MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncmet 23852
Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmet.1 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cncmet 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

Proof of Theorem cncmet
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopn 23317 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3 cncmet.1 . . . . 5 𝐷 = (abs ∘ − )
43fveq2i 6666 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
52, 4eqtr4i 2844 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘𝐷)
6 cnmet 23307 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
73, 6eqeltri 2906 . . . 4 𝐷 ∈ (Met‘ℂ)
87a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘ℂ))
9 1rp 12381 . . . 4 1 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ+)
111cnfldtop 23319 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
12 metxmet 22871 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Met‘ℂ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ))
137, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
14 1xr 10688 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
15 blssm 22955 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
1613, 14, 15mp3an13 1443 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
17 unicntop 23321 . . . . . . 7 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1817clscld 21583 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
1911, 16, 18sylancr 587 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
20 abscl 14626 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
21 peano2re 10801 . . . . . . 7 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
23 df-rab 3144 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)}
2423eqcomi 2827 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1}
255, 24blcls 23043 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
2613, 14, 25mp3an13 1443 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
27 abscl 14626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
2827ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
2920adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
3028, 29resubcld 11056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
31 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → 𝑦 ∈ ℂ)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
33 subcl 10873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
3431, 32, 33syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
3534abscld 14784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦𝑥)) ∈ ℝ)
36 1red 10630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
37 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
38 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3937, 38abs2difd 14805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑦𝑥)))
403cnmetdval 23306 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
41 abssub 14674 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
4240, 41eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦𝑥)))
4342adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦𝑥)))
44 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)
4543, 44eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦𝑥)) ≤ 1)
4630, 35, 36, 39, 45letrd 10785 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1)
4728, 29, 36lesubadd2d 11227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
4846, 47mpbid 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
4948ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
5049ss2abdv 4041 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
5126, 50sstrd 3974 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
52 ssabral 4039 . . . . . . 7 (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
5351, 52sylib 219 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
54 brralrspcev 5117 . . . . . 6 ((((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
5522, 53, 54syl2anc 584 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
5617clsss3 21595 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
5711, 16, 56sylancr 587 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
58 eqid 2818 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)))
591, 58cnheibor 23486 . . . . . 6 (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
6057, 59syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
6119, 55, 60mpbir2and 709 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
6261adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
635, 8, 10, 62relcmpcmet 23848 . 2 (⊤ → 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ))
6463mptru 1535 1 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  {cab 2796  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  wss 3933   class class class wbr 5057  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528  *cxr 10662  cle 10664  cmin 10858  +crp 12377  abscabs 14581  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  ∞Metcxmet 20458  Metcmet 20459  ballcbl 20460  MetOpencmopn 20463  fldccnfld 20473  Topctop 21429  Clsdccld 21552  clsccl 21554  Compccmp 21922  CMetccmet 23784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-flim 22475  df-fcls 22477  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-cfil 23785  df-cmet 23787
This theorem is referenced by:  recmet  23853  cncms  23885  cnbn  28573
  Copyright terms: Public domain W3C validator