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Theorem iseralt 14645
Description: The alternating series test. If 𝐺(𝑘) is a decreasing sequence that converges to 0, then Σ𝑘𝑍(-1↑𝑘) · 𝐺(𝑘) is a convergent series. (Note that the first term is positive if 𝑀 is even, and negative if 𝑀 is odd. If the parity of your series does not match up with this, you will need to post-compose the series with multiplication by -1 using isermulc2 14618.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
iseralt.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
iseralt (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseralt
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseralt.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 seqex 13033 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
4 iseralt.5 . . . 4 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
5 iseralt.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 climrel 14453 . . . . . . 7 Rel ⇝
76brrelexi 5369 . . . . . 6 (𝐺 ⇝ 0 → 𝐺 ∈ V)
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ V)
9 eqidd 2818 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
10 iseralt.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
1110ffvelrnda 6588 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
1211recnd 10360 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
131, 5, 8, 9, 12clim0c 14468 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥))
144, 13mpbid 223 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥)
15 simpr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1615, 1syl6eleq 2906 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzelz 11921 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
18 uzid 11926 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
20 peano2uz 11966 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
21 2fveq3 6420 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (abs‘(𝐺𝑛)) = (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))))
2221breq1d 4865 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 1) → ((abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥))
2322rspcv 3509 . . . . . . 7 ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥))
2419, 20, 233syl 18 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥))
25 eluzelz 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
2625ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ ℤ)
2726zcnd 11756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ ℂ)
2817, 1eleq2s 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
2928ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
3029zcnd 11756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℂ)
3127, 30subcld 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℂ)
32 2cnd 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 2 ∈ ℂ)
33 2ne0 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ≠ 0
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 2 ≠ 0)
3531, 32, 34divcan2d 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · ((𝑛𝑗) / 2)) = (𝑛𝑗))
3635oveq2d 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))) = (𝑗 + (𝑛𝑗)))
3730, 27pncan3d 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (𝑛𝑗)) = 𝑛)
3836, 37eqtr2d 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 = (𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))))
3938adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 = (𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))))
4039fveq2d 6419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))))
4140fvoveq1d 6903 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
42 simpll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 𝜑)
43 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑍)
4443ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 𝑗𝑍)
45 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ)
4626, 29zsubcld 11760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℤ)
4746zred 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℝ)
48 2rp 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 2 ∈ ℝ+)
50 eluzle 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑛)
5150ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗𝑛)
5226zred 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ ℝ)
5329zred 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
5452, 53subge0d 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (0 ≤ (𝑛𝑗) ↔ 𝑗𝑛))
5551, 54mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ≤ (𝑛𝑗))
5647, 49, 55divge0d 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ≤ ((𝑛𝑗) / 2))
5756adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ ((𝑛𝑗) / 2))
58 elnn0z 11663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑛𝑗) / 2)))
5945, 57, 58sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0)
60 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
61 iseralt.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
621, 5, 10, 60, 4, 61iseraltlem3 14644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))))
6362simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
6442, 44, 59, 63syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((𝑛𝑗) / 2)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
6541, 64eqbrtrd 4877 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ ((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
66 2div2e1 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 / 2) = 1
6766oveq2i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − (2 / 2)) = ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)
68 peano2cn 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛𝑗) ∈ ℂ → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℂ)
6931, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℂ)
7069, 32, 32, 34divsubdird 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) − 2) / 2) = ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − (2 / 2)))
71 df-2 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 = (1 + 1)
7271oveq2i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑛𝑗) + 1) − 2) = (((𝑛𝑗) + 1) − (1 + 1))
73 ax-1cn 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℂ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ∈ ℂ)
7531, 74, 74pnpcan2d 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) + 1) − (1 + 1)) = ((𝑛𝑗) − 1))
7672, 75syl5eq 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) + 1) − 2) = ((𝑛𝑗) − 1))
7776oveq1d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) − 2) / 2) = (((𝑛𝑗) − 1) / 2))
7870, 77eqtr3d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − (2 / 2)) = (((𝑛𝑗) − 1) / 2))
7967, 78syl5eqr 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) = (((𝑛𝑗) − 1) / 2))
8079oveq2d 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)) = (2 · (((𝑛𝑗) − 1) / 2)))
81 subcl 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑛𝑗) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛𝑗) − 1) ∈ ℂ)
8231, 73, 81sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) − 1) ∈ ℂ)
8382, 32, 34divcan2d 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · (((𝑛𝑗) − 1) / 2)) = ((𝑛𝑗) − 1))
8427, 30, 74sub32d 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) − 1) = ((𝑛 − 1) − 𝑗))
8580, 83, 843eqtrd 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)) = ((𝑛 − 1) − 𝑗))
8685oveq2d 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) = (𝑗 + ((𝑛 − 1) − 𝑗)))
87 subcl 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
8827, 73, 87sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
