MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncmet 24689
Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmet.1 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
Assertion
Ref Expression
cncmet 𝐷 ∈ (CMetβ€˜β„‚)

Proof of Theorem cncmet
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtopn 24148 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
3 cncmet.1 . . . . 5 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
43fveq2i 6846 . . . 4 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
52, 4eqtr4i 2768 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (MetOpenβ€˜π·)
6 cnmet 24138 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
73, 6eqeltri 2834 . . . 4 𝐷 ∈ (Metβ€˜β„‚)
87a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜β„‚))
9 1rp 12920 . . . 4 1 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ+)
111cnfldtop 24150 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
12 metxmet 23690 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Metβ€˜β„‚) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
137, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
14 1xr 11215 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
15 blssm 23774 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† β„‚)
1613, 14, 15mp3an13 1453 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† β„‚)
17 unicntop 24152 . . . . . . 7 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1817clscld 22401 . . . . . 6 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† β„‚) β†’ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)))
1911, 16, 18sylancr 588 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)))
20 abscl 15164 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
21 peano2re 11329 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
23 df-rab 3409 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)}
2423eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)} = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1}
255, 24blcls 23865 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)})
2613, 14, 25mp3an13 1453 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)})
27 abscl 15164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2920adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3028, 29resubcld 11584 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ ((absβ€˜π‘¦) βˆ’ (absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
31 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
33 subcl 11401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
3431, 32, 33syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
3534abscld 15322 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ)
36 1red 11157 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
37 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
38 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3937, 38abs2difd 15343 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ ((absβ€˜π‘¦) βˆ’ (absβ€˜π‘₯)) ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)))
403cnmetdval 24137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
41 abssub 15212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)))
4240, 41eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)))
4342adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)))
44 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)
4543, 44eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ 1)
4630, 35, 36, 39, 45letrd 11313 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ ((absβ€˜π‘¦) βˆ’ (absβ€˜π‘₯)) ≀ 1)
4728, 29, 36lesubadd2d 11755 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ (((absβ€˜π‘¦) βˆ’ (absβ€˜π‘₯)) ≀ 1 ↔ (absβ€˜π‘¦) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1)))
4846, 47mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)) β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1))
4948ex 414 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1) β†’ (absβ€˜π‘¦) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1)))
5049ss2abdv 4021 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ 1)} βŠ† {𝑦 ∣ (absβ€˜π‘¦) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1)})
5126, 50sstrd 3955 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† {𝑦 ∣ (absβ€˜π‘¦) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1)})
52 ssabral 4020 . . . . . . 7 (((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† {𝑦 ∣ (absβ€˜π‘¦) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1)} ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))(absβ€˜π‘¦) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1))
5351, 52sylib 217 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))(absβ€˜π‘¦) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1))
54 brralrspcev 5166 . . . . . 6 ((((absβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))(absβ€˜π‘¦) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))(absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ÿ)
5522, 53, 54syl2anc 585 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))(absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ÿ)
5617clsss3 22413 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† β„‚) β†’ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† β„‚)
5711, 16, 56sylancr 588 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† β„‚)
58 eqid 2737 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)))
591, 58cnheibor 24321 . . . . . 6 (((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† β„‚ β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ∈ Comp ↔ (((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))(absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ÿ)))
6057, 59syl 17 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ∈ Comp ↔ (((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))(absβ€˜π‘¦) ≀ π‘Ÿ)))
6119, 55, 60mpbir2and 712 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ∈ Comp)
6261adantl 483 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((clsβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ∈ Comp)
635, 8, 10, 62relcmpcmet 24685 . 2 (⊀ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜β„‚))
6463mptru 1549 1 𝐷 ∈ (CMetβ€˜β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3408   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051  1c1 11053   + caddc 11055  β„*cxr 11189   ≀ cle 11191   βˆ’ cmin 11386  β„+crp 12916  abscabs 15120   β†Ύt crest 17303  TopOpenctopn 17304  βˆžMetcxmet 20784  Metcmet 20785  ballcbl 20786  MetOpencmopn 20789  β„‚fldccnfld 20799  Topctop 22245  Clsdccld 22370  clsccl 22372  Compccmp 22740  CMetccmet 24621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-rest 17305  df-topn 17306  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-topgen 17326  df-pt 17327  df-prds 17330  df-xrs 17385  df-qtop 17390  df-imas 17391  df-xps 17393  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-mulg 18874  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-cn 22581  df-cnp 22582  df-haus 22669  df-cmp 22741  df-tx 22916  df-hmeo 23109  df-fil 23200  df-flim 23293  df-fcls 23295  df-xms 23676  df-ms 23677  df-tms 23678  df-cncf 24244  df-cfil 24622  df-cmet 24624
This theorem is referenced by:  recmet  24690  cncms  24722  cnbn  29814
  Copyright terms: Public domain W3C validator