Theorem lmclim2 38692

Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmclim2.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmclim2.5	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌))
lmclim2.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmclim2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmclim2

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmclim2.4	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		lmclim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 24653	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		nnuz 13004	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6		1zzd 12727	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
8		lmclim2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
9	1, 4, 5, 6, 7, 8	lmmbrf 25583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ (𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
10		lmclim2.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌))
11		nnex 12341	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
12	11	mptex 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌)) ∈ V
13	10, 12	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
15		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
16	15	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
17		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ V
18	16, 10, 17	fvmpt 6993	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
20	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
21	8	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
22		lmclim2.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝑋)
24		metcl 24651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11337	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℂ)
27	5, 6, 14, 19, 26	clim0c 15674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥))
28		eluznn 13045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		metge0 24664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
30	20, 21, 23, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
31	25, 30	absidd 15590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
32	31	breq1d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
33	28, 32	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
34	33	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
35	34	ralbidva 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
36	35	rexbidva 3185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
37	36	ralbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
38	22	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥 ↔ (𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
39	27, 37, 38	3bitrrd 309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥) ↔ 𝐺 ⇝ 0))
40	9, 39	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401   ⇝ cli 15651  ∞Metcxmet 21663  Metcmet 21664  MetOpencmopn 21668  ⇝_𝑡clm 23544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-lm 23547

This theorem is used by: (None)