Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkyyN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemkyyN 40463
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: clean up (π‘π‘ŒπΊ) stuff. (Contributed by NM, 21-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
cdlemk5a.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk5a.u1 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkyyN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) = ((𝑏𝑉𝐺)β€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≀ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≀   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐡,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,π‘Œ   𝐺,𝑏,𝑗,𝑔,𝑧   ≀ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐡,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,π‘Š   𝑗,𝑋   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,𝑗, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏   𝑆,𝑏,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   π‘Š,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐡(𝑒,𝑓,𝑖,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑒,𝑑)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   ≀ (𝑒,𝑓,𝑑)   𝑁(𝑒,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)   𝑋(𝑧,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑏,𝑑)   π‘Œ(𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)   𝑍(𝑧,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)
Proof of Theorem cdlemkyyN
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
31, 2jca 510 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp13 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
5 simp211 1308 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
6 simp3l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
7 simp213 1310 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
8 simp3r2 1279 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
9 simp212 1309 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
10 simp3r1 1278 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
119, 10jca 510 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
12 simp23 1205 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
13 cdlemk5.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 cdlemk5.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 cdlemk5.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
16 cdlemk5.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
17 cdlemk5.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
18 cdlemk5.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
19 cdlemk5.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 cdlemk5.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21 cdlemk5a.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdlemk30 40395 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))))
233, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 22syl233anc 1396 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))))
24 cdlemk5.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
2523, 24eqtr4di 2783 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘ƒ) = 𝑍)
2625oveq1d 7429 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏))) = (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏))))
2726oveq2d 7430 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))))
285, 6, 73jca 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
29 simp22l 1289 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
30 simp3r3 1280 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
318, 30jca 510 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
32 simp22r 1290 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
339, 10, 323jca 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
34 cdlemk5a.u1 . . . 4 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
3513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 34cdlemk31 40397 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (((π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑏𝑉𝐺)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))))
363, 4, 28, 29, 31, 33, 12, 35syl223anc 1393 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((𝑏𝑉𝐺)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))))
375, 9jca 510 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
38 simp22 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
39 simp3 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ))))
40 cdlemk5.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
41 cdlemk5.x . . . 4 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
4213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 40, 41cdlemk42yN 40445 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))))
433, 37, 38, 7, 12, 4, 39, 42syl331anc 1392 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏)))))
4427, 36, 433eqtr4rd 2776 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) = ((𝑏𝑉𝐺)β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  β¦‹csb 3884   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5567  β—‘ccnv 5669   β†Ύ cres 5672   ∘ ccom 5674  β€˜cfv 6541  β„©crio 7369  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Basecbs 17177  lecple 17237  joincjn 18300  meetcmee 18301  Atomscatm 38763  HLchlt 38850  LHypclh 39485  LTrncltrn 39602  trLctrl 39659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-riotaBAD 38453
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-undef 8275  df-map 8843  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38676  df-ol 38678  df-oml 38679  df-covers 38766  df-ats 38767  df-atl 38798  df-cvlat 38822  df-hlat 38851  df-llines 38999  df-lplanes 39000  df-lvols 39001  df-lines 39002  df-psubsp 39004  df-pmap 39005  df-padd 39297  df-lhyp 39489  df-laut 39490  df-ldil 39605  df-ltrn 39606  df-trl 39660
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator