MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blpnfctr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blpnfctr 24370
Description: The infinity ball in an extended metric acts like an ultrametric ball in that every point in the ball is also its center. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blpnfctr ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
Proof of Theorem blpnfctr
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (◑𝐷 β€œ ℝ) = (◑𝐷 β€œ ℝ)
21xmeter 24367 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
323ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
4 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞))
51xmetec 24368 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝑃(ballβ€˜π·)+∞))
653adant3 1129 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝑃(ballβ€˜π·)+∞))
74, 6eleqtrrd 2832 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
8 elecg 8776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐴))
98ancoms 457 . . . . 5 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝐴 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐴))
1093adant1 1127 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝐴 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐴))
117, 10mpbid 231 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐴)
123, 11erthi 8785 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) = [𝐴](◑𝐷 β€œ ℝ))
13 pnfxr 11308 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
14 blssm 24352 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) βŠ† 𝑋)
1513, 14mp3an3 1446 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) βŠ† 𝑋)
1615sselda 3982 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
171xmetec 24368 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ [𝐴](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
1817adantlr 713 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ [𝐴](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
1916, 18syldan 589 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ [𝐴](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
20193impa 1107 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ [𝐴](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
2112, 6, 203eqtr3d 2776 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   Er wer 8730  [cec 8731  β„cr 11147  +∞cpnf 11285  β„*cxr 11287  βˆžMetcxmet 21278  ballcbl 21280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8733  df-ec 8735  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-2 12315  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-bl 21288
This theorem is referenced by:  metdstri  24795
  Copyright terms: Public domain W3C validator