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Theorem serf0 15142
Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgb.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
serf0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
serf0.3 (𝜑𝐹𝑉)
serf0.4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
serf0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
serf0 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉

Proof of Theorem serf0
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serf0.4 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2 serf0.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 caucvgb.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
43caucvgb 15141 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
52, 1, 4syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
61, 5mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
73cau3 14817 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥))
86, 7sylib 221 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥))
93peano2uzs 12396 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
109adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
11 eluzelz 12346 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
12 uzid 12351 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
13 peano2uz 12395 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑚) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑚))
14 fveq2 6686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))
1514oveq2d 7198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1))))
1615fveq2d 6690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))))
1716breq1d 5050 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥))
1817rspcv 3524 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑚) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥))
1911, 12, 13, 184syl 19 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥))
2019adantld 494 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥))
2120ralimia 3074 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2322, 3eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
24 eluzelz 12346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
26 eluzp1m1 12362 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ (ℤ𝑗))
2725, 26sylan 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ (ℤ𝑗))
28 fveq2 6686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)))
29 fvoveq1 7205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))
3028, 29oveq12d 7200 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1))))
3130fveq2d 6690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))))
3231breq1d 5050 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) < 𝑥))
3332rspcv 3524 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 − 1) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) < 𝑥))
3427, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥 → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) < 𝑥))
35 serf0.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
363, 2, 35serf 13502 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
383uztrn2 12355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ 𝑍)
3922, 27, 38syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ 𝑍)
4037, 39ffvelrnd 6874 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
413uztrn2 12355 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘𝑍)
4210, 41sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘𝑍)
4337, 42ffvelrnd 6874 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
4440, 43abssubd 14915 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)))))
45 eluzelz 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4645adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
4746zcnd 12181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
48 ax-1cn 10685 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
49 npcan 10985 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
5047, 48, 49sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
5150fveq2d 6690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))
5251oveq2d 7198 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘)))
5352fveq2d 6690 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))))
542ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55 eluzp1p1 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
5623, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
57 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
5857uztrn2 12355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
5956, 58sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
60 seqm1 13491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) + (𝐹𝑘)))
6154, 59, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) + (𝐹𝑘)))
6261oveq1d 7197 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1))) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) + (𝐹𝑘)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1))))
6335adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6442, 63syldan 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6540, 64pncan2d 11089 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) + (𝐹𝑘)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1))) = (𝐹𝑘))
6662, 65eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1))))
6766fveq2d 6690 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)))))
6844, 53, 673eqtr4d 2784 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
6968breq1d 5050 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑘 − 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑘 − 1) + 1)))) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
7034, 69sylibd 242 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
7170ralrimdva 3102 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑚 + 1)))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
7221, 71syl5 34 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
73 fveq2 6686 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (ℤ𝑛) = (ℤ‘(𝑗 + 1)))
7473raleqdv 3317 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
7574rspcev 3529 . . . . . 6 (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥)
7610, 72, 75syl6an 684 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
7776rexlimdva 3195 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
7877ralimdv 3093 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
798, 78mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥)
80 serf0.3 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
81 eqidd 2740 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
823, 2, 80, 81, 35clim0c 14966 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑥))
8379, 82mpbird 260 1 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055   class class class wbr 5040  dom cdm 5535  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7182  cc 10625  0cc0 10627  1c1 10628   + caddc 10630   < clt 10765  cmin 10960  cz 12074  cuz 12336  +crp 12484  seqcseq 13472  abscabs 14695  cli 14943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-pm 8452  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-inf 8992  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-rp 12485  df-ico 12839  df-fz 12994  df-fl 13265  df-seq 13473  df-exp 13534  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-limsup 14930  df-clim 14947  df-rlim 14948
This theorem is referenced by:  mertenslem2  15345  radcnvlem1  25172  dvgrat  41508  expfac  42780
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