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Theorem iseralt 15569
Description: The alternating series test. If 𝐺(𝑘) is a decreasing sequence that converges to 0, then Σ𝑘𝑍(-1↑𝑘) · 𝐺(𝑘) is a convergent series. (Note that the first term is positive if 𝑀 is even, and negative if 𝑀 is odd. If the parity of your series does not match up with this, you will need to post-compose the series with multiplication by -1 using isermulc2 15542.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
iseralt.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
iseralt (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseralt
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseralt.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 seqex 13908 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
4 iseralt.5 . . . 4 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
5 iseralt.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 climrel 15374 . . . . . . 7 Rel ⇝
76brrelex1i 5688 . . . . . 6 (𝐺 ⇝ 0 → 𝐺 ∈ V)
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ V)
9 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
10 iseralt.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
1110ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
1211recnd 11183 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
131, 5, 8, 9, 12clim0c 15389 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥))
144, 13mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥)
15 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1615, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzelz 12773 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
18 uzid 12778 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
20 peano2uz 12826 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
21 2fveq3 6847 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (abs‘(𝐺𝑛)) = (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))))
2221breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 1) → ((abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥))
2322rspcv 3577 . . . . . . 7 ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥))
2419, 20, 233syl 18 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥))
25 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
2625ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ ℤ)
2726zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ ℂ)
2817, 1eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
2928ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
3029zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℂ)
3127, 30subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℂ)
32 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 2 ∈ ℂ)
33 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ≠ 0
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 2 ≠ 0)
3531, 32, 34divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · ((𝑛𝑗) / 2)) = (𝑛𝑗))
3635oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))) = (𝑗 + (𝑛𝑗)))
3730, 27pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (𝑛𝑗)) = 𝑛)
3836, 37eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 = (𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 = (𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))))
4039fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))))
4140fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
42 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 𝜑)
43 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑍)
4443ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 𝑗𝑍)
45 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ)
4626, 29zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℤ)
4746zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℝ)
48 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 2 ∈ ℝ+)
50 eluzle 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑛)
5150ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗𝑛)
5226zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ ℝ)
5329zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
5452, 53subge0d 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (0 ≤ (𝑛𝑗) ↔ 𝑗𝑛))
5551, 54mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ≤ (𝑛𝑗))
5647, 49, 55divge0d 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ≤ ((𝑛𝑗) / 2))
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ ((𝑛𝑗) / 2))
58 elnn0z 12512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑛𝑗) / 2)))
5945, 57, 58sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0)
60 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
61 iseralt.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
621, 5, 10, 60, 4, 61iseraltlem3 15568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))))
6362simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
6442, 44, 59, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
6541, 64eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
66 2div2e1 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 / 2) = 1
6766oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − (2 / 2)) = ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)
68 peano2cn 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛𝑗) ∈ ℂ → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℂ)
6931, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℂ)
7069, 32, 32, 34divsubdird 11970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) − 2) / 2) = ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − (2 / 2)))
71 df-2 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 = (1 + 1)
7271oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑛𝑗) + 1) − 2) = (((𝑛𝑗) + 1) − (1 + 1))
73 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℂ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ∈ ℂ)
7531, 74, 74pnpcan2d 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) + 1) − (1 + 1)) = ((𝑛𝑗) − 1))
7672, 75eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) + 1) − 2) = ((𝑛𝑗) − 1))
7776oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) − 2) / 2) = (((𝑛𝑗) − 1) / 2))
7870, 77eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − (2 / 2)) = (((𝑛𝑗) − 1) / 2))
7967, 78eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) = (((𝑛𝑗) − 1) / 2))
8079oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)) = (2 · (((𝑛𝑗) − 1) / 2)))
81 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑛𝑗) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛𝑗) − 1) ∈ ℂ)
8231, 73, 81sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) − 1) ∈ ℂ)
8382, 32, 34divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · (((𝑛𝑗) − 1) / 2)) = ((𝑛𝑗) − 1))
8427, 30, 74sub32d 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) − 1) = ((𝑛 − 1) − 𝑗))
8580, 83, 843eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)) = ((𝑛 − 1) − 𝑗))
8685oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) = (𝑗 + ((𝑛 − 1) − 𝑗)))
87 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
8827, 73, 87sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
8930, 88pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + ((𝑛 − 1) − 𝑗)) = (𝑛 − 1))
9086, 89eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) = (𝑛 − 1))
9190oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1) = ((𝑛 − 1) + 1))
92 npcan 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
9327, 73, 92sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
9491, 93eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 = ((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1))
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 = ((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1))
9695fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)))
9796fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
98 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝜑)
9943ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑗𝑍)
100 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ)
101 uznn0sub 12802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑛𝑗) ∈ ℕ0)
102101ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℕ0)
103 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛𝑗) ∈ ℕ0 → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℕ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℕ)
105104nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
106105rphalfcld 12969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℝ+)
107106rpgt0d 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < (((𝑛𝑗) + 1) / 2))
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 0 < (((𝑛𝑗) + 1) / 2))
109 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝑛𝑗) + 1) / 2)))
110100, 108, 109sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℕ)
111 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℕ → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0)
1131, 5, 10, 60, 4, 61iseraltlem3 15568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))))
114113simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
11598, 99, 112, 114syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
11697, 115eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
117 zeo 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑗) ∈ ℤ → (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ))
11846, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ))
11965, 116, 118mpjaodan 957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
1201peano2uzs 12827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
121120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
122 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:𝑍⟶ℝ ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
12310, 121, 122syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
1241, 5, 10, 60, 4iseraltlem1 15566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
125121, 124sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
126123, 125absidd 15307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
127119, 126breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))))
128127adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))))
129 neg1rr 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ℝ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 ∈ ℝ)
131 neg1ne0 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ≠ 0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 ≠ 0)
133 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
134133, 1eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
135134adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
136130, 132, 135reexpclzd 14152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
13710ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
138136, 137remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
13961, 138eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1401, 5, 139serfre 13937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
1411uztrn2 12782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
142 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ ∧ 𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
143140, 141, 142syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
144 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ ∧ 𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
145140, 43, 144syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
146143, 145resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℝ)
147146recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℂ)
148147abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℝ)
149148adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℝ)
150126, 123eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
151150adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
152 rpre 12923 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
153152ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
154 lelttr 11245 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∧ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
155149, 151, 153, 154syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∧ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
156128, 155mpand 693 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
157140adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
158157, 141, 142syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
159156, 158jctild 526 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
160159anassrs 468 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
161160ralrimdva 3151 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
16224, 161syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
163162reximdva 3165 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
164163ralimdva 3164 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
16514, 164mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
1661, 3, 165caurcvg2 15562 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371
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