Theorem cncmet 25259

Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncmet.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cncmet	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

Proof of Theorem cncmet

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopn 24706	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		cncmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
4	3	fveq2i 6834	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5	2, 4	eqtr4i 2759	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘𝐷)
6		cnmet 24696	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
7	3, 6	eqeltri 2829	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ℂ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘ℂ))
9		1rp 12904	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ+)
11	1	cnfldtop 24708	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
12		metxmet 24259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘ℂ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
14		1xr 11181	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
15		blssm 24343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
16	13, 14, 15	mp3an13 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
17		unicntop 24710	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
18	17	clscld 22972	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
19	11, 16, 18	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
20		abscl 15195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
21		peano2re 11296	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
23		df-rab 3398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)}
24	23	eqcomi 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1}
25	5, 24	blcls 24431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
26	13, 14, 25	mp3an13 1454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
27		abscl 15195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
28	27	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
29	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
30	28, 29	resubcld 11555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
31		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
33		subcl 11369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
34	31, 32, 33	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
35	34	abscld 15356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)
36		1red 11123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
37		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
38		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	37, 38	abs2difd 15377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
40	3	cnmetdval 24695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
41		abssub 15244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
42	40, 41	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
43	42	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
44		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)
45	43, 44	eqbrtrrd 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) ≤ 1)
46	30, 35, 36, 39, 45	letrd 11280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1)
47	28, 29, 36	lesubadd2d 11726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
48	46, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
49	48	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
50	49	ss2abdv 4015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
51	26, 50	sstrd 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
52		ssabral 4014	. . . . . . 7 ⊢ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
53	51, 52	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
54		brralrspcev 5155	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
55	22, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
56	17	clsss3 22984	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
57	11, 16, 56	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
58		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)))
59	1, 58	cnheibor 24891	. . . . . 6 ⊢ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
60	57, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
61	19, 55, 60	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
62	61	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
63	5, 8, 10, 62	relcmpcmet 25255	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ))
64	63	mptru 1548	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113  {cab 2711  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {crab 3397   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5095   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  1c1 11017   + caddc 11019  ℝ^*cxr 11155   ≤ cle 11157   − cmin 11354  ℝ⁺crp 12900  abscabs 15151   ↾_t crest 17334  TopOpenctopn 17335  ∞Metcxmet 21286  Metcmet 21287  ballcbl 21288  MetOpencmopn 21291  ℂ_fldccnfld 21301  Topctop 22818  Clsdccld 22941  clsccl 22943  Compccmp 23311  CMetccmet 25191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094  ax-addf 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xneg 13021  df-xadd 13022  df-xmul 13023  df-ioo 13259  df-ico 13261  df-icc 13262  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-seq 13919  df-exp 13979  df-hash 14248  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-hom 17195  df-cco 17196  df-rest 17336  df-topn 17337  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-topgen 17357  df-pt 17358  df-prds 17361  df-xrs 17416  df-qtop 17421  df-imas 17422  df-xps 17424  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-mulg 18991  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-cn 23152  df-cnp 23153  df-haus 23240  df-cmp 23312  df-tx 23487  df-hmeo 23680  df-fil 23771  df-flim 23864  df-fcls 23866  df-xms 24245  df-ms 24246  df-tms 24247  df-cncf 24808  df-cfil 25192  df-cmet 25194

This theorem is referenced by:  recmet  25260  cncms  25292  cnbn  30860