Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1203 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp212 1312 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β πΊ β π) |
3 | | simp22 1207 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | cdlemk2.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
5 | | cdlemk2.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
6 | | cdlemk2.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemk2.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemk2.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk2.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
10 | 4, 5, 6, 7, 8, 9 | trljat1 39032 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (π
βπΊ)) = (π β¨ (πΊβπ))) |
11 | 1, 2, 3, 10 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (π β¨ (π
βπΊ)) = (π β¨ (πΊβπ))) |
12 | | simp1 1136 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π)) |
13 | | simp211 1311 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β π β π) |
14 | | simp213 1313 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β πΆ β π) |
15 | 13, 14 | jca 512 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (π β π β§ πΆ β π)) |
16 | | simp23 1208 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
17 | | simp311 1320 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
18 | | simp312 1321 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β π· β ( I βΎ π΅)) |
19 | | simp321 1323 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β πΆ β ( I βΎ π΅)) |
20 | 17, 18, 19 | 3jca 1128 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) |
21 | | simp331 1326 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (π
βπ·) β (π
βπΉ)) |
22 | | simp323 1325 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) |
23 | | simp333 1328 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (π
βπΆ) β (π
βπ·)) |
24 | 21, 22, 23 | 3jca 1128 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·))) |
25 | | cdlemk2.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
26 | | cdlemk2.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
27 | | cdlemk2.s |
. . . . . . 7
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
28 | | cdlemk2a.o |
. . . . . . 7
β’ π = (πβπ·) |
29 | | cdlemk2.u |
. . . . . . 7
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘π·)))))) |
30 | | cdlemk2.q |
. . . . . . 7
β’ π = (πβπΆ) |
31 | 25, 4, 5, 26, 6, 7,
8, 9, 27, 28, 29, 30 | cdlemk20 39740 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((πβπΆ)βπ) = (πβπ)) |
32 | 12, 15, 3, 16, 20, 24, 31 | syl132anc 1388 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((πβπΆ)βπ) = (πβπ)) |
33 | 32 | eqcomd 2738 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (πβπ) = ((πβπΆ)βπ)) |
34 | 7, 8, 9 | trlcocnv 39586 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β (π
β(πΊ β β‘πΆ)) = (π
β(πΆ β β‘πΊ))) |
35 | 1, 2, 14, 34 | syl3anc 1371 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (π
β(πΊ β β‘πΆ)) = (π
β(πΆ β β‘πΊ))) |
36 | 33, 35 | oveq12d 7426 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΆ))) = (((πβπΆ)βπ) β¨ (π
β(πΆ β β‘πΊ)))) |
37 | 11, 36 | oveq12d 7426 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΆ)))) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ (((πβπΆ)βπ) β¨ (π
β(πΆ β β‘πΊ))))) |
38 | | simp12 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β πΉ β π) |
39 | | simp322 1324 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (π
βπΊ) β (π
βπΆ)) |
40 | 39 | necomd 2996 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (π
βπΆ) β (π
βπΊ)) |
41 | 22, 40 | jca 512 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΊ))) |
42 | | simp313 1322 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
43 | 17, 42, 19 | 3jca 1128 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅))) |
44 | | cdlemk2.v |
. . . 4
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΆ)))))) |
45 | 25, 4, 5, 26, 6, 7,
8, 9, 27, 30, 44 | cdlemkuv2-2 39751 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ (((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΆ))))) |
46 | 1, 16, 2, 38, 14, 13, 41, 43, 3, 45 | syl333anc 1402 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΆ))))) |
47 | | simp31 1209 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) |
48 | 19, 39 | jca 512 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ))) |
49 | | simp33 1211 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·))) |
50 | 47, 48, 49 | 3jca 1128 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) |
51 | 25, 4, 5, 26, 6, 7,
8, 9, 27, 28, 29 | cdlemk12u 39738 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ (((πβπΆ)βπ) β¨ (π
β(πΆ β β‘πΊ))))) |
52 | 50, 51 | syld3an3 1409 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ (((πβπΆ)βπ) β¨ (π
β(πΆ β β‘πΊ))))) |
53 | 37, 46, 52 | 3eqtr4rd 2783 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((πβπΊ)βπ) = ((πβπΊ)βπ)) |