Theorem lmclim2 38467

Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmclim2.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmclim2.5	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌))
lmclim2.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmclim2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmclim2

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmclim2.4	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		lmclim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 24542	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		nnuz 12917	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6		1zzd 12640	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
8		lmclim2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
9	1, 4, 5, 6, 7, 8	lmmbrf 25472	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ (𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
10		lmclim2.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌))
11		nnex 12254	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
12	11	mptex 7228	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌)) ∈ V
13	10, 12	eqeltri 2861	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
15		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
16	15	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
17		ovex 7452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ V
18	16, 10, 17	fvmpt 6993	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
20	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
21	8	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
22		lmclim2.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝑋)
24		metcl 24540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℂ)
27	5, 6, 14, 19, 26	clim0c 15582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥))
28		eluznn 12958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		metge0 24553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
30	20, 21, 23, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
31	25, 30	absidd 15498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
32	31	breq1d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
33	28, 32	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
34	33	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
35	34	ralbidva 3188	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
36	35	rexbidva 3189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
37	36	ralbidv 3190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
38	22	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥 ↔ (𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
39	27, 37, 38	3bitrrd 309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥) ↔ 𝐺 ⇝ 0))
40	9, 39	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   < clt 11258   ≤ cle 11259  ℕcn 12248  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15309   ⇝ cli 15559  ∞Metcxmet 21557  Metcmet 21558  MetOpencmopn 21562  ⇝_𝑡clm 23433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-top 23101  df-topon 23118  df-bases 23153  df-lm 23436

This theorem is used by: (None)