Theorem phtpcco2 25068

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpcco2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
phtpcco2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
phtpcco2	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem phtpcco2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcco2.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
2		isphtpc 25063	. . . . 5 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
3	1, 2	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
4	3	simp1d 1156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5		phtpcco2.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6		cnco 23333	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
7	4, 5, 6	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
8	3	simp2d 1157	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		cnco 23333	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
10	8, 5, 9	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
11	3	simp3d 1158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅)
12		n0 4306	. . . 4 ⊢ ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
13	11, 12	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
14	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
15	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
16	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
17		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
18	14, 15, 16, 17	phtpyco2 25059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → (𝑃 ∘ 𝑓) ∈ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)))
19	18	ne0d 4295	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅)
20	13, 19	exlimddv 1956	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅)
21		isphtpc 25063	. 2 ⊢ ((𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺) ↔ ((𝑃 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑃 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝑃 ∘ 𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺)) ≠ ∅))
22	7, 10, 20, 21	syl3anbrc 1358	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘ 𝐹)( ≃ph‘𝐾)(𝑃 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099  ∃wex 1800   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286   class class class wbr 5101   ∘ ccom 5652  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   Cn ccn 23291  IIcii 24944  PHtpycphtpy 25037   ≃_phcphtpc 25038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13366  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-topgen 17482  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-top 22961  df-topon 22978  df-bases 23013  df-cn 23294  df-tx 23629  df-ii 24946  df-htpy 25039  df-phtpy 25040  df-phtpc 25061

This theorem is referenced by:  pi1cof  25128  cvmlift3lem1  35674