Theorem cdlemkyyN 42211

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: clean up (𝑏𝑌𝐺) stuff. (Contributed by NM, 21-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
cdlemk5a.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk5a.u1	⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemkyyN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏,𝑗,𝑔,𝑧   ≤ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝑗,𝑋   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,𝑗, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏   𝑆,𝑏,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒, 𝑓, 𝑑)   𝐵(𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑑)   𝑆(𝑧, 𝑓, 𝑔, 𝑖)   𝐹(𝑒, 𝑑)   𝐺(𝑓, 𝑖)   𝐻(𝑒, 𝑓, 𝑑)   𝐾(𝑒, 𝑓, 𝑑)   ≤ (𝑒, 𝑓, 𝑑)   𝑁(𝑒, 𝑑)   𝑉(𝑧, 𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑗, 𝑏, 𝑑)   𝑋(𝑧, 𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑏, 𝑑)   𝑌(𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑗, 𝑏, 𝑑)   𝑍(𝑧, 𝑒, 𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑏, 𝑑)

Proof of Theorem cdlemkyyN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp12 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3	1, 2	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		simp13 1224	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
5		simp211 1330	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
6		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑏 ∈ 𝑇)
7		simp213 1332	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
8		simp3r2 1301	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹))
9		simp212 1331	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
10		simp3r1 1300	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
11	9, 10	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
12		simp23 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		cdlemk5.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14		cdlemk5.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		cdlemk5.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
16		cdlemk5.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
17		cdlemk5.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
18		cdlemk5.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
19		cdlemk5.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
20		cdlemk5.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
21		cdlemk5a.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	cdlemk30 42143	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹)))))
23	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 22	syl233anc 1427	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹)))))
24		cdlemk5.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
25	23, 24	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑃) = 𝑍)
26	25	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (((𝑆‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))) = (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))))
27	26	oveq2d 7459	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑆‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))))
28	5, 6, 7	3jca 1146	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
29		simp22l 1311	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
30		simp3r3 1302	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))
31	8, 30	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))
32		simp22r 1312	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
33	9, 10, 32	3jca 1146	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
34		cdlemk5a.u1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))
35	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 34	cdlemk31 42145	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (((𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑆‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))))
36	3, 4, 28, 29, 31, 33, 12, 35	syl223anc 1424	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑆‘𝑏)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))))
37	5, 9	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
38		simp22 1226	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
39		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))))
40		cdlemk5.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
41		cdlemk5.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
42	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 40, 41	cdlemk42yN 42193	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))))
43	3, 37, 38, 7, 12, 4, 39, 42	syl331anc 1423	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))))
44	27, 36, 43	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋‘𝑃) = ((𝑏𝑉𝐺)‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ⦋csb 3851   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5549  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6558  ℩crio 7399  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445  Basecbs 17416  lecple 17464  joincjn 18514  meetcmee 18515  Atomscatm 40512  HLchlt 40599  LHypclh 41233  LTrncltrn 41350  trLctrl 41407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-riotaBAD 40202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-undef 8318  df-map 8877  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-p1 18627  df-lat 18635  df-clat 18702  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-llines 40747  df-lplanes 40748  df-lvols 40749  df-lines 40750  df-psubsp 40752  df-pmap 40753  df-padd 41045  df-lhyp 41237  df-laut 41238  df-ldil 41353  df-ltrn 41354  df-trl 41408

This theorem is used by: (None)