MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blpnfctr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blpnfctr 23941
Description: The infinity ball in an extended metric acts like an ultrametric ball in that every point in the ball is also its center. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blpnfctr ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
Proof of Theorem blpnfctr
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 (◑𝐷 β€œ ℝ) = (◑𝐷 β€œ ℝ)
21xmeter 23938 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
323ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
4 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞))
51xmetec 23939 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝑃(ballβ€˜π·)+∞))
653adant3 1132 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝑃(ballβ€˜π·)+∞))
74, 6eleqtrrd 2836 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
8 elecg 8745 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐴))
98ancoms 459 . . . . 5 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝐴 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐴))
1093adant1 1130 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝐴 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐴))
117, 10mpbid 231 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐴)
123, 11erthi 8753 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) = [𝐴](◑𝐷 β€œ ℝ))
13 pnfxr 11267 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
14 blssm 23923 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) βŠ† 𝑋)
1513, 14mp3an3 1450 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) βŠ† 𝑋)
1615sselda 3982 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
171xmetec 23939 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ [𝐴](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
1817adantlr 713 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ [𝐴](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
1916, 18syldan 591 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ [𝐴](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
20193impa 1110 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ [𝐴](◑𝐷 β€œ ℝ) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
2112, 6, 203eqtr3d 2780 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   Er wer 8699  [cec 8700  β„cr 11108  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246  βˆžMetcxmet 20928  ballcbl 20930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-ec 8704  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-bl 20938
This theorem is referenced by:  metdstri  24366
  Copyright terms: Public domain W3C validator