Theorem phtpcco2 23206

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpcco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
phtpcco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
phtpcco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem phtpcco2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcco2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
2		isphtpc 23201	. . . . 5 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
3	1, 2	sylib 210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
4	3	simp1d 1133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5		phtpcco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6		cnco 21478	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
7	4, 5, 6	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
8	3	simp2d 1134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		cnco 21478	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
10	8, 5, 9	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
11	3	simp3d 1135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅)
12		n0 4158	. . . 4 ⊢ ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
13	11, 12	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
14	4	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
15	8	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
16	5	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
17		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
18	14, 15, 16, 17	phtpyco2 23197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → (𝑃 ∘ 𝑓) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
19	18	ne0d 4149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅)
20	13, 19	exlimddv 1978	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅)
21		isphtpc 23201	. 2 ⊢ ((𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺) ↔ ((𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅))
22	7, 10, 20, 21	syl3anbrc 1400	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071  ∃wex 1823   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∅c0 4140   class class class wbr 4886   ∘ ccom 5359  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   Cn ccn 21436  IIcii 23086  PHtpycphtpy 23175   ≃_phcphtpc 23176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-icc 12494  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-cn 21439  df-tx 21774  df-ii 23088  df-htpy 23177  df-phtpy 23178  df-phtpc 23199

This theorem is referenced by:  pi1cof  23266  cvmlift3lem1  31900