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Theorem cdlemk22 36849
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Lines 26-27, p. 119 for i=1 and j=2. (Contributed by NM, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk2.l = (le‘𝐾)
cdlemk2.j = (join‘𝐾)
cdlemk2.m = (meet‘𝐾)
cdlemk2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk2.q 𝑄 = (𝑆𝐶)
cdlemk2.v 𝑉 = (𝑑𝑇 ↦ (𝑘𝑇 (𝑘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑑)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝑑𝐶))))))
cdlemk2a.o 𝑂 = (𝑆𝐷)
cdlemk2.u 𝑈 = (𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝑒𝐷))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk22 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑉𝐺)‘𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐶,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖   ,𝑑   ,𝑑   𝐶,𝑑,𝑘   𝐺,𝑑,𝑘   𝑄,𝑑   𝑃,𝑑   𝑅,𝑑   𝑇,𝑑   𝑊,𝑑   ,𝑘   ,𝑘   ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐻   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝑊   𝐹,𝑑   𝑖,𝐺,𝑓,𝑘   𝐷,𝑘   𝑖,𝑑,𝐷,𝑓   𝑒,𝑗,   ,𝑒,𝑗   ,𝑒,𝑗   𝐴,𝑗   𝐶,𝑒,𝑗   𝐷,𝑒,𝑗   𝑒,𝐹,𝑗   𝑒,𝐺,𝑗   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑒,𝑂,𝑗   𝑃,𝑒,𝑗   𝑅,𝑒,𝑗   𝑇,𝑒,𝑗   𝑒,𝑊,𝑗,𝑓,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑑)   𝑄(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑑)   𝑈(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑑)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑓,𝑑)   𝑁(𝑒,𝑑)   𝑂(𝑓,𝑖,𝑘,𝑑)   𝑉(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk22
StepHypRef Expression
1 simp11 1260 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp212 1411 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐺𝑇)
3 simp22 1264 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4 cdlemk2.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
5 cdlemk2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
6 cdlemk2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk2.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk2.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemk2.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
104, 5, 6, 7, 8, 9trljat1 36122 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
111, 2, 3, 10syl3anc 1490 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
12 simp1 1166 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇))
13 simp211 1410 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝑁𝑇)
14 simp213 1412 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐶𝑇)
1513, 14jca 507 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑁𝑇𝐶𝑇))
16 simp23 1265 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
17 simp311 1419 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
18 simp312 1420 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵))
19 simp321 1422 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2017, 18, 193jca 1158 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
21 simp331 1425 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))
22 simp323 1424 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹))
23 simp333 1427 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷))
2421, 22, 233jca 1158 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))
25 cdlemk2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
26 cdlemk2.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
27 cdlemk2.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
28 cdlemk2a.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑆𝐷)
29 cdlemk2.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝑒𝐷))))))
30 cdlemk2.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑆𝐶)
3125, 4, 5, 26, 6, 7, 8, 9, 27, 28, 29, 30cdlemk20 36830 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐶)‘𝑃) = (𝑄𝑃))
3212, 15, 3, 16, 20, 24, 31syl132anc 1507 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐶)‘𝑃) = (𝑄𝑃))
3332eqcomd 2771 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑄𝑃) = ((𝑈𝐶)‘𝑃))
347, 8, 9trlcocnv 36676 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐶𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐶)) = (𝑅‘(𝐶𝐺)))
351, 2, 14, 34syl3anc 1490 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅‘(𝐺𝐶)) = (𝑅‘(𝐶𝐺)))
3633, 35oveq12d 6860 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐶))) = (((𝑈𝐶)‘𝑃) (𝑅‘(𝐶𝐺))))
3711, 36oveq12d 6860 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐶)))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (((𝑈𝐶)‘𝑃) (𝑅‘(𝐶𝐺)))))
38 simp12 1261 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐹𝑇)
39 simp322 1423 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶))
4039necomd 2992 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐺))
4122, 40jca 507 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐺)))
42 simp313 1421 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4317, 42, 193jca 1158 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
44 cdlemk2.v . . . 4 𝑉 = (𝑑𝑇 ↦ (𝑘𝑇 (𝑘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑑)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝑑𝐶))))))
4525, 4, 5, 26, 6, 7, 8, 9, 27, 30, 44cdlemkuv2-2 36841 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑉𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐶)))))
461, 16, 2, 38, 14, 13, 41, 43, 3, 45syl333anc 1521 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑉𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐶)))))
47 simp31 1266 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
4819, 39jca 507 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶)))
49 simp33 1268 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))
5047, 48, 493jca 1158 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷))))
5125, 4, 5, 26, 6, 7, 8, 9, 27, 28, 29cdlemk12u 36828 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (((𝑈𝐶)‘𝑃) (𝑅‘(𝐶𝐺)))))
5250, 51syld3an3 1528 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (((𝑈𝐶)‘𝑃) (𝑅‘(𝐶𝐺)))))
5337, 46, 523eqtr4rd 2810 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑉𝐺)‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cmpt 4888   I cid 5184  ccnv 5276  cres 5279  ccom 5281  cfv 6068  crio 6802  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  lecple 16221  joincjn 17210  meetcmee 17211  Atomscatm 35219  HLchlt 35306  LHypclh 35940  LTrncltrn 36057  trLctrl 36114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-riotaBAD 34909
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-undef 7602  df-map 8062  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-p0 17305  df-p1 17306  df-lat 17312  df-clat 17374  df-oposet 35132  df-ol 35134  df-oml 35135  df-covers 35222  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307  df-llines 35454  df-lplanes 35455  df-lvols 35456  df-lines 35457  df-psubsp 35459  df-pmap 35460  df-padd 35752  df-lhyp 35944  df-laut 35945  df-ldil 36060  df-ltrn 36061  df-trl 36115
This theorem is referenced by:  cdlemk22-3  36857
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