Theorem lmcn 23653

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
lmcn	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Proof of Theorem lmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
2		lmcn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		cntop1 23588	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
5		toptopon2 23266	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6	4, 5	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
7		lmcl 23645	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
8	6, 1, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	9	cncnpi 23626	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
11	2, 8, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
12	1, 11	lmcnp 23652	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Topctop 23241  TopOnctopon 23258   Cn ccn 23572   CnP ccnp 23573  ⇝_𝑡clm 23574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-z 12721  df-uz 12993  df-top 23242  df-topon 23259  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-lm 23577

This theorem is used by:  lmcn2  23998  occllem  31935  nlelchi  32693  hmopidmchi  32783