xmeter.1 . . . 4 = (𝐷 “ ℝ)
109xmetec 23783 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → [𝑃] = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
11103adant3 1132 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → [𝑃] = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
128, 11sseqtrrd 3984 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ [𝑃] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3909   class class class wbr 5104  ccnv 5631  cima 5635  cfv 6494  (class class class)co 7354  [cec 8643  cr 11047  +∞cpnf 11183  *cxr 11185  cle 11187  ∞Metcxmet 20777  ballcbl 20779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-er 8645  df-ec 8647  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-2 12213  df-rp 12913  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-psmet 20784  df-xmet 20785  df-bl 20787
This theorem is referenced by:  xmetresbl  23786  xrsblre  24170  isbndx  36230
  Copyright terms: Public domain W3C validator