Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blpnfctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blpnfctr 22961
 Description: The infinity ball in an extended metric acts like an ultrametric ball in that every point in the ball is also its center. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blpnfctr ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem blpnfctr
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . . 5 (𝐷 “ ℝ) = (𝐷 “ ℝ)
21xmeter 22958 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
323ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
4 simp3 1132 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
51xmetec 22959 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
653adant3 1126 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
74, 6eleqtrrd 2921 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ))
8 elecg 8322 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
98ancoms 459 . . . . 5 ((𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
1093adant1 1124 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
117, 10mpbid 233 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴)
123, 11erthi 8330 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = [𝐴](𝐷 “ ℝ))
13 pnfxr 10684 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
14 blssm 22943 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
1513, 14mp3an3 1443 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
1615sselda 3971 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴𝑋)
171xmetec 22959 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
1817adantlr 711 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
1916, 18syldan 591 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
20193impa 1104 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
2112, 6, 203eqtr3d 2869 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5063  ◡ccnv 5553   “ cima 5557  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148   Er wer 8276  [cec 8277  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661  ℝ*cxr 10663  ∞Metcxmet 20446  ballcbl 20448 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-ec 8281  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11689  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-bl 20456 This theorem is referenced by:  metdstri  23374
 Copyright terms: Public domain W3C validator