Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  txsconn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txsconn 34723
Description: The topological product of two simply connected spaces is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txsconn ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn)
Proof of Theorem txsconn
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconnpconn 34709 . . 3 (𝑅 ∈ SConn β†’ 𝑅 ∈ PConn)
2 sconnpconn 34709 . . 3 (𝑆 ∈ SConn β†’ 𝑆 ∈ PConn)
3 txpconn 34714 . . 3 ((𝑅 ∈ PConn ∧ 𝑆 ∈ PConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn)
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn)
5 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ SConn)
6 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
7 sconntop 34710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ SConn β†’ 𝑅 ∈ Top)
87ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
9 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
109toptopon 22743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
118, 10sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
12 sconntop 34710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ SConn β†’ 𝑆 ∈ Top)
1312ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
14 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
1514toptopon 22743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
1613, 15sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
17 tx1cn 23437 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
1811, 16, 17syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
19 cnco 23094 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅)) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅))
206, 18, 19syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅))
21 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))
2221fveq2d 6886 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
23 iitopon 24723 . . . . . . . . . . . . 13 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
25 txtopon 23419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
2611, 16, 25syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
27 cnf2 23077 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
2824, 26, 6, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
29 0elunit 13444 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]1)
30 fvco3 6981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
3128, 29, 30sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
32 1elunit 13445 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (0[,]1)
33 fvco3 6981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
3428, 32, 33sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
3522, 31, 343eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1))
36 sconnpht 34711 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SConn ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1)) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
375, 20, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
38 isphtpc 24844 . . . . . . . 8 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ↔ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
3937, 38sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
4039simp3d 1141 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…)
41 n0 4339 . . . . . 6 ((((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
4240, 41sylib 217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
43 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ SConn)
44 tx2cn 23438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
4511, 16, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
46 cnco 23094 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆))
476, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆))
4821fveq2d 6886 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
49 fvco3 6981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
5028, 29, 49sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
51 fvco3 6981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
5228, 32, 51sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
5348, 50, 523eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1))
54 sconnpht 34711 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ SConn ∧ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
5543, 47, 53, 54syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
56 isphtpc 24844 . . . . . . . 8 (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ↔ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
5755, 56sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
5857simp3d 1141 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…)
59 n0 4339 . . . . . 6 ((((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ… ↔ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
6058, 59sylib 217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
61 exdistrv 1951 . . . . . 6 (βˆƒπ‘”βˆƒβ„Ž(𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) ↔ (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))))
628adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
6313adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
646adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
65 eqid 2724 . . . . . . . . 9 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)
66 eqid 2724 . . . . . . . . 9 ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)
67 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
68 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
6962, 63, 64, 65, 66, 67, 68txsconnlem 34722 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
7069ex 412 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7170exlimdvv 1929 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (βˆƒπ‘”βˆƒβ„Ž(𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7261, 71biimtrrid 242 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7342, 60, 72mp2and 696 . . . 4 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
7473expr 456 . . 3 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ ((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7574ralrimiva 3138 . 2 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
76 issconn 34708 . 2 ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn ∧ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))))
774, 75, 76sylanbrc 582 1 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆ…c0 4315  {csn 4621  βˆͺ cuni 4900   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665   β†Ύ cres 5669   ∘ ccom 5671  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  1st c1st 7967  2nd c2nd 7968  0cc0 11107  1c1 11108  [,]cicc 13325  Topctop 22719  TopOnctopon 22736   Cn ccn 23052   Γ—t ctx 23388  IIcii 24719  PHtpycphtpy 24818   ≃phcphtpc 24819  PConncpconn 34701  SConncsconn 34702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-icc 13329  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-topgen 17390  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-tx 23390  df-ii 24721  df-htpy 24820  df-phtpy 24821  df-phtpc 24842  df-pconn 34703  df-sconn 34704
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator