Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  txsconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txsconn 33899
Description: The topological product of two simply connected spaces is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txsconn ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn)

Proof of Theorem txsconn
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconnpconn 33885 . . 3 (𝑅 ∈ SConn β†’ 𝑅 ∈ PConn)
2 sconnpconn 33885 . . 3 (𝑆 ∈ SConn β†’ 𝑆 ∈ PConn)
3 txpconn 33890 . . 3 ((𝑅 ∈ PConn ∧ 𝑆 ∈ PConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn)
41, 2, 3syl2an 597 . 2 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn)
5 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ SConn)
6 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
7 sconntop 33886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ SConn β†’ 𝑅 ∈ Top)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
109toptopon 22289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
118, 10sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
12 sconntop 33886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ SConn β†’ 𝑆 ∈ Top)
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
1514toptopon 22289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
1613, 15sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
17 tx1cn 22983 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
1811, 16, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
19 cnco 22640 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅)) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅))
206, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅))
21 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))
2221fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
23 iitopon 24265 . . . . . . . . . . . . 13 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
25 txtopon 22965 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
2611, 16, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
27 cnf2 22623 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
2824, 26, 6, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
29 0elunit 13395 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]1)
30 fvco3 6944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
3128, 29, 30sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
32 1elunit 13396 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (0[,]1)
33 fvco3 6944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
3428, 32, 33sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
3522, 31, 343eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1))
36 sconnpht 33887 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SConn ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1)) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
375, 20, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
38 isphtpc 24380 . . . . . . . 8 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ↔ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
3937, 38sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
4039simp3d 1145 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…)
41 n0 4310 . . . . . 6 ((((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
4240, 41sylib 217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
43 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ SConn)
44 tx2cn 22984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
4511, 16, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
46 cnco 22640 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆))
476, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆))
4821fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
49 fvco3 6944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
5028, 29, 49sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
51 fvco3 6944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
5228, 32, 51sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
5348, 50, 523eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1))
54 sconnpht 33887 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ SConn ∧ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
5543, 47, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
56 isphtpc 24380 . . . . . . . 8 (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ↔ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
5755, 56sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
5857simp3d 1145 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…)
59 n0 4310 . . . . . 6 ((((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ… ↔ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
6058, 59sylib 217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
61 exdistrv 1960 . . . . . 6 (βˆƒπ‘”βˆƒβ„Ž(𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) ↔ (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))))
628adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
6313adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
646adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
65 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)
66 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)
67 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
68 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
6962, 63, 64, 65, 66, 67, 68txsconnlem 33898 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
7069ex 414 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7170exlimdvv 1938 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (βˆƒπ‘”βˆƒβ„Ž(𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7261, 71biimtrrid 242 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7342, 60, 72mp2and 698 . . . 4 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
7473expr 458 . . 3 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ ((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7574ralrimiva 3140 . 2 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
76 issconn 33884 . 2 ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn ∧ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))))
774, 75, 76sylanbrc 584 1 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆ…c0 4286  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  0cc0 11059  1c1 11060  [,]cicc 13276  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598   Γ—t ctx 22934  IIcii 24261  PHtpycphtpy 24354   ≃phcphtpc 24355  PConncpconn 33877  SConncsconn 33878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-icc 13280  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-tx 22936  df-ii 24263  df-htpy 24356  df-phtpy 24357  df-phtpc 24378  df-pconn 33879  df-sconn 33880
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator