Theorem cncmet 25644

Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncmet.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cncmet	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

Proof of Theorem cncmet

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopn 25101	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		cncmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
4	3	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5	2, 4	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘𝐷)
6		cnmet 25091	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
7	3, 6	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ℂ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘ℂ))
9		1rp 13125	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ+)
11	1	cnfldtop 25103	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
12		metxmet 24654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘ℂ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
14		1xr 11369	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
15		blssm 24738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
16	13, 14, 15	mp3an13 1481	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
17		unicntop 25105	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
18	17	clscld 23366	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
19	11, 16, 18	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
20		abscl 15446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
21		peano2re 11484	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
23		df-rab 3413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)}
24	23	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1}
25	5, 24	blcls 24826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
26	13, 14, 25	mp3an13 1481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
27		abscl 15446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
28	27	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
29	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
30	28, 29	resubcld 11745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
31		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
33		subcl 11557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
34	31, 32, 33	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
35	34	abscld 15607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)
36		1red 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
37		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
38		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	37, 38	abs2difd 15628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
40	3	cnmetdval 25090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
41		abssub 15495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
42	40, 41	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
43	42	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
44		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)
45	43, 44	eqbrtrrd 5128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) ≤ 1)
46	30, 35, 36, 39, 45	letrd 11468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1)
47	28, 29, 36	lesubadd2d 11916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
48	46, 47	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
49	48	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
50	49	ss2abdv 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
51	26, 50	sstrd 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
52		ssabral 3989	. . . . . . 7 ⊢ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
53	51, 52	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
54		brralrspcev 5164	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
55	22, 53, 54	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
56	17	clsss3 23378	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
57	11, 16, 56	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
58		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)))
59	1, 58	cnheibor 25277	. . . . . 6 ⊢ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
60	57, 59	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
61	19, 55, 60	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
62	61	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
63	5, 8, 10, 62	relcmpcmet 25640	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ))
64	63	mptru 1576	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  ℝcr 11200  1c1 11202   + caddc 11204  ℝ^*cxr 11343   ≤ cle 11345   − cmin 11542  ℝ⁺crp 13121  abscabs 15402   ↾_t crest 17592  TopOpenctopn 17593  ∞Metcxmet 21664  Metcmet 21665  ballcbl 21666  MetOpencmopn 21669  ℂ_fldccnfld 21679  Topctop 23212  Clsdccld 23335  clsccl 23337  Compccmp 23705  CMetccmet 25576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-cmp 23706  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-flim 24259  df-fcls 24261  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-cfil 25577  df-cmet 25579

This theorem is used by:  recmet  25645  cncms  25677  cnbn  31472