Theorem phtpcco2 24899

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpcco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
phtpcco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
phtpcco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem phtpcco2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcco2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
2		isphtpc 24893	. . . . 5 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
3	1, 2	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
4	3	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5		phtpcco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6		cnco 23153	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
8	3	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		cnco 23153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
10	8, 5, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
11	3	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅)
12		n0 4316	. . . 4 ⊢ ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
13	11, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
14	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
15	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
16	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
18	14, 15, 16, 17	phtpyco2 24889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → (𝑃 ∘ 𝑓) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
19	18	ne0d 4305	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅)
20	13, 19	exlimddv 1935	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅)
21		isphtpc 24893	. 2 ⊢ ((𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺) ↔ ((𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅))
22	7, 10, 20, 21	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296   class class class wbr 5107   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   Cn ccn 23111  IIcii 24768  PHtpycphtpy 24867   ≃_phcphtpc 24868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-icc 13313  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cn 23114  df-tx 23449  df-ii 24770  df-htpy 24869  df-phtpy 24870  df-phtpc 24891

This theorem is referenced by:  pi1cof  24959  cvmlift3lem1  35306