Theorem lmclim2 37959

Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmclim2.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmclim2.5	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌))
lmclim2.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmclim2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmclim2

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmclim2.4	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		lmclim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 24278	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		nnuz 12790	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6		1zzd 12522	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
8		lmclim2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
9	1, 4, 5, 6, 7, 8	lmmbrf 25218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ (𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
10		lmclim2.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌))
11		nnex 12151	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
12	11	mptex 7169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌)) ∈ V
13	10, 12	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
15		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
16	15	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
17		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ V
18	16, 10, 17	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
20	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
21	8	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
22		lmclim2.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝑋)
24		metcl 24276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℂ)
27	5, 6, 14, 19, 26	clim0c 15430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥))
28		eluznn 12831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		metge0 24289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
30	20, 21, 23, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
31	25, 30	absidd 15346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
32	31	breq1d 5108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
33	28, 32	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
34	33	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
35	34	ralbidva 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
36	35	rexbidva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
37	36	ralbidv 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
38	22	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥 ↔ (𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
39	27, 37, 38	3bitrrd 306	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥) ↔ 𝐺 ⇝ 0))
40	9, 39	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  abscabs 15157   ⇝ cli 15407  ∞Metcxmet 21294  Metcmet 21295  MetOpencmopn 21299  ⇝_𝑡clm 23170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-lm 23173

This theorem is referenced by: (None)