Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncmet 23528
 Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmet.1 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cncmet 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

Proof of Theorem cncmet
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopn 22993 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3 cncmet.1 . . . . 5 𝐷 = (abs ∘ − )
43fveq2i 6449 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
52, 4eqtr4i 2805 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘𝐷)
6 cnmet 22983 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
73, 6eqeltri 2855 . . . 4 𝐷 ∈ (Met‘ℂ)
87a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘ℂ))
9 1rp 12141 . . . 4 1 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ+)
111cnfldtop 22995 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
12 metxmet 22547 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Met‘ℂ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ))
137, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
14 rpxr 12148 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
159, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ*
16 blssm 22631 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
1713, 15, 16mp3an13 1525 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
181cnfldtopon 22994 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1918toponunii 21128 . . . . . . 7 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2019clscld 21259 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
2111, 17, 20sylancr 581 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
22 abscl 14425 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
23 peano2re 10549 . . . . . . 7 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
25 df-rab 3099 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)}
2625eqcomi 2787 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1}
275, 26blcls 22719 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
2813, 15, 27mp3an13 1525 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
29 abscl 14425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
3029ad2antrl 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
3122adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
3230, 31resubcld 10803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
33 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → 𝑦 ∈ ℂ)
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
35 subcl 10621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
3633, 34, 35syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
3736abscld 14583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦𝑥)) ∈ ℝ)
38 1red 10377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
39 simprl 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40 simpl 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4139, 40abs2difd 14604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑦𝑥)))
423cnmetdval 22982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
43 abssub 14473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑥)))
4442, 43eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦𝑥)))
4544adantrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦𝑥)))
46 simprr 763 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)
4745, 46eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦𝑥)) ≤ 1)
4832, 37, 38, 41, 47letrd 10533 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1)
4930, 31, 38lesubadd2d 10974 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
5048, 49mpbid 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
5150ex 403 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
5251ss2abdv 3896 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
5328, 52sstrd 3831 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
54 ssabral 3894 . . . . . . 7 (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
5553, 54sylib 210 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
56 brralrspcev 4946 . . . . . 6 ((((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
5724, 55, 56syl2anc 579 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
5819clsss3 21271 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
5911, 17, 58sylancr 581 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
60 eqid 2778 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)))
611, 60cnheibor 23162 . . . . . 6 (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
6259, 61syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
6321, 57, 62mpbir2and 703 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
6463adantl 475 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
655, 8, 10, 64relcmpcmet 23524 . 2 (⊤ → 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ))
6665mptru 1609 1 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601  ⊤wtru 1602   ∈ wcel 2107  {cab 2763  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  {crab 3094   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886   ∘ ccom 5359  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  1c1 10273   + caddc 10275  ℝ*cxr 10410   ≤ cle 10412   − cmin 10606  ℝ+crp 12137  abscabs 14381   ↾t crest 16467  TopOpenctopn 16468  ∞Metcxmet 20127  Metcmet 20128  ballcbl 20129  MetOpencmopn 20132  ℂfldccnfld 20142  Topctop 21105  Clsdccld 21228  clsccl 21230  Compccmp 21598  CMetccmet 23460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-flim 22151  df-fcls 22153  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-cfil 23461  df-cmet 23463 This theorem is referenced by:  recmet  23529  cncms  23561  cnbn  28297
 Copyright terms: Public domain W3C validator