Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkyyN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkyyN 37116
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: clean up (𝑏𝑌𝐺) stuff. (Contributed by NM, 21-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
cdlemk5a.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk5a.u1 𝑉 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkyyN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) = ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏,𝑗,𝑔,𝑧   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝑗,𝑋   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,𝑗,   ,𝑖   ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏   𝑆,𝑏,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑒,𝑑)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑒,𝑓,𝑑)   𝑁(𝑒,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)   𝑋(𝑧,𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑏,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)   𝑍(𝑧,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑏,𝑑)

Proof of Theorem cdlemkyyN
StepHypRef Expression
1 simp11 1217 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1218 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑊𝐻)
31, 2jca 507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp13 1219 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
5 simp211 1367 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹𝑇)
6 simp3l 1215 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑏𝑇)
7 simp213 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑁𝑇)
8 simp3r2 1338 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹))
9 simp212 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
10 simp3r1 1337 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
119, 10jca 507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12 simp23 1222 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
13 cdlemk5.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
14 cdlemk5.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
15 cdlemk5.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
16 cdlemk5.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
17 cdlemk5.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
18 cdlemk5.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
19 cdlemk5.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
20 cdlemk5.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
21 cdlemk5a.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdlemk30 37048 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑆𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))))
233, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 22syl233anc 1467 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑆𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))))
24 cdlemk5.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
2523, 24syl6eqr 2832 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑆𝑏)‘𝑃) = 𝑍)
2625oveq1d 6937 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (((𝑆𝑏)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝑏))) = (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏))))
2726oveq2d 6938 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑆𝑏)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝑏)))) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
285, 6, 73jca 1119 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇))
29 simp22l 1348 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺𝑇)
30 simp3r3 1339 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))
318, 30jca 507 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))
32 simp22r 1349 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
339, 10, 323jca 1119 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
34 cdlemk5a.u1 . . . 4 𝑉 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
3513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 34cdlemk31 37050 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑆𝑏)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
363, 4, 28, 29, 31, 33, 12, 35syl223anc 1464 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (((𝑆𝑏)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
375, 9jca 507 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
38 simp22 1221 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
39 simp3 1129 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))))
40 cdlemk5.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
41 cdlemk5.x . . . 4 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
4213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 40, 41cdlemk42yN 37098 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
433, 37, 38, 7, 12, 4, 39, 42syl331anc 1463 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑍 (𝑅‘(𝐺𝑏)))))
4427, 36, 433eqtr4rd 2825 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) = ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  csb 3751   class class class wbr 4886  cmpt 4965   I cid 5260  ccnv 5354  cres 5357  ccom 5359  cfv 6135  crio 6882  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  Basecbs 16255  lecple 16345  joincjn 17330  meetcmee 17331  Atomscatm 35417  HLchlt 35504  LHypclh 36138  LTrncltrn 36255  trLctrl 36312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-riotaBAD 35107
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-undef 7681  df-map 8142  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35330  df-ol 35332  df-oml 35333  df-covers 35420  df-ats 35421  df-atl 35452  df-cvlat 35476  df-hlat 35505  df-llines 35652  df-lplanes 35653  df-lvols 35654  df-lines 35655  df-psubsp 35657  df-pmap 35658  df-padd 35950  df-lhyp 36142  df-laut 36143  df-ldil 36258  df-ltrn 36259  df-trl 36313
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator