Theorem lmclim2 38509

Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmclim2.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmclim2.5	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌))
lmclim2.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmclim2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmclim2

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmclim2.4	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		lmclim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 24561	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		nnuz 12927	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6		1zzd 12650	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
8		lmclim2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
9	1, 4, 5, 6, 7, 8	lmmbrf 25491	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ (𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
10		lmclim2.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌))
11		nnex 12264	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
12	11	mptex 7223	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌)) ∈ V
13	10, 12	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
15		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
16	15	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
17		ovex 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ V
18	16, 10, 17	fvmpt 6987	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
20	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
21	8	ffvelcdmda 7078	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
22		lmclim2.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝑋)
24		metcl 24559	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℂ)
27	5, 6, 14, 19, 26	clim0c 15595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥))
28		eluznn 12968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		metge0 24572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
30	20, 21, 23, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
31	25, 30	absidd 15511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
32	31	breq1d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
33	28, 32	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
34	33	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
35	34	ralbidva 3183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
36	35	rexbidva 3184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
37	36	ralbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
38	22	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥 ↔ (𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
39	27, 37, 38	3bitrrd 309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥) ↔ 𝐺 ⇝ 0))
40	9, 39	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   < clt 11268   ≤ cle 11269  ℕcn 12258  ℤ_≥cuz 12888  ℝ⁺crp 13043  abscabs 15322   ⇝ cli 15572  ∞Metcxmet 21571  Metcmet 21572  MetOpencmopn 21576  ⇝_𝑡clm 23452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-topgen 17529  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172  df-lm 23455

This theorem is used by: (None)