MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blpnfctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blpnfctr 24447
Description: The infinity ball in an extended metric acts like an ultrametric ball in that every point in the ball is also its center. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blpnfctr ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem blpnfctr
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 (𝐷 “ ℝ) = (𝐷 “ ℝ)
21xmeter 24444 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
323ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
4 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
51xmetec 24445 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
653adant3 1132 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
74, 6eleqtrrd 2843 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ))
8 elecg 8790 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
98ancoms 458 . . . . 5 ((𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
1093adant1 1130 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
117, 10mpbid 232 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴)
123, 11erthi 8799 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = [𝐴](𝐷 “ ℝ))
13 pnfxr 11316 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
14 blssm 24429 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
1513, 14mp3an3 1451 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
1615sselda 3982 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴𝑋)
171xmetec 24445 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
1817adantlr 715 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
1916, 18syldan 591 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
20193impa 1109 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
2112, 6, 203eqtr3d 2784 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950   class class class wbr 5142  ccnv 5683  cima 5687  cfv 6560  (class class class)co 7432   Er wer 8743  [cec 8744  cr 11155  +∞cpnf 11293  *cxr 11295  ∞Metcxmet 21350  ballcbl 21352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-ec 8748  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-2 12330  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-bl 21360
This theorem is referenced by:  metdstri  24874
  Copyright terms: Public domain W3C validator