Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  txsconn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txsconn 34227
Description: The topological product of two simply connected spaces is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txsconn ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn)
Proof of Theorem txsconn
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconnpconn 34213 . . 3 (𝑅 ∈ SConn β†’ 𝑅 ∈ PConn)
2 sconnpconn 34213 . . 3 (𝑆 ∈ SConn β†’ 𝑆 ∈ PConn)
3 txpconn 34218 . . 3 ((𝑅 ∈ PConn ∧ 𝑆 ∈ PConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn)
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn)
5 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ SConn)
6 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
7 sconntop 34214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ SConn β†’ 𝑅 ∈ Top)
87ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
9 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
109toptopon 22418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
118, 10sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
12 sconntop 34214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ SConn β†’ 𝑆 ∈ Top)
1312ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
1514toptopon 22418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
1613, 15sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
17 tx1cn 23112 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
1811, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
19 cnco 22769 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅)) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅))
206, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅))
21 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))
2221fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
23 iitopon 24394 . . . . . . . . . . . . 13 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
25 txtopon 23094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
2611, 16, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
27 cnf2 22752 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
2824, 26, 6, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
29 0elunit 13445 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]1)
30 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
3128, 29, 30sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
32 1elunit 13446 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (0[,]1)
33 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
3428, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
3522, 31, 343eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1))
36 sconnpht 34215 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SConn ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1)) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
375, 20, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
38 isphtpc 24509 . . . . . . . 8 (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ↔ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
3937, 38sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑅) ∧ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
4039simp3d 1144 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…)
41 n0 4346 . . . . . 6 ((((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
4240, 41sylib 217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
43 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑆 ∈ SConn)
44 tx2cn 23113 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
4511, 16, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
46 cnco 22769 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆))
476, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆))
4821fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
49 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
5028, 29, 49sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜0)))
51 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
5228, 32, 51sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(π‘“β€˜1)))
5348, 50, 523eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1))
54 sconnpht 34215 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ SConn ∧ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜1)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
5543, 47, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))
56 isphtpc 24509 . . . . . . . 8 (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)( ≃phβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ↔ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
5755, 56sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ ((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑆) ∧ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…))
5857simp3d 1144 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ…)
59 n0 4346 . . . . . 6 ((((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) β‰  βˆ… ↔ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
6058, 59sylib 217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
61 exdistrv 1959 . . . . . 6 (βˆƒπ‘”βˆƒβ„Ž(𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) ↔ (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))))
628adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑅 ∈ Top)
6313adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑆 ∈ Top)
646adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
65 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)
66 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)
67 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
68 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))
6962, 63, 64, 65, 66, 67, 68txsconnlem 34226 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) ∧ (𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
7069ex 413 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7170exlimdvv 1937 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ (βˆƒπ‘”βˆƒβ„Ž(𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7261, 71biimtrrid 242 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ ((βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)})) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝑓)β€˜0)}))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7342, 60, 72mp2and 697 . . . 4 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1))) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))
7473expr 457 . . 3 (((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ ((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
7574ralrimiva 3146 . 2 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)})))
76 issconn 34212 . 2 ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ PConn ∧ βˆ€π‘“ ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))((π‘“β€˜0) = (π‘“β€˜1) β†’ 𝑓( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(π‘“β€˜0)}))))
774, 75, 76sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ SConn ∧ 𝑆 ∈ SConn) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ SConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  0cc0 11109  1c1 11110  [,]cicc 13326  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727   Γ—t ctx 23063  IIcii 24390  PHtpycphtpy 24483   ≃phcphtpc 24484  PConncpconn 34205  SConncsconn 34206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-ii 24392  df-htpy 24485  df-phtpy 24486  df-phtpc 24507  df-pconn 34207  df-sconn 34208
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator