Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  txsconn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txsconn 34846
Description: The topological product of two simply connected spaces is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txsconn ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn)
Proof of Theorem txsconn
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconnpconn 34832 . . 3 (𝑅 ∈ SConn β†’ 𝑅 ∈ PConn)
2 sconnpconn 34832 . . 3 (𝑆 ∈ SConn β†’ 𝑆 ∈ PConn)
3 txpconn 34837 . . 3 ((𝑅 ∈ PConn ∧ 𝑆 ∈ PConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn)
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn)
5 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ SConn)
6 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
7 sconntop 34833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ SConn β†’ 𝑅 ∈ Top)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
9 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
109toptopon 22813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
118, 10sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
12 sconntop 34833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ SConn β†’ 𝑆 ∈ Top)
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
14 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
1514toptopon 22813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
1613, 15sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
17 tx1cn 23507 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
1811, 16, 17syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
19 cnco 23164 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅)) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅))
206, 18, 19syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅))
21 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))
2221fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
23 iitopon 24793 . . . . . . . . . . . . 13 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
25 txtopon 23489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
2611, 16, 25syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
27 cnf2 23147 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
2824, 26, 6, 27syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
29 0elunit 13473 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]1)
30 fvco3 6992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
3128, 29, 30sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
32 1elunit 13474 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (0[,]1)
33 fvco3 6992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
3428, 32, 33sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
3522, 31, 343eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1))
36 sconnpht 34834 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SConn ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1)) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
375, 20, 35, 36syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
38 isphtpc 24914 . . . . . . . 8 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ↔ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
3937, 38sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
4039simp3d 1142 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…)
41 n0 4343 . . . . . 6 ((((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
4240, 41sylib 217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
43 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ SConn)
44 tx2cn 23508 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
4511, 16, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
46 cnco 23164 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆))
476, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆))
4821fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
49 fvco3 6992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
5028, 29, 49sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
51 fvco3 6992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
5228, 32, 51sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
5348, 50, 523eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1))
54 sconnpht 34834 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ SConn ∧ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
5543, 47, 53, 54syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
56 isphtpc 24914 . . . . . . . 8 (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ↔ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
5755, 56sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
5857simp3d 1142 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…)
59 n0 4343 . . . . . 6 ((((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ… ↔ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
6058, 59sylib 217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
61 exdistrv 1952 . . . . . 6 (βˆƒπ‘”βˆƒβ„Ž(𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) ↔ (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))))
628adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
6313adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
646adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
65 eqid 2728 . . . . . . . . 9 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)
66 eqid 2728 . . . . . . . . 9 ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)
67 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
68 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
6962, 63, 64, 65, 66, 67, 68txsconnlem 34845 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
7069ex 412 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7170exlimdvv 1930 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (βˆƒπ‘”βˆƒβ„Ž(𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7261, 71biimtrrid 242 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7342, 60, 72mp2and 698 . . . 4 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
7473expr 456 . . 3 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ ((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7574ralrimiva 3142 . 2 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
76 issconn 34831 . 2 ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn ∧ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))))
774, 75, 76sylanbrc 582 1 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057  βˆ…c0 4319  {csn 4625  βˆͺ cuni 4904   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5671   β†Ύ cres 5675   ∘ ccom 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  1st c1st 7986  2nd c2nd 7987  0cc0 11133  1c1 11134  [,]cicc 13354  Topctop 22789  TopOnctopon 22806   Cn ccn 23122   Γ—t ctx 23458  IIcii 24789  PHtpycphtpy 24888   ≃phcphtpc 24889  PConncpconn 34824  SConncsconn 34825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-icc 13358  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-topgen 17419  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-top 22790  df-topon 22807  df-bases 22843  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-tx 23460  df-ii 24791  df-htpy 24890  df-phtpy 24891  df-phtpc 24912  df-pconn 34826  df-sconn 34827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator