Theorem blpnfctr 24344

Description: The infinity ball in an extended metric acts like an ultrametric ball in that every point in the ball is also its center. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blpnfctr	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem blpnfctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) = (◡𝐷 “ ℝ)
2	1	xmeter 24341	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (◡𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
3	2	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (◡𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
4		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
5	1	xmetec 24342	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
6	5	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
7	4, 6	eleqtrrd 2832	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
8		elecg 8661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝐴))
9	8	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝐴))
10	9	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝐴))
11	7, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝐴)
12	3, 11	erthi 8673	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) = [𝐴](◡𝐷 “ ℝ))
13		pnfxr 11158	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		blssm 24326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
15	13, 14	mp3an3 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
16	15	sselda 3932	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	1	xmetec 24342	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → [𝐴](◡𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
18	17	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → [𝐴](◡𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
19	16, 18	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](◡𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
20	19	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](◡𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
21	12, 6, 20	3eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   Er wer 8614  [cec 8615  ℝcr 10997  +∞cpnf 11135  ℝ^*cxr 11137  ∞Metcxmet 21269  ballcbl 21271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-er 8617  df-ec 8619  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-2 12180  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-bl 21279

This theorem is referenced by:  metdstri  24760