Theorem cdlemkyyN 41327

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: clean up (𝑏𝑌𝐺) stuff. (Contributed by NM, 21-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
cdlemk5a.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk5a.u1	⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemkyyN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏,𝑗,𝑔,𝑧   ≤ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝑗,𝑋   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,𝑗, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏   𝑆,𝑏,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑒,𝑑)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   ≤ (𝑒,𝑓,𝑑)   𝑁(𝑒,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)   𝑋(𝑧,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑏,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)   𝑍(𝑧,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)

Proof of Theorem cdlemkyyN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp12 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3	1, 2	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		simp13 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
5		simp211 1313	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
6		simp3l 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑏 ∈ 𝑇)
7		simp213 1315	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
8		simp3r2 1284	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹))
9		simp212 1314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
10		simp3r1 1283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
11	9, 10	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12		simp23 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		cdlemk5.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14		cdlemk5.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		cdlemk5.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
16		cdlemk5.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
17		cdlemk5.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
18		cdlemk5.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
19		cdlemk5.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
20		cdlemk5.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
21		cdlemk5a.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	cdlemk30 41259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹)))))
23	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 22	syl233anc 1402	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹)))))
24		cdlemk5.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
25	23, 24	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑃) = 𝑍)
26	25	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (((𝑆‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))) = (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))))
27	26	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑆‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))))
28	5, 6, 7	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
29		simp22l 1294	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
30		simp3r3 1285	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))
31	8, 30	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))
32		simp22r 1295	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
33	9, 10, 32	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
34		cdlemk5a.u1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))
35	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 34	cdlemk31 41261	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑆‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))))
36	3, 4, 28, 29, 31, 33, 12, 35	syl223anc 1399	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑆‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))))
37	5, 9	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
38		simp22 1209	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
39		simp3 1139	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))))
40		cdlemk5.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
41		cdlemk5.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
42	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 40, 41	cdlemk42yN 41309	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))))
43	3, 37, 38, 7, 12, 4, 39, 42	syl331anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))))
44	27, 36, 43	3eqtr4rd 2783	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ⦋csb 3851   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   I cid 5526  ^◡ccnv 5631   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  ℩crio 7324  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  Basecbs 17148  lecple 17196  joincjn 18246  meetcmee 18247  Atomscatm 39628  HLchlt 39715  LHypclh 40349  LTrncltrn 40466  trLctrl 40523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-riotaBAD 39318

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-undef 8225  df-map 8777  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39541  df-ol 39543  df-oml 39544  df-covers 39631  df-ats 39632  df-atl 39663  df-cvlat 39687  df-hlat 39716  df-llines 39863  df-lplanes 39864  df-lvols 39865  df-lines 39866  df-psubsp 39868  df-pmap 39869  df-padd 40161  df-lhyp 40353  df-laut 40354  df-ldil 40469  df-ltrn 40470  df-trl 40524

This theorem is referenced by: (None)