Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk55b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemk55b 40135
Description: Lemma for cdlemk55 40136. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cdlemk55b ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≀ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≀   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐡,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,π‘Œ   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   π‘Œ(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)
Proof of Theorem cdlemk55b
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1ll 1235 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1lr 1236 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3 cdlemk5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 cdlemk5.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 cdlemk5.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 cdlemk5.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6cdlemftr2 39741 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑇 (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))
81, 2, 7syl2anc 583 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑇 (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))
9 simp11 1202 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)))
10 simp12 1203 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼)))) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)))
11 simp13 1204 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼)))) β†’ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)))
12 simp2 1136 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼)))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑇)
13 simp3 1137 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼)))) β†’ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))
14 cdlemk5.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 cdlemk5.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
16 cdlemk5.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
17 cdlemk5.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
18 cdlemk5.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
19 cdlemk5.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
20 cdlemk5.x . . . . 5 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
213, 14, 15, 16, 17, 4, 5, 6, 18, 19, 20cdlemk55a 40134 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
229, 10, 11, 12, 13, 21syl113anc 1381 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼)))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
2322rexlimdv3a 3158 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑇 (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)))
248, 23mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  β¦‹csb 3893   class class class wbr 5148   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  β„©crio 7367  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  trLctrl 39333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8262  df-map 8826  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334
This theorem is referenced by:  cdlemk55  40136
  Copyright terms: Public domain W3C validator