Theorem cncmet 25442

Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncmet.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cncmet	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

Proof of Theorem cncmet

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopn 24899	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		cncmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
4	3	fveq2i 6874	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5	2, 4	eqtr4i 2791	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘𝐷)
6		cnmet 24889	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
7	3, 6	eqeltri 2861	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ℂ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘ℂ))
9		1rp 13011	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ+)
11	1	cnfldtop 24901	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
12		metxmet 24452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘ℂ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
14		1xr 11256	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
15		blssm 24536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
16	13, 14, 15	mp3an13 1476	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
17		unicntop 24903	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
18	17	clscld 23165	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
19	11, 16, 18	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
20		abscl 15319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
21		peano2re 11371	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
23		df-rab 3418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)}
24	23	eqcomi 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1}
25	5, 24	blcls 24624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
26	13, 14, 25	mp3an13 1476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
27		abscl 15319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
28	27	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
29	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
30	28, 29	resubcld 11630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
31		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
33		subcl 11444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
34	31, 32, 33	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
35	34	abscld 15480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)
36		1red 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
37		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
38		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	37, 38	abs2difd 15501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
40	3	cnmetdval 24888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
41		abssub 15368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
42	40, 41	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
43	42	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
44		simprr 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)
45	43, 44	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) ≤ 1)
46	30, 35, 36, 39, 45	letrd 11355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1)
47	28, 29, 36	lesubadd2d 11801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
48	46, 47	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
49	48	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
50	49	ss2abdv 4021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
51	26, 50	sstrd 3949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
52		ssabral 4020	. . . . . . 7 ⊢ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
53	51, 52	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
54		brralrspcev 5165	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
55	22, 53, 54	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
56	17	clsss3 23177	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
57	11, 16, 56	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
58		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)))
59	1, 58	cnheibor 25075	. . . . . 6 ⊢ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
60	57, 59	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
61	19, 55, 60	mpbir2and 725	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
62	61	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
63	5, 8, 10, 62	relcmpcmet 25438	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ))
64	63	mptru 1570	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563  ⊤wtru 1564   ∈ wcel 2145  {cab 2743  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   ∘ ccom 5656  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  1c1 11089   + caddc 11091  ℝ^*cxr 11230   ≤ cle 11232   − cmin 11429  ℝ⁺crp 13007  abscabs 15275   ↾_t crest 17463  TopOpenctopn 17464  ∞Metcxmet 21467  Metcmet 21468  ballcbl 21469  MetOpencmopn 21472  ℂ_fldccnfld 21482  Topctop 23011  Clsdccld 23134  clsccl 23136  Compccmp 23504  CMetccmet 25374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-cmp 23505  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-flim 24057  df-fcls 24059  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-cfil 25375  df-cmet 25377

This theorem is referenced by:  recmet  25443  cncms  25475  cnbn  31130