Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk5a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemk5a 40009
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 3-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemk5a (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ≀ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
Proof of Theorem cdlemk5a
StepHypRef Expression
1 simp1l 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3 simp21 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simp22 1207 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
5 simp3 1138 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)))
6 cdlemk.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 cdlemk.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemk.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
10 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
11 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 cdlemk.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
146, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdlemk3 40007 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
151, 2, 3, 4, 5, 14syl221anc 1381 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
16 simp23 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
17 simp33l 1300 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
18 simp33r 1301 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
196, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdlemk4 40008 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
201, 2, 3, 16, 17, 18, 19syl222anc 1386 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
2115, 20eqbrtrd 5170 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ≀ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333
This theorem is referenced by:  cdlemk5  40010  cdlemk5auN  40034  cdlemk5u  40035
  Copyright terms: Public domain W3C validator