Theorem phtpcco2 24068

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpcco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
phtpcco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
phtpcco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem phtpcco2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcco2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
2		isphtpc 24063	. . . . 5 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
3	1, 2	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
4	3	simp1d 1140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5		phtpcco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6		cnco 22325	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
8	3	simp2d 1141	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		cnco 22325	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
10	8, 5, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
11	3	simp3d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅)
12		n0 4277	. . . 4 ⊢ ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
13	11, 12	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
14	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
15	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
16	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
18	14, 15, 16, 17	phtpyco2 24059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → (𝑃 ∘ 𝑓) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
19	18	ne0d 4266	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅)
20	13, 19	exlimddv 1939	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅)
21		isphtpc 24063	. 2 ⊢ ((𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺) ↔ ((𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅))
22	7, 10, 20, 21	syl3anbrc 1341	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   Cn ccn 22283  IIcii 23944  PHtpycphtpy 24037   ≃_phcphtpc 24038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cn 22286  df-tx 22621  df-ii 23946  df-htpy 24039  df-phtpy 24040  df-phtpc 24061

This theorem is referenced by:  pi1cof  24128  cvmlift3lem1  33181