Theorem lmclim2 35602

Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmclim2.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmclim2.5	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌))
lmclim2.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lmclim2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmclim2

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmclim2.4	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		lmclim2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 23186	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		nnuz 12442	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6		1zzd 12173	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
8		lmclim2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
9	1, 4, 5, 6, 7, 8	lmmbrf 24113	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ (𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
10		lmclim2.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌))
11		nnex 11801	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
12	11	mptex 7017	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌)) ∈ V
13	10, 12	eqeltri 2827	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
15		fveq2 6695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
16	15	oveq1d 7206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)𝐷𝑌) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
17		ovex 7224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ V
18	16, 10, 17	fvmpt 6796	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
19	18	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
20	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
21	8	ffvelrnda 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
22		lmclim2.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
23	22	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝑋)
24		metcl 23184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
26	25	recnd 10826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℂ)
27	5, 6, 14, 19, 26	clim0c 15033	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥))
28		eluznn 12479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		metge0 23197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
30	20, 21, 23, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
31	25, 30	absidd 14951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌))
32	31	breq1d 5049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
33	28, 32	sylan2 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
34	33	anassrs 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
35	34	ralbidva 3107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
36	35	rexbidva 3205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
37	36	ralbidv 3108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
38	22	biantrurd 536	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥 ↔ (𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
39	27, 37, 38	3bitrrd 309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥) ↔ 𝐺 ⇝ 0))
40	9, 39	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑌 ↔ 𝐺 ⇝ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  Vcvv 3398   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5120  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   < clt 10832   ≤ cle 10833  ℕcn 11795  ℤ_≥cuz 12403  ℝ⁺crp 12551  abscabs 14762   ⇝ cli 15010  ∞Metcxmet 20302  Metcmet 20303  MetOpencmopn 20307  ⇝_𝑡clm 22077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-topgen 16902  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-top 21745  df-topon 21762  df-bases 21797  df-lm 22080

This theorem is referenced by: (None)