Theorem phtpcco2 24919

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpcco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
phtpcco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
phtpcco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem phtpcco2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcco2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
2		isphtpc 24913	. . . . 5 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
3	1, 2	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
4	3	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5		phtpcco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6		cnco 23174	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
8	3	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		cnco 23174	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
10	8, 5, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
11	3	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅)
12		n0 4301	. . . 4 ⊢ ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
13	11, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
14	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
15	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
16	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
18	14, 15, 16, 17	phtpyco2 24909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → (𝑃 ∘ 𝑓) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
19	18	ne0d 4290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅)
20	13, 19	exlimddv 1936	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅)
21		isphtpc 24913	. 2 ⊢ ((𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺) ↔ ((𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅))
22	7, 10, 20, 21	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1780   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∅c0 4281   class class class wbr 5089   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   Cn ccn 23132  IIcii 24788  PHtpycphtpy 24887   ≃_phcphtpc 24888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-icc 13244  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-topgen 17339  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22802  df-topon 22819  df-bases 22854  df-cn 23135  df-tx 23470  df-ii 24790  df-htpy 24889  df-phtpy 24890  df-phtpc 24911

This theorem is referenced by:  pi1cof  24979  cvmlift3lem1  35331