Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) |
2 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π)) |
3 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β πΊ β π) |
4 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β πΌ β π) |
6 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) |
7 | | cdlemk5.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
8 | | cdlemk5.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | cdlemk5.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | cdlemk5.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
11 | | cdlemk5.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | | cdlemk5.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
13 | | cdlemk5.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
14 | | cdlemk5.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
15 | | cdlemk5.z |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
16 | | cdlemk5.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
17 | | cdlemk5.x |
. . . 4
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
18 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 | cdlemk55b 39473 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌ β π β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ))) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |
19 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 18 | syl132anc 1389 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) = (π
βπΌ)) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |
20 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΌ)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) |
21 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΌ)) β (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π)) |
22 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΌ)) β πΊ β π) |
23 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΌ)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
24 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΌ)) β πΌ β π) |
25 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΌ)) β (π
βπΊ) β (π
βπΌ)) |
26 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 | cdlemk53 39470 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΌ β π β§ (π
βπΊ) β (π
βπΌ))) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |
27 | 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 | syl132anc 1389 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΌ)) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |
28 | 19, 27 | pm2.61dane 3029 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β β¦(πΊ β πΌ) / πβ¦π = (β¦πΊ / πβ¦π β β¦πΌ / πβ¦π)) |