8930, 88pncan3d 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + ((𝑛 − 1) − 𝑗)) = (𝑛 − 1))
9086, 89eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) = (𝑛 − 1))
9190oveq1d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1) = ((𝑛 − 1) + 1))
92 npcan 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
9327, 73, 92sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
9491, 93eqtr2d 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 = ((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1))
9594adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑛 = ((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1))
9695fveq2d 6419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)))
9796fvoveq1d 6903 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))))
98 simpll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝜑)
9943ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑗𝑍)
100 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ)
101 uznn0sub 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑛𝑗) ∈ ℕ0)
102101ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑛𝑗) ∈ ℕ0)
103 nn0p1nn 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛𝑗) ∈ ℕ0 → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℕ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℕ)
105104nnrpd 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑛𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
106105rphalfcld 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℝ+)
107106rpgt0d 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < (((𝑛𝑗) + 1) / 2))
108107adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → 0 < (((𝑛𝑗) + 1) / 2))
109 elnnz 11660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝑛𝑗) + 1) / 2)))
110100, 108, 109sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℕ)
111 nnm1nn0 11607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℕ → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0)
1131, 5, 10, 60, 4, 61iseraltlem3 14644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1)))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))))
114113simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
11598, 99, 112, 114syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑗 + (2 · ((((𝑛𝑗) + 1) / 2) − 1))) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
11697, 115eqbrtrd 4877 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
117 zeo 11736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑗) ∈ ℤ → (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ))
11846, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑛𝑗) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑛𝑗) + 1) / 2) ∈ ℤ))
11965, 116, 118mpjaodan 972 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
1201peano2uzs 11967 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
121120adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
122 ffvelrn 6586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:𝑍⟶ℝ ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
12310, 121, 122syl2an 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
1241, 5, 10, 60, 4iseraltlem1 14642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
125121, 124sylan2 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
126123, 125absidd 14391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
127119, 126breqtrrd 4883 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))))
128127adantlr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))))
129 neg1rr 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ℝ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 ∈ ℝ)
131 neg1ne0 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ≠ 0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → -1 ≠ 0)
133 eluzelz 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
134133, 1eleq2s 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
135134adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
136130, 132, 135reexpclzd 13264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
13710ffvelrnda 6588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
138136, 137remulcld 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
13961, 138eqeltrd 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1401, 5, 139serfre 13060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
1411uztrn2 11929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
142 ffvelrn 6586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ ∧ 𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
143140, 141, 142syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
144 ffvelrn 6586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ ∧ 𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
145140, 43, 144syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
146143, 145resubcld 10750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℝ)
147146recnd 10360 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)) ∈ ℂ)
148147abscld 14405 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℝ)
149148adantlr 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℝ)
150126, 123eqeltrd 2896 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
151150adantlr 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
152 rpre 12060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
153152ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
154 lelttr 10420 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∧ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
155149, 151, 153, 154syl3anc 1483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) ≤ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) ∧ (abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
156128, 155mpand 678 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
157140adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
158157, 141, 142syl2an 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
159156, 158jctild 517 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
160159anassrs 455 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
161160ralrimdva 3168 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((abs‘(𝐺‘(𝑗 + 1))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
16224, 161syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
163162reximdva 3215 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
164163ralimdva 3161 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐺𝑛)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
16514, 164mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
1661, 3, 165caurcvg2 14638 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3402   class class class wbr 4855  dom cdm 5322  wf 6104  cfv 6108  (class class class)co 6881  cc 10226  cr 10227  0cc0 10228  1c1 10229   + caddc 10231   · cmul 10233   < clt 10366  cle 10367  cmin 10558  -cneg 10559   / cdiv 10976  cn 11312  2c2 11363  0cn0 11566  cz 11650  cuz 11911  +crp 12053  seqcseq 13031  cexp 13090  abscabs 14204  cli 14445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-pm 8102  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-sup 8594  df-inf 8595  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-n0 11567  df-z 11651  df-uz 11912  df-rp 12054  df-ico 12406  df-fz 12557  df-fl 12824  df-seq 13032  df-exp 13091  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-limsup 14432  df-clim 14449  df-rlim 14450
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